第一章离散时间信号与系统ppt课件

1、第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列离散时间信号序列线性移不变系统线性移不变系统常系数线性差分方程常系数线性差分方程连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样离散时间信号序列离散时间信号序列 序列的定义序列的定义离散时间信号可由连续时间信号离散时间信号可由连续时间信号x(t)通过抽样获得，通过抽样获得，设抽样时间间隔为设抽样时间间隔为T，用，用x(nT)表示此离散时间信号在表示此离散时间信号在nT 点上的值，点上的值，n为整数。由于离为整数。由于离散时间信号处理常常是非实时的，可以先记录数据后分析或存放在存储器中以供随时取散时间信号处理常常是非实时的，可以先记录数据后分析

2、或存放在存储器中以供随时取用，因此用，因此x(nT)可以看作是按照一定顺序排列的一组数据，可以直接用可以看作是按照一定顺序排列的一组数据，可以直接用x(n)表示第表示第n个离个离散时间点的序列值，并用散时间点的序列值，并用 x(n)表示离散时间信号表示离散时间信号序列，为方便起见，通常情况下序列，为方便起见，通常情况下直接用直接用x(n)表示离散序列。表示离散序列。nx(n)0123-1-2-3图1.1 离散时间信号的图形表示离散时间信号离散时间信号序列可序列可以用图形来描述，纵轴线以用图形来描述，纵轴线段的长短代表各序列值的段的长短代表各序列值的大小，横轴代表离散时间大小，横轴代表离散时间点

3、。点。序列的运算序列的运算序列的运算包括移位、翻褶、和、积、累加、差分、时间尺度变换、卷积和等。、移位若序列为x(n)，则x(n-m)是指原序列x(n)逐项依次延时右移m位而构成的一个新序列，而x(n+m)是指原序列x(n)逐项依次超前左移m位。 x(n-1)n012-1图1.2 序列的移位n210-1x(n)nx(n+1)012-1、翻褶、翻褶序列的翻褶又称为转置或反折，若序列为序列的翻褶又称为转置或反折，若序列为x(n)，则则x(-n)就是以就是以n=0为对称轴将序列为对称轴将序列x(n)加以翻褶加以翻褶 x(n)nx(-n)n图1.3 序列的翻褶、序列的和、序列的和序列序列x(n)x(n

4、)与序列与序列y(n)y(n)之和是指两个序列同序号之和是指两个序列同序号的数值逐项对应相加而构成一个新的序列的数值逐项对应相加而构成一个新的序列z(n)z(n)，表示为表示为z(n) =x(n)+ y(n)z(n) =x(n)+ y(n)。例：知例：知 求求x(n)+ y(n)x(n)+ y(n)。解：解： 0003)(nnnxn11121)(nnnnyn12131211)()()(nnnnnynxnznn、序列的积、序列的积序列序列x(n)x(n)与序列与序列y(n)y(n)相乘是指两个序列同序相乘是指两个序列同序号的数值逐项对应相乘而构成的一个新序列号的数值逐项对应相乘而构成的一个新序列

5、z(n)z(n)，表示为表示为z(n) =x(n) y(n)z(n) =x(n) y(n)。例：知例：知求求z(n) =x(n) y(n)z(n) =x(n) y(n)解：解：1,01,2121)(nnnxn0, 10,2)(nnnnyn0,21)1(211,211, 0)()()(nnnnnynxnzn、序列的累加、序列的累加若序列为若序列为x(n)x(n)，则，则x(n)x(n)的累加序列的累加序列y(n)y(n)定义为定义为它表示它表示y(n)y(n)在某个在某个n n点的值等于这个点的值等于这个n n点上的点上的x(nx(n) )以及以前的所有以及以前的所有n n值上的值上的x(n)x

6、(n)值之和。值之和。nkkxny)()(、序列的差分运算、序列的差分运算前向差分前向差分 后向差分后向差分 由此得出由此得出、序列的时间尺度比例变换、序列的时间尺度比例变换对序列对序列x(n)x(n)，其比例变换序列为，其比例变换序列为x(mn)x(mn)或或x(n/m)x(n/m)，其中其中m m为正整数。为正整数。 例如例如,x(4n),x(4n)是以低是以低4 4倍的频率从倍的频率从x(n)x(n)中每隔中每隔4 4个值个值取取1 1个值，若个值，若x(n)x(n)是连续时间信号是连续时间信号x(t)x(t)的抽样，那的抽样，那么么x(4n)x(4n)相当于将相当于将x(n)x(n)的

7、抽样间隔从的抽样间隔从T T增加到增加到4T4T。这。这种运算称为抽取，将种运算称为抽取，将x(4n)x(4n)称为称为x(n)x(n)的抽取序列。的抽取序列。 同样的道理，同样的道理，x(n/4)x(n/4)表示将表示将x(n)x(n)的抽样间隔从的抽样间隔从T T减少到减少到T/4T/4，将，将x(n/4)x(n/4)称为称为x(n)x(n)的插值序列。的插值序列。 )() 1()(nxnxnx) 1()()(nxnxnx) 1()(nxnx、序列的卷积和、序列的卷积和卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应零状态响应的主要方法。零状态响应的主要方法。卷

8、积和是求离散线性移不变系统输出响应零卷积和是求离散线性移不变系统输出响应零状态响应的主要方法。状态响应的主要方法。设两个序列为设两个序列为x(n)x(n)和和h(n)h(n)，x(n)x(n)和和h(n)h(n)的卷积的卷积和定义为和定义为 其中，用其中，用“* *”代表卷积和运算，卷积和的运算在图代表卷积和运算，卷积和的运算在图形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加。形上可以分成四步：翻褶、移位、相乘、相加。 )()()()()()()(nxnhnhnxmnhmxnym卷积和的图解法计算步骤如下：卷积和的图解法计算步骤如下：翻褶：先将翻褶：先将x(n)x(n)和和h(n)h(n)的变量置换

9、为的变量置换为m m，得到，得到x(m)x(m)和和h(m)h(m)，将，将h(m)h(m)以以m=0m=0的垂直轴为对称轴翻摺为的垂直轴为对称轴翻摺为h(-m)h(-m)；移位：将移位：将h(-m)h(-m)沿沿m m轴平移轴平移n n得到得到h(n-m)h(n-m)，当，当n0n0时，右时，右移移n n位，当位，当n0n0时，左移时，左移|n|n|位；位；相乘：对给定的某个相乘：对给定的某个n n值，将值，将h(n-m)h(n-m)和和 x(m)x(m)相同相同m m值值的对应点相乘；的对应点相乘；相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到相加：再将以上所有对应点的乘积累加，就可以得到

10、给定的某给定的某n n值时的值时的y(n)y(n)。以和为例说明卷积的图解方法。nnnnx其他0203)(nnnh其他0301)(h(0-m)m1h(m)m1x(m)m321h(-1-m)m1h(1-m)m1h(2-m)m1h(6-m)m3ny(n)53661几种常用典型序列几种常用典型序列、单位抽样序列单位冲激、单位抽样序列单位冲激(n)(n) (n) (n)在离散序号处理中的作用类似于连续时间在离散序号处理中的作用类似于连续时间信号处理中的冲激函数信号处理中的冲激函数(t) .(t) . (t): (t):是是t=0t=0时脉宽趋于时脉宽趋于0 0，幅值趋于无限大，面积，幅值趋于无限大，面

11、积为为1 1的信号，是极限概念的信号，并不是一个现实的信号，是极限概念的信号，并不是一个现实的信号的信号; ; (n): (n):在在n=0n=0时取值为时取值为1 1，既简单又易计算。，既简单又易计算。 0001)(nnn、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)u(n)(n)(n)和和u(n)u(n)间的关系为间的关系为令令n-m=kn-m=k代入上式，得代入上式，得0001)(nnnu) 1()()(nunun0)2() 1()()()(mnnnmnnunkknu)()(3 3、矩形序列、矩形序列RN(n)RN(n)和和(n)(n)、u(n)u(n)的关系为的关系为为其他值nNnnRN0101

12、)()()()(NnununRN10)()(NmNmnnR、实指数序列、实指数序列其中其中a a为实数，当为实数，当|a|1|a|1|a|1时，序列是发散的。时，序列是发散的。 )()(nuanxn(b) 单位阶跃序列n1u(n)-3-2-10123RN(n)1nN-1N-2120-1(c) 矩形序列anu(n)n1-10123(d) 实指数序列图1.5 几种常用序列(a) 单位抽样序列(n)-3-13-221n0a1、复指数序列、复指数序列也可以用其实部和虚部表示为也可以用其实部和虚部表示为或用极坐标表示为或用极坐标表示为其中其中、正弦型序列、正弦型序列其中，为幅度，为数字域的频率，为起始相

13、其中，为幅度，为数字域的频率，为起始相位。位。 )()()(0nuenxjnjenenjnenx0000sincos)sin(cos)(njnnxjeeenxnx0)(arg)()(nnxenxn0)(arg,)()sin()(0nAnxA0由于所以 由此可以得到序列的另一种表达形式，即任何序列都可以表示为单位抽样序列的加权移位和，即 用单位抽样序列来表示任意序列用单位抽样序列来表示任意序列mnmnmn01)(mnmnmxmnnx0)()()(mmnmxnx)()()(序列的能量序列的能量序列x(n)的能量定义为序列各抽样值的平方和，即nnxE2)(线性移不变系统线性移不变系统将输入序列x(n

14、)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算定义为时域离散系统，记为式中，T 用来表示这种变换关系，如果对变换关系T 加上各种约束条件就定义了各类时域离散系统。本书研究的是“线性移不变的离散时间系统。)()(nxTny线性系统线性系统凡是满足均匀性和叠加性的系统称为线性系统，也就是说，若y1(n)和y2(n)分别为输入x1(n)和x(n)的输出响应，即那么当且仅当时，该系统称为线性系统，其中为任意常数。对线性系统若写成N个输入的一般表达式，则为 )()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxTnyba, )()(11N

15、iiiiNiinxaTnya移不变系统移不变系统如果系统的输出响应随着输入的位移而位移，那么该系统就称为移不变系统，即若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为 y(n-m)，也就是输入移动任意位，其输出也移动这么多位，且幅值保持不变。对移不变系统，假设 那么 其中m为任意整数。)()(nxTny)()(mnxTmny例：证明y(n)=4x(n)+6是移不变系统证：Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=4x(n-m)+6 由于Tx(n-m)y(n-m)，所以y(n)=4x(n)+6是移不变系统例：证明是移不变系统证：由于二者相等，所以系统是移不变系统mmxny)

16、()(knmknmmmxknymmmkmmxkmxknxT)()(),()()()(单位抽样响应与卷积和单位抽样响应与卷积和设线性移不变系统输出y(n)的初始状态为零，当输入x(n)=(n)时，其输出定义为系统的单位抽样响应，用h(n)表示，即 设线性移不变系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)，将x(n)用(n)表示，即所以相应的系统输出为根据线性系统的叠加原理，有又根据移不变特性，可得)()(nTnhmmnmxnx)()()( )()()()(mmnmxTnxTny )()()(mmnTmxny)(*)()()()(nhnxmnhmxnym线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质、交

17、换律、交换律由于卷积和与两卷积序列的次序无关，有由于卷积和与两卷积序列的次序无关，有 y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)=h(n)h(n)=h(n)* *x(n)x(n)也就是说将单位抽样响应也就是说将单位抽样响应h(n)h(n)改为输入，而将输入改为输入，而将输入x(n)x(n)改作为系统单位抽样响应，则输出改作为系统单位抽样响应，则输出y(n)y(n)不变不变x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)、结合律、结合律x(n)x(n)* *h1(n)h1(n)* *h2(n)=x(n)h2(n)=x(n)* *h1(n)h1(n)* *h2(n)h2(n)=x(n)=

18、x(n)* *h1(n)h1(n)* *h2(n)=h2(n)=x(n)x(n)* *h h(n)(n)* *h h(n)(n)也就是说两个线性移不变系统级联后仍构成一个线也就是说两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关与它们的级联次序无关x(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)、分配律、分配律x(n)*h1(n)h2(n)=x(n)*

19、h1(n)x(n)* h2(n)证明：证明：)(*)()(*)()()()()()()()()()(*)(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmmx(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)因果系统因果系统因果系统是指其输出变化不会发生在输入变化之前的一种系统，也就是说，因果系统的n时刻的输出只取决于n时刻及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，因此系统的因果性是指系统的可实现性，如果现在的输出和未来的输入有关，这在时间上违背了因果性，而且系统也无法实时实现，这样的系统就称为非因果系统。 线性移不变系统具

20、有因果性的充分必要条件是 0,0)(nnh证明：充分条件证明：充分条件 若若n0n0时时h(n)=0h(n)=0，根据卷积和公式，根据卷积和公式因为式中因为式中m0m0，所以，所以n n-mn-mn，这就证明了，这就证明了y(ny(n) )的值的值只取决于只取决于x(n)x(n)在在nnnn时的值，因此系统是因果的。时的值，因此系统是因果的。 必要条件必要条件 根据卷积和公式有根据卷积和公式有若当若当m0mn-mn，即系统在即系统在n n时的输出时的输出y(ny(n) )与输入与输入x(n)x(n)在在nnnn时的值有关，时的值有关，也就是也就是y(ny(n) )值与值与n n以后的以后的x(

21、n)x(n)有关，所以该系统不是因有关，所以该系统不是因果系统果系统可见要使可见要使y(ny(n) )与与nnnn时的时的x(n)x(n)无关，则必须使无关，则必须使 0000)()()()()(mmmnxmhmnxmhny001000)()()()()()()(mmmmnxmhmnxmhmnxmhny0)(, 0nhn稳定系统稳定系统对每一个有限的输入信号，产生有限输出信号的系统称为稳定系统线性移不变系统是稳定系统的充要条件是：系统的单位抽样响应绝对可和，即nnh)(证明：充分条件证明：充分条件 若系统满足条件若系统满足条件且输入且输入x(n)x(n)有界，对所有有界，对所有n n，其中，其

22、中M M是一个任意大的有限是一个任意大的有限数，此时系统的输出为数，此时系统的输出为两边取绝对值，得两边取绝对值，得即输出即输出y(n)y(n)有界，故系统是稳定的。有界，故系统是稳定的。 必要条件必要条件 利用反证法，已知系统稳定，假设，利用反证法，已知系统稳定，假设，可以找到一个有界的输入可以找到一个有界的输入那么那么即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。nnh)(Mnx)(mmnxmhny)()()(mmmmhMmnxmhmnxmhny)()()()()()(nnh)(0)(10)(1)

23、(nhnhnxmmmmhmhmhmxy)()()0()()0(nnh)(结论：结论：因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的单边的），且是绝对可和的，即因果的单边的），且是绝对可和的，即nnhnunhnh)()()()(例：设系统输入输出关系为，例：设系统输入输出关系为，判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。解：解：因此因此所以此系统为线性系统所以此系统为线性系统而而因此因此所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。)325sin()()(nnxnxT)325s

24、in()()()(111nnxnxTny)325sin()()()(222nnxnxTny)()()325sin()()325sin()()325sin()()()()(21212121nbynaynnbxnnaxnnbxnaxnbxnaxT)325sin()()(nmnxmnxT32)(5sin)()(mnmnxmny)()(mnymnxT若x(n)有界，即，那么而，所以即有界的输入产生有界的输出，因此系统是稳定的。只与x(n)的当前值有关，而与未来值无关，所以系统是因果的。Mnx)()325sin()325sin()()325sin()()()(nMnnxnnxnxTny1)325sin(

25、n Mny)()325sin()()()(nnxnxTny常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散线性移不变系统的输入输出关系常用常系数线性差分方程表示，即 或者常系数是指决定系统特征的系数是常数，若系数中含有n，则称为“变系数”。差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。MiNiiiinyainxbny01)()()(1, )()(000ainxbinyaMiiNii求解差分方程有如下几种方法：

26、递推法、时域经典法、卷积法、变换域法等等递推解法比较简单，适合计算机求解，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式公式解答。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较麻烦，实际应用中很少采用。卷积法则必须知道系统的单位抽样响应h(n) ，这样利用卷积和就能得到任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方法求解差分方程。 当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代的方法求系统的响应，当输入为n时，输出呼应就是单位抽样响应h(n)。例：常系数差分方程（初始条件为n0时，y(n

27、)=0，求其单位抽样响应；（初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。解：（设，且，必有依次迭代所以单位抽样响应为) 1(21)()(nynxny)()(nnx0) 1() 1(hy0, 0)()(nnhny101) 1(211)0()0(hhy21210)0(210) 1 () 1 (hhy2)21(2121) 1 (210)2()2(hhynnnhnhny)21()21(0) 1(210)()(000)21()()21()(nnnunhnn（设，由初始条件知，必有将原式该写为另一种递推关系那么所以单位抽样响应为由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到的单位抽样响应不同，也就

28、是对应着不同的系统)()(nnx0, 0)()(nnhny)()( 2) 1(nxnyny2) 10(2) 1() 1(hy22)02(2)2()2(hy322)02(2) 3() 3(hynnnhny)21(2)()(000)21() 1()21()(nnnunhnn连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样信号的采样信号的采样 对模拟信号对模拟信号xa(t)xa(t)进行等间隔采样，其进行等间隔采样，其物理意义是将模拟信号物理意义是将模拟信号xa(t)xa(t)送入一电子开关，送入一电子开关，该开关每隔该开关每隔T T秒闭合一次，从而获得采样信号秒闭合一次，从而获得采样信号xs(t)= xa(n

29、T),xs(t)= xa(nT),相当于将相当于将xa(t)xa(t)乘以以乘以以T T为周为周期的冲激函数期的冲激函数T(t)T(t)，即，即 由于由于 仅在仅在t=nTt=nT时不为零，显然，时不为零，显然，采样信号采样信号xs(t)xs(t)仅在仅在t=0t=0，T T，2T2T，等处有等处有值，形成离散信号值，形成离散信号序列，即序列，即其中，其中，T T为采样周期，其倒数为采样周期，其倒数1/T=fs1/T=fs，称为，称为采样频率。采样频率。 nanaTasnTttxnTttxttxtx)()()()()()()()(nTt )()()(nTxtxnxanTtsttt000TK图1

30、.8 模拟信号的采样)(txa)(txs)(txa)(tT)(nTx下面讨论理想抽样后信号频谱发生的变化：研究它们对应的频谱，令X(j) ，Xa(j)和T(j)分别代表xS(t)， xa(t)和 T(t)的频谱，即 式中，为采样角频率dtetxjXtjSS)()(dtetxjXtjaa)()(kSSTkjj)()(sSfT22由于，所以上式表明，采样信号的频谱X(j)是原信号频谱Xa(j)的周期性延拓，延拓周期为采样频率S，但其幅度有1/T加权。 )()()(ttxtxPas kSakSakSakSaTaSjkjXTdjkjjXTdjkjjXTjkjTjXjjXjX)(1)()(1)()(1)(2)(21)()(21)( |Xa(j)| |Xs(j)| |T(j)| |Xs(j)|SS-S-SS/2-S/2S-S(a)(a)(b)