数学研究性学习报告(二次函数)

1、班级：高二（6）班课题组长：余杭银 课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、 徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告201 4 年 5 月 30 日班 级高二（6）班研究课程数学课题名称二次函数图象特点的应用小组成员王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋组 长余杭银指导教师王少波 选择本课题的主要原因 随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生的发展”越来越受到人们的关注与重视。课程改革已成为转变学习方式的一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、张扬、发展和提升的过程。在这一背景下，我们成立了“二次函数图像的特点

2、和应用”的课题研究小组。 开展本课题研究的目的与意义(1)顺应当前教育发展的需要。在如今交流工具网络化和全球经济一体化的推动下，知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。按照素质教育要求，教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生从书本上获取知识是很难面向未来的。人要在一生中不断学习，才能适应社会的快速发展，所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重要的是，激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后持续不断的发展打下坚定的基础。我们学生一旦学会了学习的方法与能力，知识的获取将是无限的。(2）促进我们学生发展的需要。教育的核心应着眼于我们学生的全面发展，应立足于

3、我们学生本位教育。教学改革的真实意义：“即是使每个人发展自己的才能和创造潜力。”因此，坚持以我们学生为本的改革方向，坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、积极地参与社会活动，并为社会进步作出贡献。教育过程中通过启发、引导受教育者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。这就必须让我们从小在“探究”的教育活动中锻炼自己，养成良好的学习品质，获得终身发展的知识和能力。(3)具体到专题上，二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习，而

4、且在生活二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上也相当重要，如速度等，组织我们学生个人研究，小组讨论，探讨，进而形成结论有利于我们学生形成正确的知识体系，体会研究的快乐，激发我们学生的的兴趣。 活 动 计 划1）任务分工： 任 务 负 责 人开题报告的提出余杭银、徐李忺资料的查阅王钰莹、叶尧栋资料的整理王金玉、朱佳威结题报告王钰桦、顾棋锋报告整理余杭银2） 研究方法： 查阅文献、上网搜索、访问调查等3） 活动步骤： 选题；写开题报告；调查&收集资料；写结题报告；整理报告4） 活动所需条件： 图书资料：数学课本、文献资料等 实验室（设备）：计算机等 其他：计算机上网、调查5） 计划访问专家

5、： 校内1位：王少波 校外0位1. 二次函数的基本定义一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标-b/2a,(4ac-b2)/4a交点式为y=a(X-x1)(X-x2) 仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个

6、数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。2. 二次函数图象的特点及应用     二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一

7、步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。                    二次函数图象的特点    一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。且a0） 则称Y为X的二次函数。 二次函数的三中表达形式：   （1）一般式： 

8、 y=ax2+bx+c（ 其中a,b,c为常数，且 a0）；              （2） 顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a0） ；       （3）交点式： y=a(x-x1)(x-x2)（其中a0且 A( x1，0)和B(x2，0)为二次函数图像与x轴的

9、交点坐标。 ） 三中表达形式的关系      以上3种形式可进行如下进行转化：    （1）一般式和顶点式的关系    对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即  h=-b/2a=(x1+x2)/2  k=(4ac-b2)/4a  （2）一般式和交点式的关系  x1,x2=-b±(b2-4ac)/2a(即一元二

10、次方程求根公式)  抛物线的性质  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。  特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）  2. 抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )  当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。  3. 二次项系数a决定抛物线的

11、开口方向和大小。  当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。  |a|越大，则抛物线的开口越小。  4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。  当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；  当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。  5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。  抛物线与y轴交于（0，c）  6. 抛物线与x轴交点个数  = b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点

12、。  = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。  = b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±b24ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）  当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变  当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时

13、，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)  7. 定义域：R  值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）(4ac-b2)/4a，正无穷）；t，正无穷）  8. 奇偶性：偶函数  9. 周期性：无  二次函数图像的应用     二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。在日常

14、生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。 典型题目如： （一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3. 利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。    （二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，xt，t+1，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。 解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1 运用函数与方程的思想方法。 （三）、实根问题：设二次函数f（x）=x

15、2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0x1x21，求a的取值范围。解得0a3-2（2）. 用数型结合的思想来做的。 （四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足abc，a+b+c=o（a，b，cR且a0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。解得A1B1的取值范围是（3,23）. 二次函数和一次函数的共同问题。 生活实际运用如： （一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受

16、的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。    （1）请写出y与x之间的关系式；    （2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。 （2）由y=-5x2+100x+6000得       当x=-b/2a=10时，  

17、60;    Ymax=（4ac-b2）/2a=60500       所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。       （二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。          已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求

18、出最大值。      解：关系式为y=-x2+3x（0x3）           Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0x3           所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。         （三、拱桥问题。&

19、#160;         有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米, 求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？   解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2 ；        计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速