2018年考研数学三真题及解析

1、精品文档2018 年考研数学三真题及答案一、选择题1. 下列函数中 , 在 x 0 处不可导的是 ()A. fxx sin xB. fxx sinxC. fx?cos xD. fxcosx答案:D解析: 方法一:Alimfxf0limx sinxlimxsin x0, 可导xxxx 0x0x0Blimfxf0limx sinxxx 0, 可导xxlimsinx 0x0x0x1 xfxf0cos x12Climlim20, 可导xxlimx 0x0x0xfxf0lim cosx11 xDlimlim2不存在 , 不可导x 0xx0xx0x应选D.方法二 :因为 f ( x)cosx , f01f

2、 xf0lim cosx11 xlimlim2不存在x 0xx 0xx 0xf x 在 x 0 处不可导 , 选 D对 A : f x?xsinx 在 x0 处可导3对 B : f x?x xx 2在 x 0 处可导对 C : f ( x)cosx 在 x0处可导 .精品文档2. 设函数 fx 在0,11x dx 0, 则上二阶可导 , 且 f0A 当 f x0时10B 当 f x10, f0时 , f22C 当 f x10D 当 f x100时, f0时, f22答案 D【解析】将函数 f x在 1 处展开可得2f xf 1211fx dx0011f x 12f x,2222x 1f x 1

3、22f1f 1dx f 111f x1dx,222222202故当 f (x)0 时,11从而有f10f x dx f.0.22选 D 。123.设M2xdx, N21xxdx, K21cos x dx , 则22 1x2e2A.M?N K.B.MKN .C. KMN .D.KNM .答案 :C1x22x解析 :M2dx212 dx2 1dx,1x21 x222N2 1x xdx , 因为 exx 1 所以 xx 1 12eeK21cosx dx,1cosx1.1x11cosx2即 ex所以由定积分的比较性质KMN,应选 C .精品文档4. 设某产品的成本函数 C Q 可导 , 其中 Q 为产

4、量 , 若产量为 Q0 时平均成本最小 , 则()AC Q00BCQ0 C Q0C. C Q0Q0C Q0D. Q0C Q0 C Q0答案 D【解析】平均成本C Q,dC QCQQC QC QdQQ2,由于CQ在QQ Q0处取最小值 , 可知Q0C Q00.故选 (D).1105. 下列矩阵中 , 与矩阵 0 1 1 相似的为0 0 1111101A.011B.011001001111101C.010D .010001001答案 :A110110解析:令P 01 0则 P 1010001001110111110P 1AP0100110100010010011201101100110100110

5、01001001选项为 A6. 设 A, B 为 n 阶矩阵 , 记 rX 为矩阵 X 的秩 ,XY 表示分块矩阵 , 则.精品文档Ar.A?ABr AB.r ABA?rAC.rAB?max rA ,rBD.rAB?rAT BT答案:A解析:易知选项 C 错对于选项 B 举反例 : 取A11001B1112001100则 BA, A,BA1133337. 设随机变量 X 的概率密度 fx满足f 1 x20.6 ，f 1 x ，且 f x dx0则 P X 0 _(A)0.2 ； (B) 0.3； (C)0.4； (D)0.6解由 f1xf1x 知，概率密度 fx关于 x 1 对称，故P X0P

6、 X2 ，且 P X0P 0X2PX21，由于 P 0X2x dx 0.6 ，2f0所以 2PX 00.4，即 P X00.2 ，故选项 A 正确8.设 X, X, Xn为取自于总体 XN,2的简单随机样本，令121nX i ， S11n(X iX )2， S21nX )2，Xn1 i 1n i(X in i 11则下列选项正确的是 _ (A)nXtn ；(B)n Xtn1；SS(C)nXtn ；(D)n Xtn1S*S*.精品文档n(X i X )2解XN 0,1 ，(n 1)S2i 12(n1) ，且X与由于22nn(n 1)S 2相互独立，由 t 分布的定义，得2n XX t(n 1)，

7、SSn故选项 B 正确二、填空题9. 曲线 y x2 2ln x 在其拐点处的切线方程为 _。答案 y 4x3【解析】函数f x 的定义域为224。0, y 2x, y 2x2 , y x3x令 y =0 , 解得 x=1, 而 y 1 0,故点 (1,1) 为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率y 14, 故切线方程为 y4x3。10. ex arcsin1e2 x_.答案 ex arcsin1e2 x1e2 xC【解析】令 t=e x ,则原式 = arcsin1t 2 dtt arcsin 1t 2t1tdt11 t 21t2t arcsin1t2ex arcsin1e2 x11. 差

8、分方程2 yxtdttan sin 1 t21 t2C1t 21e2 xCyx5 的通解 _.【答案】yxc 2x 15.精品文档【解析】由于2 yx =yx=yx +1yxyx+2yx+1yx+1yxyx+2 2 yx+1 yx，故原差分方程可化为yx+22 yx+1 =5,即yx+12 yx。5设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为yx +12 yx5,其通解为 yxc 2x。设原差方程的特解yc1,代入原方程得c1即。-2c1 =5, c1=-5所以原差分方程的通解为 yxc2x15,c为任意常数。12. 函数x 满足xxx2 xxxxx0, 且02 , 则1_.答案12e.【解析】

9、由x2xxxx , 可知 x可微 ,且 x=2xx 。这是一个可分离变量微分方程, 求得其通解为xcex2; 再由02, 可得c 2 。xx212e。故2e,13.设 A为3阶矩阵,1,2 ,3为线性无关的向量组,若A 12 123，A 2223,A323, 可得200A1,2,31,2,31 11 。121200由于 1,2 ,3线性无关 , 故 A111=B，从而有相同的特征值。121200因EB1112223 ,121故 A 的实特征值为 2。14. 设随机事件 A, B, C 相互独立，且.精品文档P( A) P(B) P(C )1 ，2则 P(AC AB)_ 解由条件概率以及事件相互

10、独立性的定义，得PACABP(AC A B)P( AB)P ACP( A)P( B)P( AB)P AP CP( A)P( B)P( A) P( B)11122.111132222三、解答题115. 已知实数 a, b , 满足 limaxbexx2, 求a,b 。x答案 a1,b1【解析】 令 t= 1 ,可得 limabtet12,txt 0其中 limabtet1limaet1lim betlimaet1bt 0tt 0tt 0t 0t可知 limaet12b, 而要使得 limaet1 存在 , 必须有 a1。t 0tt0t此时 ,有 lim aet1 =1=2b,故 b1.t 0t综

11、上 , a1,b1。y3 1x2与直线 y3x 及 y 轴围成。计算二重积16. 设平面区域 D 由曲线x2dy。分 D3答案322.精品文档【解析】 I23 1x 22202dx3xx2dy02 x23 1x3xdx2222 x23 1x3 2 x3dx,dx002x22其中对于3 1xsin t, 可化为2dx,令x043 sin2 t cos2 tdt34 sin2 2td2t34308083221 x421 ，综上 I=333而 02 x3 dx22 。401632163217. 将长为 2 m 的铁丝分成三段 , 依次围成圆、正方形与正三角形 . 三个图形的面积之和是否存在最小值 ?

12、若存在 , 求出最小值 .【解析】设分成的三段分别为x, y,z,则有xyz2及x,y,z0，圆的面积为S11x2，正方形的面积为12,正三角形的面积为S3=3z2，总面积为 S12+12+3z2，4S2= 16y36=4x16y36则问题转化为在条件 x yz 2,x,y,z0 下, 求函数 1x2 + 1 y2 +3 z2的最小值。令41636L= 1 x2 + 1 y2 +3 z2x y z 2 ,41636L =x0x2x23L = y0y8, 解得唯一条件极值点为则有3Lz0=18zL =xyz20为最小值 , 最小值为3+12+933432918. 已知 cos2 x12an xn

13、1x 1 ,求 an .1 xn 0343983，在该点的函数值即y3 4 3 918x3439.精品文档答案 a2 n 12n222n2, n 0,1,2,;12nn1na2 n122 n2n12n122 n2n1 , n0,1,2,2n !12n !。【解析】将 cos2x 与 -1展成幂级数可得21+x2 n1n2ncos2 xn2x2xx2n ,x,12n !2n!n0n 01211 xn1nn 1 xn , 1 x 1n11x1xn 0n0则 a2 n 12n22n22n2, n0,1,2,;1n1na2 n122 n2n12n122 n2n1 , n0,1,2,2n !12n !。

14、19. 设数 列 X n满 足 :x10, xnexn 1exn1 n1,2,. 证明 X n收敛, 并求l i m xn .n证明 : 证明 xn0 , 易证再证 X n单减,由xnxn0拉格朗日中值定理exn 1exn1 eee ,0, xnxn0xn 1xnxn 单减有下界 ,由此得 lim xn 存在xlim xnA, 则AeAeA1设 nA 020. 设实二次型 fx1 , x2 , x3x1x22x22ax32x3x3x1, 其中 a 是参数 .(1) 求 fx , x , x30的解 ;12(2) 求 fx1, x2 , x3的规范形 .精品文档解析 :(1)f x1 , x2

15、, x30 而 x1x2 x30x2x30,x1ax30由111102得A01101110a00a2当 a2时 , rA3, 只有零解 x1x2x3 0.当 a2时 ,rA2, 方程有无穷多解 ,通解为x12为任意常数 .xx2k 1, kx31(2) 由(1) 知 , 当 a2时 A可逆,y1x1x2x3, 即 YAX , 则规范形为 f令y2x2x3y12y22y32 ,y3x3当 a2时 ,rA2,y1x1x2x32123令y2x2x3, 则222fy1y2y1y22 y12 y22 y2 ,y3x3z2y1 y1122令z23 y2, 则得规范形为 fz12 z22 .2z3y312a

16、1a221. 已知 a 是常数 , 且矩阵 A 130 可经初等变换化为矩阵 B01127a111(1) 求 a ;(2) 求满足 AP B 的可逆矩阵 P .解析 :(1)A经过初等列变换化为 B.rAr B12a12a12aA13001a01a27a033a000rA2 rB21a21a21a2由 B0110110111 110a 1 3002 a得 a=2.(2) 令P1X1, X2, X3 ,Bb1 ,b2 , b3AP1A X1,X2,X3AX1, AX 2, AX3b1,b2 , b3AX i，bi i =1 2 3122122122122A B1 3 001 10 1 21 1

17、1272111036333122122106344012111012111000000000000636k13AX1b1的通解为 X1 =k1212k11, k1为任意常数10k1646k24AX2b2的通解为 X 2 =k2212k21 , k2为任意常数10k2646k34AX3b3的通解为 X 3 =k3212k31 , k3为任意常数10k36k136k246k34P =2k1 ，2k21 ，2k31 (其中 k,k2,k 为任意常数 )1113k1k2k36k136k246k34P1 = 2k1 1 ，2k21 ，2k3 1 =k3k2k1k2k3当k2 k3时,P1可逆,取可逆精品

18、文档矩阵.精品文档6k13 6k24 6k34P= 2k11 ，2k21 ，2k31 (k1为任意常数 , k2k3 )，使得 AP=B.k1k2k322. 设随机变量 X 与Y 相互独立， X 的概率分布为P X1 P X11 ，2Y 服从参数为的泊松分布 P令 ZXY ，求（ 1）Cov X , Z；（2）Z 的概率分布解（1）由题意，知E X11， E X22121，1101211222则DXEX2E 2 X1，且E Y于是，由协方差计算公式，得Cov X ,ZCov X , XYEX2YEXEXYEX2EYE2XEYEYDX.（ 2）随机变量 ZXY的取值为 0, 1,2,，则PZ0PX1,Y0PX1,Y 0P X1PY 0PX1PY 01010eee,220!0!PZkPX1,YkPX1P Y k1ke,2k !同理，P ZkP X1,YkPX1 P Yk1ke,2k !.精品文档其中， k1, 2,23 . 总体 X 的概率密度为1 exf x,，（x）2其中0,为未知参数，X 1, X 2, , X n 为取自于总体X 的简单随机样本记的最