数列专题错位相减求和

1、高一数学第七周周考、解答题1.已知数列an是等差数列，数列bn是各项均为正数的等比数列，且a1b1 1 ,a3 b27 , d 13 .(1)求数列an , bn的通项公式；(2)设 Cnan_-，求数列Cn的前 n项和Sn .bn2 .已知等差数列an的前n项和为Sn , a5 5, S5 15 .(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列2 n an的前n项和为Tnn 13. 已知数列an满足 q 2, an 12()2 K(n N*)n(1) 求证：数列 粵 是等比数列，并求其通项公式；n2(2) 设bn 3log2(电)26，求数列 bn 的前n项和；n4. 已知等差数列 an的公差

2、大于0,且a3,a5是方程x2 14x 45 0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且 Sn 1 2bn. ( 12 分)(1) 求数列an , bn的通项公式；(2) 记Cn an bn ,求数列Cn的前n项和Tn5. 已知数列a n的前n项和Sn满足S=2 n2- 13n (n N*).(1) 求通项公式an；(2) 令Cn='，求数列C n的前n项和Tn.,2n|6 等差数列an的首项a11，其前n项和为Sn，且aa5a47 .(I)求an的通项公式；(H)求满足不等式 Sn 3an 2的n的值.7.已知数列a n的前n项和为S, a1 = 2.当n2时，S-1 + 1, an,

3、 S+ 1成等差数列.(1)求证：Sn+ 1是等比数列；求数列na n的前n项和Tn.1 *8已知数列 an的前n项和为Sn ,且a, - , Sn n(2n 1)an (n N ).3(1) 求 a2, as 的值；(2) 猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明9已知Sn为等差数列 an的前n项和，且a3 5, S3 9.(I)求 an的通项公式；1(n)求数列的前n项和Tn.anan 110 已知Sn为数列an的前n项和，若 印 2且Sn 1 2Sn.(1) 求数列 an的通项公式；1(2) 设bn log 2an 1，求数列的前n项之和.b d 111 已知等差数列an的前3项和为6，前

4、8项和为 4.(1) 求数列 an的通项公式；n 1(2) 设bn4 an 2 ，求数列bn的前n项和Sn12 已知数列一：的各项均是正数，其前 丁项和为-,满足. 一-.(I )求数列：的通项公式；bK 二-= _V*X(II )设 -数列的前丁项和为，求证：r .13.等比数列an中，已知a1 = 2, a4= 16.(1)求数列a n的通项公式； 若a3, as分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前 n项和S.14 .(本题满分12分)已知公差不为零的等差数列an的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列.(I)求通项公式an ；(n)设bn 2an,求数列b

5、n的前n项和Sn.15已知数列an是等差数列，且a1 2 , a1 a? a3 12.求数列an的通项公式;n*令bn an 3 (n N )，求数列bn的前n项和.31 ,1anan 1bn 116.已知数列an , bn满足a12, b 1,且44(n 2).13,bnan 1bn 1144(1)令Cn an bn，求数列 Cn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及前 n项和公式Sn.17 .(12分)已知数列an的前n项和为Sn，点n,Snn*N均在二次函数2f x 3x 2x的图象上.(1) 求数列 an的通项公式；3(2) 设bn，求数列 bn的前n项和Tanan 118.已知公差

6、不为零的等差数列 an，若a1 1，且a1,a2,a5成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn 2n，求数列an bn的前n项和Sn.4*119 已知数列 an满足a1 4 , an 4n2 ,nN,令bnan 1an 2(1)求证：数列 bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.参考答案1.( 1)an 2n 1 ,62n 1Sn2 . ( 2)2n 32n【解析】试题分析：(1 )求等差与等比数列通项公式,般方法为待定系数法，即根据条件列关于公1 2d q 7,差与公比的方程组:21 4d q13,解得q 2, d2，再代入通项公式即得 2n 1bn2n 1Cn2.( 2

7、)因为anbn2n 12* 1,所以利用错位相减法求和,注意作差时，错项相减,2d由题意得14dq 7,2q13,解得q(舍去)，.an 2n1bn2n(2 )由题意得anbn2n 12* 1最后一项的符号变化，中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以1 q试题解析：(1)设等差数列9n的公差为d ,等比数列bn的公比为q( q °),2n 1所以Sn & C2C3Cn3222nn2n2n ,2Sn22222* 12n12n1 ) 2n 11 丿 2*2n 32n2n 32n1考点：错位相减法求和n 12. (1) an n ； (2) Tn (n 1) 26【解析】试题分

8、析：(1)利用等差数列的通项公式，前n项和公式，得到关于 a1,d的二元一次方程组，解之，即可得到 a1,d，则数列an通项公式可求;（2）由（1）可知2n an的通项为n 2n，则利用错位相减法即可求出其前n项和Tna11,d1, an(2)Tn2 1 22232Tn2n(nn 11)2 nTn(22 232n)2n2(2n 14) n 2n 1 (n1)2n 1 6Tn(n1) 2n 1 6考点：等差数列的通项公式,n项和公式，错位相减法3. (1) an2 nn 2 (2) Tn49n 3n223n2 49n2(n 8)400(n 9)试题解析：(1)等差数列an, a5 5, s5 1

9、5 .10d155a1a5a1 4d 5, S5【解析】试题分析:(1)由 a12 , an2(n 】)2 an(nnN ），变形为an 1(n 1)2三，利用等n比数列的定义及其通项公式即可得出.(2)由 bn 3n 26 ,可得 b 23 .当 n< 8 时，bnv 0，当n9时，bn > 0 对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可 得出1 2 *试题解析：(1) * a1 2, an 1 2(1) an(n N )n2, n N*a2为等比数列(n 1) nnan a1 n 1 n2 n-2 22a. n 2n 111a(2)bn 3log2( 2) 26

10、3log22n 26 3n 26 ,0231n当 n 8时，bn 3n 26 0,当 n 9时，bn 3n 26 0。设数列bn的前n项和为Sn,则8时,Tn所以,Tn(b1Tnb2b1S8所以,T(b1I nbnbj ( b2)( bn)(b1 b2bn)Sn(bi bn) nb2(b2)(Sn S8)bn) nQ| |b9(b8) bSn 2S8(bib8)(23 3n 26)bnbn(b1(23 3n综上，Tn3n2223n 49n249n400(n 8)(n 9)49n 3n22t8)(b9bn)3n249n 4002考点：等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式4. (1) an

11、a5 (n 5)d 2n1.，bn dqn23n（2）Cnanbn叮,2(1【解析】解：（I）： a3,a5是方程x214x450的两根，且数列an的公差d>0.-33=5 ,35a3a5=9,公差d5 32.a5(n5)d 2n 1.又当n=1时，有b1=S=1- 1b1,2b1SnSn2(bn1 bn ),bnbn 11丄(n 2).数列bn是等比数列，b123，q- bn dqn1 23n()由(I)知 cn anbn 2(2 ° 所以 Tn 2(1 邛)12分335. ( 1) an=4n- 15 (2) Tn= - 7-垮)叫4口-丁)【解析】解：(1)当n=1时，a

12、1=S = - 11,当 n2 时，an=S-S-1=2 n2- 13 n-2 (n - 1) 2- 13 ( n- 1) =4n - 15, n=1时，也适合上式.an=4n 15.(2) Cn=jr2n2n-:- :+ +i 1 ? (4n- 15),n+1护4-15)u4n - 15)1 Tn=-+422:卩2n- 1 '1 -2丄+4?(1A+-4 _-(4n- 15)?(丄)n+1n+1耳-和严-切叫鋅15），I Tn= 7 【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用.6.(I) an 2n 1 ； (n) 2, 3,

13、 4【解析】d，可把已知条件试题分析：（I）已知 a1，要求等差数列的通项公式，可先求得公差 a3 a5 a4 7用d表示出来，然后写出通项公式；（n）由等差数列前n项和公式写出S.,再解不等式Sn 3an 2即可.试题解析：（I）设数列an的公差为d .因为 a3 a5 a47，所以 2a1 6d a1 3d 7因为ai 1，所以3d 6，即d 2 ,所以 an ai (n 1)d 2n 1 .ai an2Snn n(n)因为 ai 1, an 2n 1，所以2,所以n 3(2n 1) 2，所以6n 50,解得1 n 5，所以n的值为2,3,4 .考点：等差数列的通项公式与前n项和公式.7.

14、 ( 1)见解析2n 13n 1(2 ) Tn =2【解析】解：(1)证明：T Sn -1+ 1 , an, $+ 1成等差数列，2an= Sn+ S-1 + 2(n2).I 2(S n Sn- 1)= Sn+ Sn- 1 + 2,即卩 Sn= 3S -1 + 2,- Sn+ 1 = 3(Sn- 1 + 1)(n2). Sn+ 1是首项为S+ 1 = 3,公比为3的等比数列.(2)由(1)可知 Sn+ 1= 3n,. Sn= 3n- 1.当 nA 2 时，an= Sn Sn-1 = 2 x 3.n 一 1*n 一 1又 a1 = 2, an= 2x 3 (n N) . nan= 2n 3Tn=

15、 2 + 4X 3+ 6X 32+ 2(n - 1) x 3n-2+ 2nx 3n-：3Tn = 2X 3+ 4x 32+ 6x 33+ 2(n - 1) x 3n-1+ 2nx 3n， 由一得，-2Tn= 2 + 2x 3 + 2x 32+-+ 2x 3n-1 -2nx 3n=2 1 3n1 3-2n x 3n= 3n- 1- 2nx 3n,2n 13n 1 Tn =2& (1) a21,a315 3(2)通项为an35证明：当n 1时，由条件知(2n 1)(2n1)等式成立，假设当N )等式成立，即:ak(2 k 1)(2 k 1)那么当n k 1时,Sk k(2k 1)akk冇，

16、Sk1 (k 1)(2k1)ak 1，由 Sk 1Sk 得ak 1由可知，命题对一切n N都成立(2 k 1)(2k 3)【解析】试题分析： Sn1 n(2 n 1)an，且 a13二当n 2时，S2a1 a22(22 1)a2，解得:a2当 n 3 时，S3 a1a2 a33(2 3 1底，解得:a313 515 7丄.;15135由可以猜想 an的通项为an(2n 1)(2n1)用数学归纳法证明如下：当n 1时，由条件知等式成立;假设当n k（ k > 1且k N等式成立，即:(2 k 1)(2k1)那么当n k 1时，由条件Snn(2n 1)an 有:Skk(2k 1)akk(2k

17、1)(2k 1)(2k 1) 2k 1 'Sk 1(k1)(2k1)ak 1Sk 1Skak 1(kk1)(2k 1)ak1 冇，即k(2k3)ak 1ak 1(2 k 1)(2k 3)'即：当n k 1时等式也成立.由可知，命题对一切n N都成立.考点：数列求通项及数学归纳法证明点评：已知条件是关于 an,Sn的关系式，此关系式经常用到anSnSn 5 1 n 2有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步 成立，第二步，假设9. (I)an 2nn k时命题成立，借此来证明nnn取最小的正整数时命题1时命题成立【解析】试题分析：（I）求知可知a35,S31 ；(

18、n)Tn 2n 1an的通项公式,关键是求等差数列an的首项及公差即a1,d，由已9，即a1 2d3c 3d59，解方程组得a11,d2，有等差数列的通项公11式即可写出 an的通项公式；（n）求数列的前n项和，首先求出数列anan 1an an 1的通项公式,由（I）可知1,an 2 n 1，从而可得11，分母是等差anan 12n 1 2n 1数列 an的连续两项的积，符合利用拆项相消法求和，故1 12n 1 2n 12 2n 111，即可求出.2n 1试题解析：（I）设等差数列an的公差为d .因为3a 5, S3所以a1 2d3a1 3d解得a11,d所以an 2n(n) Tn(2n

19、1) (2n 1)12n丄（1 123丄（1 -,2 2n 1 2n 1考点：等差数列的通项公式，数列求和.1210-an2 ,n【解析】试题分析：（1）由Sn 11 2n 1)数列bA 1前n项之和为2Sn可得数列 Sn根据数列的通项与前 n项和之间的关系，即可求数列bn lOg 23n 1的通项公式，利用裂项相消法即可求数列是首项为2，公比为2的等比数列，然an的通项公式；（2）根据（1）求出的前n项和.bA 1试题解析：（1）由题设得：数列 & 是首项为2，公比为2的等比数列SnSn2* 12n3, n 1SiSn 1, n 22,n 12n 1, n 2（2 ）由（1）知:bn

20、 lOg 2 an 1nlog 221n,bn bn 11数列bnbn1 1 1前n项之和为 11223川n n 1nn 111. ( 1 ) an4 n (2) & n 1 2n 1【解析】试题分析：(1)由等差数列 an的前3项和为6,前8项和为-4，利用等差数列的前 n项和公式建立 方程组求出a! 3, d 1 由此能求出数列 an的通项公式.(2 )由an 4 n ,知bn n?2n 1 ,所以数列 bn 的前 n 项和 Sn12?2!3?22川n ?2n1，由此利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Sn试题解析：(1) 设等差数列 an的公差为d .由已知得 3a1 3d 6

21、 ，解得a13 .18a1 28d4xd 1故 an 3 n 1 ? 14 n (2) 由(1)得，bn n ?2n ISn 1 2?21 3?22川n ?2n 1，两边同乘以2得2Sn 2 2?22 3?23川n?2n，两式相减得Snn 1 2n 1点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位相消法，用错位相减法求和应注意的问题 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为 负数的情形；(2)在写出“与“ qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ sn qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 为参数，

22、应分公比等于 1和不等于1两种情况求解n 2112. (I) an(n)详见解析2【解析】试题分析：(I)首先令n 1求出首项a1，-八；S =4一乙由两式相减，得.所以J.数列是首项为2,公比为-的等比数列由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式（n）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和在本题中，由（I）可得：一 -,1方时2 =-这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明试题解析：（I）由题设知'一 -"：,2分由凡产4 一口41两式相减，得7二碍-% %=耳一碍41 如 1= 5所以- 4分丄可见，数列 是首项为2,公比为

23、匚的等比数列。 考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.匚二3®-鼻直一比 +打号*313. 设an的公比为q，由已知得16= 2q，解得q = 2. 数列a n的通项公式为an= 2 2n1= 2n. 由(1)得 a3= 8, a5= 32,则 b3= 8, b5= 32.b1 = 16 解得d= 12b + 2d= 8设bn的公差为d，则有+ 4d= 32从而 bn = 16+ 12(n 1) = 12n 28, 所以数列bn的前n项和n 16+ 12n 282Sn= 6n 22n.【解析】略1T(1 8n)8n 114. (1) an=3n 5. (n) Sn 41

24、8 28【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解以及等比数列求和的综合运用。(1) 因为公差不为零的等差数列an的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列，联立方程组得到首项和公差得到结论。(2) 在第一问的基础上可知，bn 2an 23n 5 1 8n 14,禾U用等比数列的求和公式得到结论。(1 )由题意知4a1 6d 10,2 3分(a1 2d)2 d)1 6d).a12解得a12 5分d 3所以 an=3n 5.(n)v bn 2an 23n 51 8n 141数列b n是首项为-，公比为8的等比数列， 41n；(1 8n) 所以SnA1 815. (1) 2n8n 1.

25、28 ；12分(n 1)3n1【解析】试题分析：解：(1) ； a1 2,耳 a2 a3 12 3a1 3d 12,即 dan 2 (n 1) 22n.3 3n(2)由已知：bn 2n 3n* *23432633+2n 3n3 Sn223433643n 1+ 2n 3-得-2 Sn232322332 3n 2n3n1 =6(13n) 2n313i(n考点：等差数列，错位相减法 点评：主要是考查了等差数列的通项公式以及求和的运用，属于中档题。1 n21116 - (1) cn2n 1 (2) ann n , Sn22【解析】试题分析：(1)两式相加得an bn (an 1 bn 1) 2，即cn

26、cn 1 2( n 2)，根据等差数2n 1 (2)两式相减得an1bn2(an1"52)，根据等1anbnn 1，又 anb22n 1，解方程组得an11 n2列定义及通项公式得 4 比数列定义及通项公式得最后根据分组求和得 Sn试题解析：解：(1 )由题设得an bn(an 1 bn 1) 2，即 cn Cn 1 2(n2)，易知Cn是首项为a, a 3，公差为2的等差数列，通项公式为Cn 2n 11(2)由题设得 an bn(an 1 bn1),(n 2),21令 dn an bn ,则 d. dn 1, (n 2)，2易知dn是首项为a1 b 1，公比为丄的等比数列，通项公式为 dn h2 2anbi2n 1anbn解得an求和得sn 丄L n 12 2考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和亿（1） an 6n 5（ 2） Tn 6n 1【解析】试题分析:（1）由数列前n项和求通项时主要借助于公式S, n 1SiSn 1 n解决（2）试题解析：（1） 点 n, Snn均在一次函数f xSn3n2