勾股定理逆定理八种证明方法

1、学习好资料欢迎下载证法 1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. ）。过点 C 作 AC 的延长线交 DF于点 P. D、 E、F 在一条直线上，且 RtGEF RtEBD， EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180° 90°= 90 °又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为 c 的正方形。 ABC + CBE = 90° RtABC Rt

2、EBD， ABC = EBD. EBD + CBE = 90°即 CBD= 90°又 BDE = 90°， BCP = 90°，BC = BD = a. BDPC是一个边长为 a 的正方形。同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 GHCBE的面积为S，则证法 2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，做一个边长为 c 的正方形。斜边长为 c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三点在一条直线上 . 过点 Q作 QPBC，交 AC于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作

3、FNPQ，垂足为 N. BCA = 90°， QPBC， MPC = 90°， BMPQ， BMP = 90°， BCPM是一个矩形，即 MBC = 90°。 QBM +MBA = QBA = 90°，ABC + MBA = MBC = 90°， ，又 BMP = 90°， BCA = 90°， BQ = BA = c ， RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF.即证法 3作两个全等的直角三角形，同证法 2，再作一个边长为 c 的正方形。把它们拼成如图所示的多边形 . 分别以 CF，AE为边长做正

4、方形 FCJI 和 AEIG，EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J 在同一直线上，学习好资料欢迎下载CJ=CF=a， CB=CD=c，CJB = CFD = 90°，RtCJB RtCFD ，同理， RtABG RtRtCJB RtCFD RtABG RtADEADE， ABG = BCJ， BCJ +CBJ= 90°， ABG +CBJ= 90°， ABC= 90°， G,B,I,J 在同一直线上，。证法4作三个边长分别为a、b、c 的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 C

5、LDE，交 AB于点 M，交 DE于点 L. AF = AC ，AB = AD，FAB = GAD，FAB GAD，FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形 ADEB的面积= 矩形 ADLM的面积 + 矩形 MLEB的面积 即证法5几何原本中的证明 在欧几里得的 几何原本 一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设 ABC为一直角三角形，其中 A 为直角。从 A 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。 此线把对边上的正方形一分为二， 其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定

6、理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（ SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积 （据辅助定理 3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设 ABC 为一直角三角形，其直角为 CAB。其边为 BC、AB、和 CA，依序绘成四方形 CBDE、BAGF和 ACIH。画出过点 A 之 BD、CE的平行线 。此线将分别与 BC和 DE直角相交于 K、L。分别 连接 CF、AD

7、，形成两个三角形 BCF、BDA。 CAB和 BAG都是直角，因此 C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证 B、A 和 H。 CBD和 FBA皆为直角，所以 ABD等于 FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以 ABD 必须相等于 FBC。因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于 ABD。因为 C、A和 G有共同线性，所以正方形 BAGF必须二倍面积于 FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF= AB&sup2；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+

8、 AC2; ; = BD ×BK + KL×KC。由于 BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD ×BC 由于 CBDE学习好资料欢迎下载是个正方形，因此 AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得几何原本一书第 1.47 节所提出的证法 6（欧几里得（ Euclid ）射影定理证法）如图 1，RtABC中， ABC=90°， BD是斜边 AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：（ BD）2;=AD·DC，（ AB）2;=AD·AC ，（ BC）2;=CD

9、3;AC。由公式 +得：（ AB）2;+ （BC）2;=AD·AC+CD·AC =（ AD+CD）· AC=（AC）2；，图 1 即 （AB）2;+ （BC）2;= （AC）2，这就是勾股定理的结论。图 1证法6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2 ；中间懂得小正方形边长为b-a ，则面积为（ b-a ） 2。于是便可得如下的式子：4×（ ab/2 ） +（ b-a ）2;=c2 ；化简后便可得： a2;+b2;=c2;亦即：c=(a2;+b2;

10、)1/2勾股定理的别名勾股定理，是 几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”， 而且在高等数学 和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个 文明古国 都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。 中国古代数学家称直角三角形为勾股形， 较短的直角边称为 勾，另一直角边称为 股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。 在公元前 1000 多年，据记载，商高（约公元前 1120 年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称

11、“商高定理”。 在公元前 7 至 6 世纪一中国学者陈子， 曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾， 日高为股， 勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时， 勾股定理又叫“驴桥定理”。 还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年， 希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现， 毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”前任美国第二十届总统 伽菲尔德 证明了勾股定理（ 1876 年 4 月 1 日）。1 周髀算经，文物出版社， 1980 年 3 月， 据宋代嘉定六

12、年本影印，1-5 页。2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与 出入相补原理 的关系。刊於汉学研究，1989 年第 7 卷第 1 期， 255-281 页。3. 李国伟： 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章。刊於第二届科学史研讨会汇刊，台湾， 1991 年 7 月， 227-234 页。4. 李继闵：商高定理辨证。刊於自然科学史研究， 1993 年第 12 卷第 1 期，29-41 页。5. 曲安京： 商高、赵爽与 刘徽关於勾股定理的证明。刊於数学传播 20 卷，台湾， 1996 年 9 月第 3 期， 20-27 页证法 7学习好资料欢迎下载达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸， 把它撕开重新

13、拼凑之后， 中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同， 让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式勾股定理， 所有勾股定理的 证明方法 都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道 EBCF，又因为纸片的两边是对称的， 所以能够知道四边形 ABOF和 CDEO都是正方形。然后需要知道的是角 A' 和角 D' 都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结 AD，因为对称的缘故，所以 BAD=FAD=CDA=EDA=45°，那么很明显，图三中角 A' 和角 D' 都是直角。证明：第一张中多边形 ABCDEF的面

14、积 S1=S正方形 ABOF+S正方形CDEO+2SBCO=OF2+OE2+OF·OE第三张中多边形 A'B'C'D'E'F'方形 B'C'E'F'+2C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因为 S1=S2的面积S2=S正所以 OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D' ·D'E'又因为 C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以 OF2+OE2=E'F'2因为 E'F'=EF所以