中南大学土木工程测量课件第7章误差与平差

1、第七章测量误差与平差§7-1测量误差与评定精度的标准一、测量误差及来源1 .测量误差：观测值与真值不一致真误差=LX2 .误差的来源(1)仪器、(2)观测者)观测条件(3)外界条件等精度观测：相同观测条件下进行的观测不等精度观测：研究误差理论的目的：对误差的来源，性质及其产生和传播的规律进行研究，解决实际问题。(1)确定最可靠值(2)评定精度(3)确定限差二、测量误差的分类及处理按对测量成果影响性质的不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差。1 .系统误差相同条件下进行的一组观测，误差的大小或符号保持不变，或按一定规律变化.水准测量：CC不平行LL读数误差：i=i"XS/206

2、265钢尺量距:名长30m,实长30.005m每尺量短5mm特点：积累性：来源：仪器缺陷、观测者某些习惯、外界影响措施：合理观测方法；对观测值进行公式改正。2 .偶然误差对某一未知量进行等精度观测，单个误差的大小和符号无明显规律，但误差总体具有统计规律。如：估读数值可能偏大可能偏小照准目标可能偏左可能偏右来源：人感官能力限制或无法估计因素等，无法避免。3 .粗差大于限差的误差称为粗差，是由于观测者的粗心或其它因索影响造成的错误。在测量成果中绝对不允许有错误存在。杜绝方法：细心进行工作，多余观测。消除了粗差后，系统误差和偶然误差会同时存在。尽量消除系统误差的影响，使其与偶然误差相比不起主导作用。

3、主要研究偶然误差。三、偶然误差特性在相同的观测条件卜，观测了162个三角形的全部内角，三知形的内角和的真.值为己知，因此，计算出每个三角形内角和的更误差，将计算所得162个真误差以为误差区间，按绝对祖的大小和正负号分别排列，并统计出谡差出现在各个区间的个数和频率。表7一1三角形内信和真误差统计表误差的Q区间(")/为正值为负值一个数匕©频率殳QnA力个数匕*频率殳2n%?P002421-01300.650R220.1300.650-0.20.419。01170.585190.1170.知dU."0.6Q15口0.093*30.465Q1230.0740.370。0

4、.608/0056-0.280*"0.0680.340一01.0-*0056028000497口245dL0L2Q*0.031-P0.155Q0.037450.190.0060.030-3，0.0180.090P1sl加0.00630.030。2。0.012。0.06031.6以上1CP0口0小02g0口g"0495o90505Pd为了直观表示偶然误差的分布，可将表71的数据用直方图来表示:误差分布曲线的数学方程式为：/3=屋反，偶然误差的四大特性如下：1 .在一定的观测条件下.偶然误差的绝对值不会超过一定的限值.即超过一定限值的误差，其出现的概率为零；2 .绝对值较小的误

5、差比绝对值较大的误差出现的概率大；3 .绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；4 .偶然误差的数学期望为零，即。也就是偶然误差的理论平均值为零即：.四=0误差分布曲线对应着某一种观测条件，当观测条件不同时,其相应误差曲线的形状将随之改变。中误差四、评定精度的标准在相同的观测条件卜，对某一量进行的观测对应看一种误差分布，这组观测值具有同等精度，但是在实际测量问题中并不需要求出误差的分布情况.而需要有个数字特征能反映误差分布的离散程度及评定观测成果的精度.1.实际测量L作中不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值&在测量中常用7表示中误差的估值(

6、Jm=&=【例7一1】有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，甲组的真误差为：+3,+2,-2,-1,0,-3；乙组的真误差为：+6,-7,-3,-4,+5,+2。问哪组观测值精度高。加甲=±=±2.12Vn优乙=±怛巨=±4.81Vn2.容许误差在定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过定限值。上P(-bVzK+b)=T=e2b2dzi=0.683by127rb1)一二尸(2bV/V|2b)=£；%2bd4=0.955byj27r1*工P(-3cr<J<+3b)=P.e2/=().997b历a。取三倍的中误差作为偶然误差的极

7、限值，称极限误差，在实际工作中，更多的是取二倍的中误差作为容许误差。3.相对误差相对误差=误差的绝对值_1一观测值一T当观测值的误差与观测值的大小有关时，要用相对误差衡量精度。作为分广的误差可以用不同的粘度标准，如用中误差、容许误差、闭合差或较差等，则其相对误差被分别称为相对中误差、相对容许误差、相对闭合差或相对较差等。§7-2误差传播定律及其应用一、误差传播定律在测量工作中，一些未知量不能直接进行观测，是山一些直接观测值，通过函数关系式计算得出。h=a-b误差传播定律就是说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律.已知独立观测值朴工2、X”的中误差分别为，九丫、，勺2、7mZ

8、=/(X,x2,-xzz)Z4-zlZ=/(X+,x2+Ax2，Z+,勺，)+T+J421Jl为办2dxJ函数z真误差表达式：JZ=必小|+C-zLr,+2-以“c1cNc，为,X2。Xn二、求任意函数中误差的一般步骤1 .列出独立观测值的函数式Z=/(x1,x2,%)2 .求出真误差关系式。dZ=t/.Vj+dx、+Jdxdxx1dx2.dxn3 .求出中误差关系式常用函数的中误差公式1 .倍数函数Z=kxm.km2 .线性函数Z=分项±k2x2土土knxn=土+k)*+应用误差传播定律时应注意以下三点：1 .要正确列立函数式。2 .函数式中观测值必须是独立的。3 .函数式中同时角

9、度观测值和长度观测值时，单位要统-o【例72】测量得某正方形建筑场地周长，四条边的测量结果为a=32.60m,边长测量中误差均为2产士0.01m。求该场地的周长及其中误差。解：周长L=4X32.60=130.40m周长中误差：(1)列函数式：L=a+a+a+a(2)写出真误差关系式：dL=lXda+Xda+Xda+Xda(3)写出中误差关系式：+?mt=2ma=±0.02m【例73】水准测量从A；1发经过B到C结束，已知"=+2.345m,/?2=/c="-2OOm,=±3mm,/z/P=±4mm,求A、C的点间高差及其中误差。解:“二小+伍=

10、2.345-0.200=+2.145m4BVr14求C的中误差：(1)列函数式：(2)写出真误差关系式：dhAC=dh,+dh2(3)写出中误差关系式：小小="%+，町2?/n/?AC=±5mm【例74】水准测量从A出发经过B到C结束，已测量A、B间高差hAB,W/,AB=土3mmo若要使A、C两点间高差的中误差Mac=土5mm，问测量B、C两点间高差的中误差为多少方可满足此要求。解：先看如下解法：(1)歹I函数式：砧=%人(2)写出真误差关系式：dhB(dhAC-dhAB(3)写出中误差关系式：m/%c=±5.8mm【例75】丈量得倾斜距离s=50.00m,其中

11、误差叽=0.05m,测得倾斜角a=15°0030，其中误差用30"，求相应水平距离。及其中误差。解：r)=5()xcos150=48.29(*?I.列函数式D=scosa2.求出真误差关系式小dD.dD,dD=as+dadsda=cosa=cosl5°=0.9659=-ssina=-50xsinl50=-l2.9410da3.求出中误差关系式,、(+30"Y0.965夕x0.05-+(-12.9410)x_=±0.048I20626引三、误差传播定律的应用(一)水准测量的精度(1)按测站数求高差中误差山站h=/?)4-/?2Hhhnmh=m站J

12、n当各测站观测高差的粘度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比。(2)按水准路线长求高差中误差一般情况F,各测站所测的两转点间的距离/大致都相等=了叫=机站屈=加站杆二号无川汕t令=贝Imh=4JZ在-定条件下，"为一定值，故水准测量的高差中误差与水准路线长度的平方根成正比。代表每公里水准测量的高差中误差勿中=整铁路线路水准测量的容许闭合差铁路线路水准测量中，要求每公里往返测高差平均值的中误差不大于±7.5mm,求L公里往返测的容许高程闭合差。1)求每公里单程水准测量高差中误差："那=±7.5夜2)求乙公里单程水准测量高差中误差：由即=，5n

13、=±7.5拒VZ3)求乙公里往返测闭合差的中误差：5加=,也单血=±1S/Z4)取两倍中误差为容许误差，口=2叼，Fh=2mJh=±3(VZ（二）水平角测量的精度DJI、DJ2和DJ6等的角码数字所表示的仪潜精度，是指一测回水平方向中误差分别不大于1",2”,6”。DJ6这类仪器测量水平角的限差（即容许误差）可计算如下：（1）一测回角值的中误差m方=±6"加尸O±6"(2)半测网角值的中误差，半=trip>/2二±12"（3）上、卜,半测回角值之差的限差,右=m*0=±12&qu

14、ot;&=±17"中误差的两倍为容许误差，故容许误差为34"（4）测回间角值较差的限差（三）丈量距离的粘度（1）丈量距离的偶然中误差用长度为/的钢尺共丈量了个尺段，全长。=山，若每尺段的偶然中误差都是，叫则全长。的偶然中误差为，mD=niyn令"F贝ljtnD=4丈量距离的偶然中误差与尺段数（或距离）的平方根成正比。（2）丈量距离的系统中误差若钢尺实际长度与名义长度不一致，具有长度误差H'其对全长的影响为：设为加为尺段的系统中误差全长的系统中误差为：mfD=AD同时考虑偶然误差和系统误差："5=±4Jd+”(PM)光电

15、测距的精度(22光电测距的误差包括两部分，一部分是与距离成比例的比例误差；而另一部分是与距离无关的固定误差。§7-3等精度独立观测值的最可律值及其中误差一、等精度独立观测值的最可靠值设对某一观测量进行了次等精度独立观测，得观测值4,其算术平均值为：x=(£+&+£)/n该观测量的真值为X,则客观测值向真误差为：1=4-X2=LjXn=Ln-X取以I：各式的和并除以观测次数得:ALnX=limx=X由此可见，当观测量无限大时，算术平均值的极限是观测值的真值。二、算术平均值的中误差设等精度独立观测值ZJ12的小误差为小，等精度独立观测量最可能值的计算式可写为如

16、下形式：.“4+3+"nnnn应用误差传播律，可得等精度独立观测量最可靠值的中误差例“2（1/In2）n,“mM=-=实践指导意义：在测量作中增加观测次数取平均值或提高单次观测的精度（例如采用高精度仪器或改进观测方法等措施）是提高成果精度的有效方法。三、按最或然误差求观测值中误差（白塞尔公式）观测值的最或然误差是观测量的最或然值X与观测值4之差，也称观测值的改正数,用匕表示匕=XLjAz=Lj-Xv=Mx-l=mJ-l=0匕+,xX8=x-Xj=5-vz=n-322rfv+vvAA=n->24-vve_rY_£Y_（4X）+也X）+.+（4X）_A+A+nnn*=（a

17、+A22h+2/人+2/XAdn2A/1_1An）n2nnr+vv=nr+vvn按最或然误差求观测值中误差的公式，称为“臼塞尔公式”。例7-6§7-4按真误差求观测位中误差1、按双观测值之差求观测值的中误差设对某观测量进行同精度的双次观测，得观测值L，和L，共较差为dd=ULT较差的真值为零，故，即d亦为较差的真误差设，为单次观测值的中误差md=my22、按三角形的角度闭合差求测角中误差按同样的精度观测了个三角形的所有内角，得各三角形的角度闭合差：Wl,w2wno角度闭合差卬=汇，-180°也是三角形内角和的真误差丁=土hr称为菲列罗公式，是三角测量中用来评定测用精度的里耍

18、公式。§7-5不等精度独立观测值的最可保值及其中误差不等粘度观测值的可律程度，可用一个数值来表示，称为各观测值的权。权为权衡轻重的意思，观测值精度愈高，权就越大。1、权Pi=当人=4时,则居=1,通常称等于1的权为单位权,权为1的观测值又称为单位权观测值，对应中误差为单位权中误差。："="：”：/=4=m；m&mx权反映了观测值之间相互精度关系。例1已知观测值为21、七、/m3=±3mmr试确定观测值的权。解/VT取/=±1mm时，取M=±2min时,取4二±3mm时，它们的中误差分别为切i二土1mm,m2=

19、7;2mm,观测精度的高低可以用权或中误差表示，观测精度愈高，权则愈大，而中误差则愈小。权和中误差不同，中误差是表达各观测值精度的一个绝对数字，而权则是比较各观测值精度高低的一组相对数字。2、确定权的方法【例2】在相同的观测条件下,对某一个未知量分别用不同的次数/，/，3进行观测，得相应的算术平均值为"，L2,L3,求LI,L2,L3的权。设观测值的中误差为:叫、帆2、fn3解：已知观测值为:m2通常令：C=1的含义?若已知观测次的中误差为m则根据误差传播定律:9"一m2Pi=c勺ni结论1：同精度观测时，算术平均值的权与观测次数成正比°【例3】用同样观测方法，经

20、由长度为ZJ,L2,乙3的三条不同水准路线，测量两点间的高差,分别得出高差为与，2,人3。已知每公里观测高差的中误差为例抽，求三个高差的权。解：按误差传播定律，经由三条不同路线所得高差的中误差为：mi=mk,n22Pi"2-2C.匕c*Pi结论2：当每公里观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度（或测站数）成反比。的含义？c=2的含义？c选取不同的值，权的数值也随之改变，单位权中误差的值和对应的实际含义也会随之改变，可是权之间的比例关系却不会改变。3、加权平均值及其中误差这或同一未知量送行了次不等精度观测，观测值八4、Z，相应的权分别为0、上、，则加权平均值x是不等精度观测值的最可靠值（证明参见例7加权平均值的计算式为：工_心+。2小/_3（13）Pl+H+P""P加权平均值的中误差例：X=Ly+pp一222M2二卫方机:+上三/川+上彳6：p2p2p2P2,22,P2=7即+=万2根2+1不46ppVpPl