小学奥数几何五大模型鸟头模型

1、三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比如图在 ABC 中， D , E 分别是 AB , AC 上的点如图(或 D 在 BA的延长线上，E在AC上如图 2)，则 SABC : S ADE ( ABAC): (ADAE )ADADEEBCBC图图【例 1】 如图在 ABC 中， D ,E 分别是 AB , AC 上的点，且 AD : AB 2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面积AADDEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE :

2、 S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE: AC4:7 (45) :(75) ，所以 S ADE : S ABC(24) :(75) ，设 S ADE8 份，则 35份， 16 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米， ABC的S ABCS ADE面积是 70平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？AAD

3、EDEBCBC【解析】 连接 BE EC3AESV ABC3SVABE又 AB5ADSV ADESVABE5 SVABC 15 ， SVABC 15SV ADE 15 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲 ( 阴影部分 ) 、乙两部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAEB甲【解析】 连接 AD BE3， AE6 AB3BE ， SV ABD又 BDDC4 ，乙E乙甲CBCDD3SV BDESV ABC2 SV ABD ， SVABC 6 SV BDE ， S乙5S甲 【例 2】 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 A

4、B : AD 5: 2，AE:EC3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面积DDAAEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(23): (53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，设 SADE6 份，则 S ABC25 份， S ADE 12 平方厘米，所以 1 份是 2平方厘米，25份就是50 平方厘米， ABC 的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角

5、) 两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF2CF ，三角形 AFE( 图中阴影部分 ) 的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？DCFAEB【解析】 连接 FB三角形 AFB 面积是三角形CFB 面积的2 倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的 2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2 倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3 2）6 倍因此，平行四边形的面积为8 6 48( 平方厘米 ) 【例 4】 已知 DEF 的面积为 7 平方厘米，BE

6、CE, AD2 BD, CF3AF ，求 ABC 的面积AFDBCE【解析】 S BDE : S ABC(BDBE) : (BA BC)(11): (23)1: 6，S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA)(13) :(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (ABAC)(21) :(34) 1:6设 ABC24 份，则BDE4份， 4份， CEF9份， 2444 9 7 份，恰好是7SSS ADFSS DEF平方厘米，所以S ABC24 平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中AB : BE 2:5， BC :CD3: 2，三角

7、形 BDE 的面积是多少？ABEABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，设AB 2份， BC3份，则 BE 5 份，BD 3 2 5 份，由共角定理S ABC : S BDE( ABBC):(BEBD) (23):(55) 6:25，设S ABC 6 份，恰好是3平方厘米，所以1份是 0.5 平方厘米， 25 份就是 250.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面积是 12.5平方厘米【例 6】 ( 2007 年”走美”五年级初赛试题 ) 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米， AE1 AC ，CF1BC 三角形 DEF 的面积为 _ 平方厘米33ADE

8、BFC【解析】 由题意知 AE1AC、CF123BC ，可得 CEAC 根据”共角定理”可得，33S CEF : S ABC (CF CE) : (CB AC )12: (33) 2:9；而 S ABC6 6 2 18；所以 SCEF 4 ；同理得， S CDE : S ACD2 :3 ;， SCDE183 212 ， SCDF 6故 S DEF S CEFS DECS DFC 412610 (平方厘米 )【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BDAB；延长 BC 至 E ，使 CE2BC ；延长CA至 F ，使 AF3AC ，求三角形 DEF 的面积FFA

9、CEAEBBCDD【解析】 ( 法 1) 本题是性质的反复使用连接 AE、 CD SV ABC11 ， SV ABCSVDBC1SVDBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面积 18( 法 2 ) 用共角定理在 VABC 和 VCFE 中，ACB 与 FCE 互补，SVABCACBC111SVFCEFCCE428又 SV ABC1 ，所以 SVFCE8 同理可得 SVADF6， SVBDE3 所以 SV DEFSVABCSV FCESV ADFSVBDE186318【例 8】 如图，平行四边形ABCD ， BEAB， CF2CB ， GD3DC ， HA4AD ，平行四边形ABCD 的面积

10、是2 ， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比HHABEABEGDCGDCFF【解析】 连接 AC 、 BD 根据共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 与FBE 互补，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1 ，所以 S FBE3 同理可得 S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH8 所以 SEFGHS AEHS CFGS DHGS BEFSABCD88 15+3+236 所以 SABCD21 SEFGH36 18【例 9】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，DA，求四边形ABCDCBBFDCCG HD的面积HHDCGDCGABF

11、ABFEE【解析】 连接 BD 由共角定理得S BCD : S CGF(CD CB ) : (CGCF )1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2 ，即 S AHE 2 S ABD所以 S AHESCGF2( SCBDS ADB )2S四边形 ABCD连接 AC ，同理可以得到S DHGS BEF2S四边形 ABCDS四边形 EFGHS AHES CGFS HDGS BEFS四边形 ABCD5S四边形 ABCD所以 S四边形 ABCD66513.2平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点E、F、

12、G、H，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形 EFGH 的面积是FFEBAEBACDGCGDHH【解析】 连接 AC 、 BD 由于 BE2AB， BF2BC ，于是 S BEF4S ABC ，同理 S HDG4S ADC 于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB ，AH3AD ，于是 S AEH9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD 12SABCD60 【例 11】如图，在

13、ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BDAB，延长 BC 至 E，使 CE1BC，F是AC的中点，若 ABC 的面积是2 ，则 DEF 的面积是多少？2AFBCED【解析】 在 ABC 和 CFE 中，ACB 与 FCE 互补，S ABCACBC224FCCE111S FCE又 SV ABC2 ，所以 SV FCE0.5 同理可得 S ADF2 ， SBDE3 所以S DEFS ABCS CEFS DEBS ADF20.5323.5【例 12】如图， S ABC1， BC5BD ， AC4EC ， DGGS SE， AFFG 求 SV FGS AFGSEBCD【解析】 本题题目本身很简单，但

14、它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况 最后求得 SFGS 的面积为 S FGS432111 5432210【例 13】如图所示，正方形ABCD边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG的面积是多少平方厘米？AEDAEDFFGCGCBB【解析】 连接 AF 、 EG 因为S BCFS CDE1216，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积48比等于夹这个角

15、的两边长度的乘积比”SVAEF8 ， SVEFG8 ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时， 这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到 SVBFC 16 ， SABFE32 ，SVABF24 ，所以 SVABG12 平方厘米【例 14】四个面积为 1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积FHAEBGCD【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF 与CEH 都是正三角形假设正六边形的边长为为a ，则AGF 与CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的49 倍而一个正六边形是由6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1 ，三角形 DEF 的面积为 49 66由于 FA4a ， FB 3a ，所以 AFB 与三角形 DEF 的面积之比为4312 7749同理可知BDC 、 AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为12 ，所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的 112313 ，所以ABC 的面积的面积为491313 4