第二章 静电场_11285

1、麦克斯韦麦克斯韦（18311879）第一章电磁现象的普遍规律第一章电磁现象的普遍规律基本实验定律基本实验定律 1. 库仑定律库仑定律 2. 安培定律安培定律 3. 毕奥毕奥沙伐尔定律沙伐尔定律 4. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 5. 电荷守恒定律电荷守恒定律 叠加叠加原理原理原理原理推广推广 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 0 BEtDDHJtB 洛仑兹力洛仑兹力 fEJB介质电磁性质方程介质电磁性质方程 电磁场电磁场的基本的基本方程方程第五章第五章电磁场电磁场的传播的传播第二章第二章静电静电场场第三章第三章静磁场静磁场第四章第四章电磁场电磁场的辐射的辐射第第一一章章电电磁磁场场的的基

2、基本本方方程程静止场变化场 动量守恒定律动量守恒定律gfTt 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 0 BEtDDHJtB 洛仑兹力洛仑兹力 fEJBwSE Jt 能量守恒定律能量守恒定律电磁场电磁场的基本的基本规律规律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 0 BEtDDHJtB 2 12eWdV E DE12 mWJAdV20AJA BHBAHJ0B0ED静电静电场场静磁静磁场场波动方程波动方程 2222100 EEctBEEt亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 22010, E xk E xE xB xE xi麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 0 BEtDDHJtB 0, 0J传播传播麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组达朗泊

3、方程达朗泊方程222220220221110cctAAJctAt 推迟势推迟势00,1,4 ,4VVrx tcx tdVrrJx tcA x tdVr 0 BEtDDHJtB AEt BA 0 BH0DE辐射辐射推迟势推迟势达朗泊方程达朗泊方程222220220221110cctAAJctAt 00,4 ,4VVrx tcx tdVrrJx tcA x tdVrAEt BA 0 BH0DE0BHJ12 mWJAdV20AJA BA BHDE0ED 2 12eWdV E 0, 0J亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 波动方程波动方程 2222100 EEctBEEt 22010, E xk E xE xB

4、 xE xi麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 0 BEtDDHJtB 洛仑兹力洛仑兹力 fEJ B 动量守恒动量守恒wSE Jt gfTt 能量守恒能量守恒静电静电场场辐射辐射传播传播静磁静磁场场电磁场电磁场的基本的基本规律规律麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组洛仑兹力洛仑兹力 动量守恒：动量守恒： 0 BEtDDHJtB wSE Jt gfTt fEJB能量守恒能量守恒:麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组洛仑兹力洛仑兹力 动量守恒：动量守恒： 0 BEtDDHJtB wSE Jt gfTt fEJB能量守恒能量守恒:第一章第二章第二章第二章 静电场（静电场（Electrostatic Field)电磁现电磁

5、现象的普象的普遍规律遍规律静电场静电场静磁场静磁场电磁场电磁场的辐射的辐射电磁场电磁场的传播的传播静电场的性质和求解静电场问题的各种方法。是解决一般电磁场问题的基础。标量函数标量函数-静电场标势（静电场标势（ electrostatic scalar potential ) E D 0EEn DDn 1212ED基本方程：基本方程：边值关系边值关系:电磁性质方程电磁性质方程各向同性介质各向同性介质为求解静电场方程为求解静电场方程1 1 静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程 Epppp00E dl0ppl dE（一）（一） 静电场的标势静电场的标势2不唯一不唯一3 表达式表达式若电荷

6、分布在有限区域：若电荷分布在有限区域：一般：一般：1 引入引入4 参考点参考点选坐标空间某一点选坐标空间某一点例例1 求一电偶极子在远处的电势。求一电偶极子在远处的电势。 例例3 均匀带电的无限均匀带电的无限长直导线的电荷长直导线的电荷线密度线密度 的的，求，求空间的电势。空间的电势。 例例2 求均匀电场求均匀电场 的电势。的电势。 0E（二）电势的微分方程（二）电势的微分方程2 02 xxq020q 4rniiirq1041v0 x1dv4r 连续电荷体系：连续电荷体系： n个点电荷体系的势个点电荷体系的势: 点电荷的电势点电荷的电势3、无界空间的电势、无界空间的电势2、拉普拉斯方程、拉普拉

7、斯方程1、泊松方程、泊松方程例：真空中点电荷的电势满足：例：真空中点电荷的电势满足：（三）、求电势的边值关系（三）、求电势的边值关系场量满足的边值关系：场量满足的边值关系：12120DDnEEn211212.nn（1）两介质界面上电势满足的边值关系）两介质界面上电势满足的边值关系（2）介质导体界面上电势满足的边值关系）介质导体界面上电势满足的边值关系 给定导体的电势给定导体的电势 0Qdsn sn导体介质0给定导体上总电荷给定导体上总电荷Q：或给出导体表面电荷密度：或给出导体表面电荷密度：（ 2）在两种介质界面上边值关系： 在导体和介质分界面上边值关系： 或 三、静电场的电势的定解问题： （1

8、）在 均匀区域满足 泊 松 方 程： 或拉普拉斯方程： ssssnn221121iii202is0sSQdsn（3）整个区域边界满足边界条件sn 12eWE DdV（四）静电场的能量（四）静电场的能量e1WdV2电 磁 场 的 能 量 密 度12ewE D12ew2 唯一性定理（Uniqueness Theorem) 给定区域V内每个导体上的电势 或电荷总量 以及导体外介质中的自由电荷分布 和 ，给定区域V边界S上的 或 值，区域V内的电场是唯一的。kkQn研究唯一确定一个区域研究唯一确定一个区域V V内静电场的内静电场的条件条件唯一性定理的重要性唯一性定理的重要性对于一个满足唯一性条件的静电

9、场问题，它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程静电场的理论基础静电场的理论基础边值关系唯一性定理例例1 有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是 与 。 若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布。12例2两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为 ，右半球介电常数为 。设内球壳半径为 ，带电荷为Q，外球壳接地，半径为 ，求电场和球壳上的电荷分布。 12ab3 拉普拉斯方程 分离变量法 20利用解00001, cossincossinmmmmmmmmmx yAB xCD yAk xBk xCk yDk y001,lnco

10、ssincossin mmmmmmmCDAmBmCmDm01)(cos)(),(nnnnnnPrBrAr( )BrAr直角（场分布与z无关 ）柱坐标（场分布与z无关 ）球坐标(球对称)（轴对称)20ijiijijij (S)nn在面上SSn或QdsnSE 1 1、 根据分界面的形状及物理的对称性，选坐标系根据分界面的形状及物理的对称性，选坐标系2 2、 写出定解问题的数学表达式写出定解问题的数学表达式 若有若有i i 个区域（均匀分布），写出个区域（均匀分布），写出 i i个个方程方程 在每个区域的交界面上，写出满足的边值关系在每个区域的交界面上，写出满足的边值关系 边界条件：边界条件：3 3

11、、写出、写出拉普拉斯方程的通解；拉普拉斯方程的通解；4 4、根据边值关系和边界条件确定待定常数，从而得出根据边值关系和边界条件确定待定常数，从而得出5 5、利用、利用步骤及导体的总电荷及导体的总电荷，得出电场的分布。，得出电场的分布。A 、求全空间的场：外边界是 与 若原点无点电荷,则 电势有限 若电荷分布有限区域，则 电势为零 若有均匀场： ，则： 若电势零点选在原点处：则：B、 若是有限空间，须给出包围V的外边界上的电势 或边界条件边界条件0rr0rrzzeEE0r00cosrEssncos0rE例题CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1

12、】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。 000lim, 有 限 值nnnn 0,A cos nB sinn 0nnnn 00V,0a,aA cosnB sinnV,22k 10n 04V1,sin 2k12k1a 00mmmmmmm 1,CD ln A cosmB sinmC cosmD sinm 220000022nn000022nn0n0000n0nn 0111Aa,dV dV d0222111a Aa,cosn dV cosn dV cosn d02V111a Ba,sinn dV sinn dV sinn d11n4V,sin 2n12n1 a

13、例题：两个介质区域无体电荷分布；内球面总电量已知；外球面电势已知提出尝试解：场强要垂直导体表面，必沿着半径方向，具有球对称区域内电场确定 rDCrrBAr21 ,解满足的条件：1、2、3、内球面电荷总量4、内球面等势体5、0, 02212brbrQssssnn221121AB,C和D,无论取何值满足1用其它条件求ABCD值5：r处内球面：dbcardcrba, rbarrbar21 ,21212122222122112 02 22 21bQAQBQaaBaaBQdsrdsrQdsrbrbrSSSaQaQEPaQEPaQEDaQEDrrQErrQEbrQpprrprrprrrr柱：直： 100s

14、incossincos ln,mmmmmmmmDmCmBmADC10000sincossincos ,mmmmmmmmmykDykCxkBxkAyDCxBAyx在球坐标系中拉普拉斯方程的解 rbarPrbrarmPrdrcmmPrbrarnnnnnnmnmnnnmnnmmnmnnnmnnm)(cos,sin)(coscos)(cos,)(,)(,)(一般解轴对称解球对称解4 镜象法主要解决点电荷的边值问题主要解决点电荷的边值问题 把界面上的未知的导体感应电荷或介质的极化电荷对场的贡献，用一个或几个称为“象电荷”的点电荷对该点场的贡献来等效。基本的思想只要象电荷的位置和大小确定电势的分布就可以直

15、接得出。 注意问题注意问题 2、象电荷确定后，要把求解区域看成是只有点电荷和象电荷存在的无界的均匀空间，此无界的均匀空间介电常数应与求解区域的介质的介电常数相同。 4、适用于求解某些形状简单的界面附近，有一个或几个点电荷情况下的电场分布问题。 1、电荷必须放在求解区域以外。 3、象电荷电量一般并不一定与界面上的感应电荷或极化电荷相等。1、接地导体平面2、如图示，x 0为真空区域， x 0的区域充满各向同性、线性、均匀的介子，其电容率为 ，真空区有一点电荷q, 它到分界面的距离为d, 求各区域的电荷分布。 ,d,xzy6 电多极矩1、电势 的多极展开 真空中的带电体（ ）的电势 x 对于带电体系

16、而言，若电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点o作为坐标原点，区域V的线度为l。多极矩法讨论 Rl 情况下的场分布问题。 014vxxdvr，222Rxxyz 201111142!vxxxxdvRRR1 0 xr在泰劳展开 023xxxx 0014QxR 20114xPR 2300111111D :4646ijijijxDx x RR 23 ( ) 3xx-rI 3vvijijvviiiiiiiQx dvPx x dvDx x xdvDxdvpq xDq x x 令典型的多极矩产生的场zP(x,y,z)-q(o,o,-z )oq(o,o,z )lRr-r+总偶极矩不为零，则zzzziiiepe

17、qlelqelqxqp)(2)(22030)1()0(cos41410 RpRRpzP(x,y,z)-qolRr-r+qq-qba这里即RD1:61410)2(zzzzzzzzzziiiieeabqeeqbeeqaeeqaeeqbxxqD)(6)()(33222222)13(416141352022330)2(RRzplRzD2、电荷体系在外场 中的能量 dVW e电荷分布小区域，取区域内适当点为坐标原点， 对坐标原点展开把xe ,!, ejijijieiiieexxxxxxx xe WWW DpQ xxDxpQ dVxxxxxxW 0eeeejijijieiiieejijijieiiie,:

18、!, 子的能量不为零。只有在非均匀场中四极电场中的能量。第二项：电四极子在外和力矩受力电偶极子在外电场中所场中的能量。原点上电偶极子在外电体系的电荷相当于放在第二项：的能量。中在原点上在外电场中第一项：体系的电荷集 EDW pEpEWL EpEpWF LF EppW QW eeeeeeee,:sincos:,*（二）电势的微分方程和边值关系在各向同性介质中讨论 泊松方程当 时： 拉普拉斯方程真空中点电荷的电势满足：利用公式： 真空中点电荷的电势和电场：n个点电荷体系的势: 连续电荷体系： 22321321EEDEEDD出发由002 xxq02) xx(4r123004 4rrqErqniiir

19、q1041 dvrxv410（三）静电场的能量 eee( 3)( 4 )(1)211WE DdVWdV22D1E0 2E3AAA41WE DdV21 DdV21 DD dV211 DdSdV221111,D,S,Drr2r redS01 WdV2 ee11WE DdVWdV22*求边值关系z 场量满足的边值关系： 2 （1）两介质界面上电势满足的边值关系 ， 1 同理可证： 而 即 又 可推出 12120DDnEEn2 1 21l dE0pp210l dE2 1 2121 2 21 2222 1 1 1111lEl dElEl dEttt2t 1EE012EEn12DDnnn221112pp1

20、2pp*（2）介质导体界面上电势满足的边值关系 由欧姆定律： ， （ 为电导率）， 则导体内场 ， 那么： 常数，导体为等势体。 又由： 则导体内无堆积电荷 由： 则导体表面附近只有法线分量场 所以导体边界条件可分为两类： （1） 给定导体的电势 （2） 给定导体上总电荷Q： 或给出导体表面电荷密度： ： EJ0J0EED021ttEE0dsnQsnSQdsn 311rArrE 322rArrEttEE21nnDD212122112ddd21QAQSSSSESESD设两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为Q，外导体球壳接地。 CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。 0 0000000000000dd1dd1dd1222222Z, y, xYBYz ,