利用导数求函数的单调区间、极值和最值

1、 中小学个性化教育专家精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60）学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期课 题利用导数学求函数单调区间、极值和最值授课时间：备课时间： 教学目标1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性；2、能用导数求函数的极值和最值。重点、难点考点及考试要求教学内容一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间1.定义：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在为这个区间内的减函数.2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的

2、导数.令解不等式，得的范围就是递增区间.令解不等式，得的范围，就是递减区间.例14、.x0时，证明不等式：.二、利用导数求函数的极值1、极大值 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点2、极小值一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点3、极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函

3、数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4、判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5、求可导函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数(2)求方程的根(3)用函数的导

4、数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值例16、求的极值.例17、函数在处具有极值，求的值.例18、 在和处有极值，求的值例10、已知函数（1） 设，求函数的极值；（2），且当时，恒成立，试确定的取值范围。例11、已知函数，其中。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。例19、确定函数的单调区间，并求函数的极大、极小值.例20、求函数的极值与极值点

5、.例21、求函数的极值.三、利用导数求函数的最大值与最小值1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可

6、以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与比较得出函数在上的最值.例22、.求函数在区间上的最大值与最小值例23、. 已知,.是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.例24、若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围例25、已知函数是上的奇函数，当时取得极值，（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立例26、设函数的定义域为，当时，取得极大值；当时取得极小值，且（1）求证：；（2）求证：；（3