综合法和分析法

1、 2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法一、学习目的：1、理解直接证明的两种根本方法分析法和综合法；2、理解分析法和综合法的考虑过程、特点，会用分析法和 综合法证明数学问题。二、自学指导： 快速阅读教材，填写? 创新思维?P43 根底梳理问题提出问题提出 1.1.合情推理的主要作用和思维过程是什合情推理的主要作用和思维过程是什么？么？作用：提出猜测，发现结论；作用：提出猜测，发现结论； 过程：从详细问题出发过程：从详细问题出发观察、分析、比观察、分析、比较、联想较、联想归纳、类比归纳、类比提出猜测提出猜测. . 2. 2.演绎

2、推理的一般形式是演绎推理的一般形式是“三段论，三段论，三段论的根本含义如何？三段论的根本含义如何？ 大前提：的一般原理；大前提：的一般原理； 小前提：小前提：所研究的特殊情况；所研究的特殊情况； 结结 论：论：根据一般原理，对特殊情况做根据一般原理，对特殊情况做 出判断出判断. .MSP假设集合假设集合M M的所有元素的所有元素都具有性质都具有性质P P，S S是是M M的一个子集，那么的一个子集，那么S S中所有元素也都具有中所有元素也都具有性质性质P P。所有的金属所有的金属(M)(M)都可以导电都可以导电(P)(P)铜铜(S)(S)是金属是金属(M)(M)铜铜(S)(S)可以导电可以导电

3、(P)(P)M MP PS SM MS SP P在演绎推理中，只要前提和推理形式是在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。正确的，结论必定正确。 3. 3.合情推理所得结论的正确性是需要证合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的施行也需要详细的操作方明的，演绎推理的施行也需要详细的操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的根法，因此，从理论上获取证明数学命题的根本方法，是我们需要进一步学习的内容本方法，是我们需要进一步学习的内容. .探究一：综合法探究一：综合法 思考思考1 1：对于不等式对于不等式其左右两边的结构有什么特点？其左右两边的结构有什么特点？2222()()

4、4a bcb caabc+右边是右边是3 3个数个数a，b b，c c的乘积的的乘积的4 4倍，左边倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积两个数的平方和之积. .考虑考虑2 2：利用哪个知识点可以沟通两个数：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？的平方和与这两个数的积的不等关系？根本不等式根本不等式思考思考3 3：若已知若已知a0 0，b0 0，如何利用不，如何利用不等式性质证明等式性质证明 2222()()4a bcb caabc+考虑考虑4 4：上述从条件，根本不等式，不等：上述从条件，根本不等式，不等式乘

5、法和加法性质出发，推出所证结论成式乘法和加法性质出发，推出所证结论成立的证明方法叫做综合法，一般地，综合立的证明方法叫做综合法，一般地，综合法的根本含义是什么？法的根本含义是什么？ 利用条件和某些数学定义、公理、定理、性利用条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法那么等，经过一系列的推理论证，最质、法那么等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立后推导出所证结论成立. .考虑考虑5 5：综合法又叫：综合法又叫“顺推证法或顺推证法或“由由因导果法，其根本思想是：由推可知，因导果法，其根本思想是：由推可知，逐步推出未知逐步推出未知. .假设用假设用P P表示条件和某些表示条件和某些数学定义、

6、公理、定理、性质、法那么数学定义、公理、定理、性质、法那么等，等，Q Q表示所要证明的结论，那么综合法表示所要证明的结论，那么综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？的推理过程用流程框图可怎样表示？1PQ12QQ23QQnQQ借助于中间一些量、式子、的结论、定理、借助于中间一些量、式子、的结论、定理、公理最终转化到所要证明的结论！公理最终转化到所要证明的结论！证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a

7、0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2综合法：综合法：证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2探究二：分析法探究二：分析法证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以

8、所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2分析法：分析法：综合法：综合法：考虑考虑5 5：上述证明方法叫做分析法：上述证明方法叫做分析法. . 一般一般地，分析法的根本含义是什么？地，分析法的根本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为断定一个显然成立的分条件，直到归结为断定一个显然成立的条件条件、定义、公理、定理、性质、条件条件、定义、公理、定理、性质、法那么等为止法那么等为止. . 考虑考虑6 6：分析法又叫：

9、分析法又叫“逆推证法或逆推证法或“执果执果索因法，其根本思想是：由未知探需知，索因法，其根本思想是：由未知探需知，逐步推向逐步推向. . 假设用假设用Q Q表示所要证明的结论，表示所要证明的结论，那么分析法的推理过程用流程框图可怎样那么分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？表示？1QP12PP23PP显然成立的条件显然成立的条件理论迁移理论迁移 例例1 1 在在ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的对的对边分别为边分别为a a，b b，c c，A A，B B，C C成等差数列，且成等差数列，且a a，b b，c c成等比数列，求证成等比数列，求证ABCABC为等边三角为等

10、边三角形形. . 例例2 2 求证：求证： . .372 5+练习练习:如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂足为垂足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:S

11、A:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立例题3、独立完成教材P88例题小结作业小结作业 1. 1.在数学证明中，综合法和分析法是两在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，假设从入手能找到种最常用的数学方法，假设从入手能找到证明的途径，那么用综合法，否那么用分证明的途径，那么用综合法，否那么用分析法析法. . 2. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的标准性件，在解题表述中要注意语言的标准性和逻辑性和逻辑性.