数据库精品课(仅供个人学习)第06章

1、千磨万击还坚劲 任尔东西南北风数数 据据 库库 原原 理理Theory of Database第六章第六章 关系数据理论关系数据理论Theory of Database3第六章 关系数据理论6.1 问题的提出问题的提出6.2 规范化规范化6.3 数据依赖的公理系统数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解模式的分解6.5 小结小结Theory of Database46.1 问题的提出关系模式由五部分组成关系模式由五部分组成即它是一个五元组：即它是一个五元组：R(U, D, DOM, F)R：关系名：关系名U：组成该关系的属性名集合：组成该关系的属性名集合D：属性组：属性组U中属性所来自的域中属性

2、所来自的域DOM：属性向域的映象集合：属性向域的映象集合F：属性间数据的依赖关系集合：属性间数据的依赖关系集合Theory of Database56.1 问题的提出（续）关系模式关系模式R（U, D, DOM, F）简化为一个三元组 R（U, F）当且仅当当且仅当U上的一个关系上的一个关系r满足满足F时，时，r称为关系模式称为关系模式R（U, F）的一个关系。）的一个关系。Theory of Database66.1 问题的提出（续）例例1 建立一个描述学校教务的数据库：建立一个描述学校教务的数据库：学生的学号（学生的学号（SnoSno）、所在系（）、所在系（SdeptSdept）系主任姓名

3、（系主任姓名（MnameMname）、课程名（）、课程名（CnameCname） 和成绩（和成绩（GradeGrade）单一的关系模式单一的关系模式 ： table1 U Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade Theory of Database7存在的问题存在的问题6.1 问题的提出（续）1. 数据冗余太大数据冗余太大2. 更新问题（更新问题（Update question）3. 插入异常（插入异常（Insertion Anomalies）4. 删除异常（删除异常（Deletion Anomalies）Theory of Database86.1 问题的提出（续）结

4、论：结论：Student关系模式不是一个好的模式。关系模式不是一个好的模式。“好好”的模式：的模式：不会发生插入异常、删除异常、更新异常，不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少数据冗余应尽可能少原因原因：这是因为这个模型中的函数依赖存在某些这是因为这个模型中的函数依赖存在某些 不好的性质。不好的性质。Theory of Database9第六章 关系数据理论6.1 问题的提出问题的提出6.2 规范化规范化6.3 数据依赖的公理系统数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解模式的分解6.5 小结小结Theory of Database106.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6

5、.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database116.2.1 函数依赖一、函数依赖一、函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖四、传递函数依赖四、传递函数依赖Theory of Database12一、函数依赖一、函数依赖6.2.1 函数依赖（续）定义定义6.1设设R(U)是一个属性集是一个属性集U上的关系模式，上的关系模式，X和和Y是是U的的子集

6、。若对于子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系的任意一个可能的关系r，r中不中不可能存在两个元组在可能存在两个元组在X上的属性值相等，上的属性值相等， 而在而在Y上上的的属性值不等，属性值不等， 则称则称 “X函数确定函数确定Y” 或或 “Y函数依函数依赖赖于于X”，记作，记作XY。 X：决定因素；：决定因素；Y：被决定因素。：被决定因素。 Theory of Database13说明：说明： 6.2.1 函数依赖（续）1. 所有关系实例均要满足所有关系实例均要满足2. 语义范畴的概念语义范畴的概念3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定数据库设计者可以对现实世界作强制的规定例如：例如：

7、student(sno,sname,sex,age) snosname, snosex, snoagecourse(cno,cname,credit) cnocname, cnocreditTheory of Database14二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖6.2.1 函数依赖（续）在关系模式在关系模式R(U)中，对于中，对于U的子集的子集X和和Y，如果如果XY，但，但Y X，则称，则称XY是非平凡的函数依赖。是非平凡的函数依赖。如果如果XY，但，但Y X, 则称则称XY是平凡的函数依赖。是平凡的函数依赖。例：在关系例：在关系SC(Sno, Cno, Gra

8、de)中，中， 非平凡函数依赖：非平凡函数依赖： (Sno, Cno) Grade平凡函数依赖：平凡函数依赖： (Sno, Cno) Sno (Sno, Cno) CnoTheory of Database156.2.1 函数依赖（续）二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖若若XY，则，则X称为这个函数依赖的决定属性组，称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（也称为决定因素（Determinant）。）。若若XY，YX，则记作，则记作XY。若若Y不函数依赖于不函数依赖于X，则记作，则记作XY。Theory of Database16若若XY，但，但Y不完全函数依

9、赖于不完全函数依赖于X，则称则称Y对对X部分函数依赖，记作部分函数依赖，记作X P Y。在在R(U)中，如果中，如果XY，并且对于，并且对于X的任何一个真的任何一个真子集子集X，都有，都有X Y, 则称则称Y对对X完全函数依赖，完全函数依赖，记作记作X F Y。三、完全函数依赖与部分函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖6.2.1 函数依赖（续）定义定义 6.2Theory of Database17table1(Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade)中中(Sno,Cno)Grade是完全函数依赖是完全函数依赖，(Sno,Cno)Sdept是部分函数依赖是部分函数依赖

10、。FP6.2.1 函数依赖（续）三、完全函数依赖与部分函数依赖三、完全函数依赖与部分函数依赖例：例：因为因为SnoSdept成立，且成立，且Sno是是（Sno，Cno）的真子集。）的真子集。Theory of Database18定义定义6.3 在在R(U)中，如果中，如果XY，(Y X) ,YX YZ， ZY则称则称Z对对X传递函数依赖。传递函数依赖。 记为：记为： X Z四、传递函数依赖四、传递函数依赖传递传递6.2.1 函数依赖（续）注：如果注：如果YX， 即即XY，则，则Z直接依赖于直接依赖于X。例例: 在在table1(Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade)

11、 ， 有：有： Sno Sdept，Sdept Mname Mname传递函数依赖于传递函数依赖于SnoTheory of Database196.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database20设设K为为R中的属性或属性组合。若中的属性或属性组合。若K U， 则则K称为称为R的侯选码（的侯选码（Candidate Key）。）。6.2.2 码F若候选码多于一个，则选定其中的一个做为主码若候选码多

12、于一个，则选定其中的一个做为主码（Primary Key）。）。定义定义6.4Theory of Database216.2.2 码（续）主属性与非主属性主属性与非主属性u包含在任何一个候选码中的属性包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性，称为主属性 （Prime attribute）u不包含在任何码中的属性称为非主属性不包含在任何码中的属性称为非主属性 （Nonprime attribute）或非码属性或非码属性（Non-key attribute）u整个属性组是码，称为全码整个属性组是码，称为全码（All-key）全码全码Theory of Database226.2.2 码（续）例例

13、2 关系模式关系模式S(Sno,Sdept,Sage)中，单个属性中，单个属性Sno是码，是码，SC（Sno，Cno，Grade）中，（）中，（Sno，Cno）是码。）是码。例例3关系模式关系模式R（P，W，A）P：演奏者：演奏者 W：作品：作品 A：听众：听众一个演奏者可以演奏多个作品一个演奏者可以演奏多个作品某一作品可被多个演奏者演奏某一作品可被多个演奏者演奏听众可以欣赏不同演奏者的不同作品听众可以欣赏不同演奏者的不同作品码为码为(P，W，A)，即，即All-Key Theory of Database23外部码外部码6.2.2 码（续）定义定义6.5 关系模式关系模式 R 中属性或属性组

14、中属性或属性组X 并非并非 R的码，的码，但但 X 是另一个关系模式的码，则称是另一个关系模式的码，则称 X 是是R 的外部码（的外部码（Foreign key），也称外码。），也称外码。如在如在SC（Sno，Cno，Grade）中，）中，Sno不是码，不是码，但但Sno是关系模式是关系模式S（Sno，Sdept，Sage）的码，）的码，则则Sno是关系模式是关系模式SC的外部码。的外部码。主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段。主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段。Theory of Database246.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式

15、6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database256.2.3 范式关系模式满足不同标准化程度称为满足不同范式。关系模式满足不同标准化程度称为满足不同范式。1971-1972年年E.F.Codd系统提出了系统提出了1NF,2NF,3NF。后来又和他人一起提出了后来又和他人一起提出了BCNF,4NF,5NF.范式的种类：范式的种类：第一范式第一范式(1NF)第二范式第二范式(2NF)第三范式第三范式(3NF)BC范式范式(BCNF)第四范式第四范式(4NF)第五范式第五范式(

16、5NF)Theory of Database266.2.3 范式（续）NF5NF4BCNFNF3NF2NF1各种范式之间存在联系：各种范式之间存在联系：某一关系模式某一关系模式R为第为第n范式，可简记为范式，可简记为RnNF。一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化。这种过程就叫规范化。 Theory of Database276.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 B

17、CNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database286.2.4 1NF 2NF1NF的定义：的定义：如果一个关系模式如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的的所有属性都是不可分的基本数据项，则基本数据项，则R1NF。第一范式是对关系模式的最起码的要求。第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。Theory of Database29

18、(Sno, Cno) P SdeptSno Sloc(Sno, Cno) F GradeSno Sdept6.2.4 1NF 2NF（续）例例4 关系模式关系模式 S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。函数依赖包括：函数依赖包括：(Sno, Cno) P SlocSdept SlocTheory of Database30SnoCnoGradeSdeptSlocS-L-C6.2.4 1NF 2NF（续） S-L-C的码为的码为(Sno, Cno)。S-L-C满足第一

19、范式。满足第一范式。非主属性非主属性Sdept和和Sloc部分函数依赖于码部分函数依赖于码(Sno, Cno)。实线：完全函数依赖；虚线：部分函数依赖。实线：完全函数依赖；虚线：部分函数依赖。Theory of Database31S-L-C不是一个好的关系模式不是一个好的关系模式6.2.4 1NF 2NF（续） S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)码：码：Sno+Cno产生的问题：产生的问题：(1) 插入异常插入异常(2) 删除异常删除异常(3) 数据冗余度大数据冗余度大(4) 修改复杂修改复杂Theory of Database326.2.4 1NF 2N

20、F（续） S-L-C不是一个好的关系模式不是一个好的关系模式原因：原因：Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。部分函数依赖于码。解决方法：解决方法：S-L-C分解为两个关系模式，以消除这些分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖：部分函数依赖： SC（Sno， Cno， Grade） S-L（Sno， Sdept， Sloc）Theory of Database33SnoCnoGradeSCS-LSnoSdeptSlocu关系模式关系模式SC的码为的码为（Sno，Cno）u关系模式关系模式S-L的码为的码为Snou这样非主属性对码都是完全函数依赖这样非主属性对码都是完全函数依赖 6.2.4

21、 1NF 2NF（续） 函数依赖图：函数依赖图：Theory of Database34例：例： S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)1NF S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)2NF SC（Sno， Cno， Grade） 2NF S-L（Sno， Sdept， Sloc） 2NF6.2.4 1NF 2NF（续） 2NF定义定义6.6 若若R1NF，且每一个非主属性完全函数，且每一个非主属性完全函数 依赖于码，则依赖于码，则R2NF。Theory of Database356.2.4 1NF 2NF（续） 采用投影分解法将一个采用投影分解法

22、将一个1NF的关系分解为多个的关系分解为多个2NF的关系，的关系，可以在一定程度上减轻原可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个将一个1NF关系分解为多个关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。关系模式中的各种异常情况和数据冗余。Theory of Database366.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依

23、赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database37 6.2.5 3NF3NF定义定义6.7 关系模式关系模式R 中每一个非主属性既不部中每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码，分依赖于码也不传递依赖于码，则称则称R 3NF。或：或：R 2NF且非主属性不传递函数依赖于码。且非主属性不传递函数依赖于码。Theory of Database38可得：可得： Sno Sloc，即，即S-L中存在非主属性对码的中存在非主属性对码的 传递函数依赖，传递函数依赖，S-L 3NFSnoSdeptSdept SnoSdeptSloc传递传递 6.2.5

24、 3NF（续）例：例：2NF关系模式关系模式S-L(Sno, Sdept, Sloc)中中函数依赖：函数依赖：Theory of Database39函数依赖图：函数依赖图：S-LSnoSdeptSloc 6.2.5 3NF（续）Theory of Database40 6.2.5 3NF（续）解决方法解决方法采用投影分解法，把采用投影分解法，把S-L分解为两个关系模式，以分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：消除传递函数依赖： S-D（Sno， Sdept） D-L（Sdept，Sloc）S-D的码为的码为Sno， D-L的码为的码为Sdept。分解后的关系模式分解后的关系模式S-D与与D

25、-L中不再存在传递依赖。中不再存在传递依赖。Theory of Database41SnoSdeptS-DSdeptSlocD-LS-L(Sno, Sdept, Sloc) 2NFS-L(Sno, Sdept, Sloc) 3NF S-D(Sno，Sdept) 3NFD-L(Sdept， Sloc) 3NF 6.2.5 3NF（续）S-D的码为的码为Sno， D-L的码为的码为SdeptTheory of Database42 6.2.5 3NF（续）采用投影分解法将一个采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个的关系分解为多个3NF的关系，的关系，可以在一定程度上解决原可以在一定程度上解决原

26、2NF关系中存在的插入异常、关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个将一个2NF关系分解为多个关系分解为多个3NF的关系后，仍然不能的关系后，仍然不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。Theory of Database436.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Database44定

27、义定义6.8 关系模式关系模式R1NF，若若XY且且Y X时时X必含有码，必含有码，则则R BCNF。 6.2.6 BCNF等价于：每一个决定属性因素都包含码。等价于：每一个决定属性因素都包含码。BCNFTheory of Database45充分充分不必要不必要 6.2.6 BCNF（续）若若RBCNF所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖；所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖；所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖；所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖；没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性；没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性；R BCNFR 3

28、NFTheory of Database46 6.2.6 BCNF（续）例例5 关系模式关系模式C（Cno，Cname，Pcno）C3NFCBCNF例例6 关系模式关系模式S（Sno，Sname，Sdept，Sage，fno）S有两个码有两个码Sno，fno(身份证号身份证号)S3NF。SBCNFTheory of Database47 6.2.6 BCNF（续）例例7 关系描述关系描述SJP（S,J,P）,S是学生，是学生，J表示课程，表示课程， P表示名次。每一个学生选修每门课程的成绩表示名次。每一个学生选修每门课程的成绩 有一定的名次，每门课程中每一名次只有一个有一定的名次，每门课程中每

29、一名次只有一个 学生（即没有并列名次）。学生（即没有并列名次）。由语义可得到下面的函数依赖：由语义可得到下面的函数依赖： （S,J） P;（J,P） S;（S,J）与（）与（J,P）都可以作为候选码。）都可以作为候选码。 这两个码各由两个属性组成，而且它们是相交的。这两个码各由两个属性组成，而且它们是相交的。这个关系模式中显然没有属性对码传递依赖或这个关系模式中显然没有属性对码传递依赖或 部分依赖。所以，部分依赖。所以， SJP 3NF，而且除（，而且除（S,J）与）与 （J,P）以外没有其他决定因素，所以）以外没有其他决定因素，所以SJP BCNF。Theory of Database48

30、6.2.6 BCNF（续）例例8在关系模式在关系模式STJ（S，T，J）中，）中，S表示学生，表示学生， T表示教师，表示教师，J表示课程。每个教师只教一门课，表示课程。每个教师只教一门课， 一门课可以有多个老师，学生选定课程就固定了老师。一门课可以有多个老师，学生选定课程就固定了老师。l函数依赖：函数依赖： (S，J)T，(S，T)J，TJl(S，J)和和(S，T)都是候选码都是候选码Theory of Database49 JSJTSTSTJ中的函数依赖中的函数依赖 6.2.6 BCNF（续）例例8在关系模式在关系模式STJ（S，T，J）中，）中，S表示学生，表示学生， T表示教师，表示教

31、师，J表示课程。每个教师只教一门课，表示课程。每个教师只教一门课， 一门课可以有多个老师，学生选定课程就固定了老师。一门课可以有多个老师，学生选定课程就固定了老师。Theory of Database50STJ3NF l没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖 STJBCNFlT是决定因素，是决定因素，T不包含码不包含码 6.2.6 BCNF（续）Theory of Database51SJSTTJTJ 6.2.6 BCNF（续）解决方法：解决方法：将将STJ分解为二个关系模式：分解为二个关系模式： ST(S，T) BCNF， TJ(T，J) BCNF没有任

32、何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖。没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖。Theory of Database523NF与与BCNF的关系：的关系：充分充分不必要不必要充分充分必要必要 6.2.6 BCNF（续）R BCNFR 3NF如果如果R3NF，且，且R只有一个候选码只有一个候选码R BCNFR 3NFTheory of Database536.2 规范化6.2.1 函数依赖函数依赖6.2.2 码码6.2.3 范式范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结规范化小结Theory of Dat

33、abase546.2.9 规范化小结关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具目的：尽量消除插入、删除异常，修改复杂，数据冗余目的：尽量消除插入、删除异常，修改复杂，数据冗余基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分u实质：概念的单一化实质：概念的单一化Theory of Database556.2.9 规范化小结（续）关系模式规范化的基本步骤关系模式规范化的基本步骤消除非主属性对码的部分函数依赖消除非主属性对码的部分函数依赖消除非主属性对码的传递函数依赖消除非主属性对码的传递函数依赖消除主属性对码的部分和传递

34、函数依赖消除主属性对码的部分和传递函数依赖消除非平凡且非函数依赖的多值依赖消除非平凡且非函数依赖的多值依赖消除决定因素消除决定因素非码的非平凡非码的非平凡函数依赖函数依赖 1NF 2NF 3NF BCNF 4NFTheory of Database566.2.9 规范化小结（续）l不能说规范化程度越高的关系模式就越好不能说规范化程度越高的关系模式就越好;l在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际 情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适 的、能够反映现实世界的模式的、能够反映现实世界的模式;l上面的

35、规范化步骤可以在其中任何一步终止。上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止。结论：结论：Theory of Database57第六章 关系数据理论6.1 问题的提出问题的提出6.2 规范化规范化6.3 数据依赖的公理系统数据依赖的公理系统*6.4 模式的分解模式的分解6.5 小结小结Theory of Database586.3 数据依赖的公理系统逻辑蕴含逻辑蕴含定义定义6.11 对于满足一组函数依赖对于满足一组函数依赖 F 的关系模式的关系模式R ，其任何一个关系，其任何一个关系r，若函数依赖，若函数依赖XY都成立都成立, 则称则称F逻辑蕴含逻辑蕴含X Y。Theory of Databas

36、e59Armstrong公理系统公理系统6.3 数据依赖的公理系统（续） 关系模式关系模式R 来说有以下的推理规则：来说有以下的推理规则：A1.自反律（自反律（Reflexivity）：若）：若Y X U， 则则X Y为为F所蕴含。所蕴含。A3.传递律（传递律（Transitivity）：若）：若XY及及YZ为为F所蕴含，所蕴含， 则则XZ为为F所蕴含。所蕴含。A2.增广律（增广律（Augmentation）：若）：若XY为为F所蕴含，且所蕴含，且Z U， 则则XZYZ为为F所蕴含。所蕴含。Theory of Database606.3 数据依赖的公理系统（续）A1.自反律自反律: 若若Y X

37、 U，则，则X Y为为F所蕴含。所蕴含。证证: 设设Y X U 对对R 的任一关系的任一关系r中的任意两个元组中的任意两个元组t，s： 若若tX=sX，由于，由于Y X，有，有ty=sy， 所以所以XY成立，自反律得证。成立，自反律得证。Theory of Database616.3 数据依赖的公理系统（续）A2.增广律增广律: 若若XY为为F所蕴含，且所蕴含，且Z U， 则则XZYZ 为为F所蕴含。所蕴含。证：设证：设XY为为F所蕴含，且所蕴含，且Z U。 设设R 的任一关系的任一关系r中任意的两个元组中任意的两个元组t，s： 若若tXZ=sXZ，则有，则有tX=sX和和tZ=sZ； 由由XY，于是有，于是有tY=sY，所以，所以tYZ=sYZ， 所以所以XZYZ为为F所蕴含，增广律得证。所蕴含，增广律得证。Theory of Database626.3 数据依赖的公理系统（续）A3.传递律：若传递律：若XY及及YZ为为F所蕴含，所蕴含， 则则XZ为为F所蕴含。所蕴含。证：设证：设XY及及YZ为为F所蕴含。所蕴含。 对对R 的任一关系的任一关系 r中的任意两个元组中的任意两个元组 t，s： 若若tX=sX，由于，由于XY，有，有 tY=sY； 再由再由YZ，有，有tZ=sZ， 所以所以