函数的定义域和值域

1、函数定义映射一般地，设 A B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合 A中的任意一个元素 x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f： a >b为 从集合A到集合B的一个映射(map pi ng).记作“ f ： At B ”函数的概念1. 定义：如果A, B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f:A. B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x) , x，-A °其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y的值叫做

2、 函数值，函数值的集合 Cf(x)|x. A?叫做函数的值域。函数与映射的关系与区别相同点：(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系；(2) 函数与映射的对应都具有方向性；(3) A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它.例 已知函数 f(x)=3x 2 + 5x - 2,求 f(3)、f(- . 2 )、f(a)、f(a+1)3x 2例 函数y= 与y = 3x是不是

3、同一个函数？为什么？x练习 判断下列函数f (X)与g (X)是否表示同一个函数，说明理由?f ( x )=(x-1) 0；g ( x ) = if ( x )=x；g ( x ):=x2f ( x )=2=x ；f ( x )=2=(x + 1)f ( x )=1 x |；g ( x)=x重点一：函数的定义域各种类型例题分析 例 求下列函数的定义域(用区间表示)2 X - X0(1)f (x)(3 - 2x)；ig(2x i)* 22x _x > 0”2x 1 >0133解：常，解得函数定义域为(一,1) (1,-) (3,2.2x _1 =12223 - 2 x = 0例 当a

4、取何实数时，函数 y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?2分析：可转化为：确定a值，使关于x的不等式-x +ax+2>0的解集为(-1，2).解：-x2+ax+2>0= x2-ax-2<0，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)f (x)|x| -4十2 y Jg(3x x )x +4|x| -1ylog 1 (x -1)3刘 4x 8.6 - 5x - x?抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(,) ”型例：已知f(x)的定义域是0，5，求f(x+1)的定义域。【类型二】“已知f(,)，求f(x) ”型例：已知

5、f(x+1)的定义域是0，5，求f(x)的定义域。【类型三】“已知f(,)，求f(,) ”型例：已知f(x+2)的定义域为-2，3)，求f(4x-3)的定义域。【思路】f(,)> f(x) > f(,)例.函数y二f (x)的定义域为(-：:,1，则函数y二f log2(x2 -2)的定义域是分析：因为|og2 (x =2)相当于f (x)中的X，所以|og(2 X -2 < 1，解得、2 : x 込 2 或-2 込 x ： - , 2。例 已知函数f(2x)的定义域是-1, 2,求f(log2X)的定义域.分析：在同一法则f下，表达式2x与log2X的值应属于"同

6、一范围”1x1解：t-1 < x< 2 ,. w2 < 4 故 < Iog2xw 4 即22log2 . 2 w Iog2xw Iog216 =,2 w xw 16.总结：已知F(g(x)的定义域为A，求F(h(x)的定义域，关键是求出既满足g(x) B，又满1足h(x) B的x取值集合，在此例中，A= -1 , 2, B= :, 4.2例.已知函数f x定义域为(0 , 2)，求下列函数的定义域:(1) f (x2)23 ; (2) y2f (x )1log ! (2 一 x)解：(1)由 0v x2 v 2,得、-. 馭f()的定义域为(0)U(0； ,/2).“任

7、丸危3且瓮尹0,得由(1),解隔>01<X<J2.所以所求的定义域为4).练习1、 函数f (x)的定义域是0 , 2，则函数f (x+2)的定义域是 -2、已知函数f (x)的定义域是-1 , 1，则f (x 2) f (x 1)的定义域为3、已知f(x2)的定义域为1,1，则f(2x)的定义域为 重点二：求函数解析式的几种常用方法1. 换元法：例 已知 f(x+1)= x2 +2x-3,求 f(x)解：令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得2 2f(t)= t _1+2(t-1)-3= t -4二 f(x)=x 2 1变式、1已知XM 0,函数f(x)满足f(x )=x

8、2 丁，求f(x).xx 已知 f (、匸 1) = x2、二，求 f (x)3、待定系数法：例.一次函数 f(x)满足 ff(x)=9x+8, 求 f(x).解：设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有：ff(x)=kf(x)+b=k(kx+b)+b2=k kb b由已知得：2k kb b =9x+8. -4,从函数来看没有区别说明:f(x),f(t)都是同一个对应法则，只是自变量的表示不同 2练习、1 若 f(x)=2x -1，求 f(x-1)2 已知函数 f(2x+1)=3x+2，求 f(x).2. 配凑法：上例中，把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理t f(x+

9、1)= x2+2X+1-42=x 1-4用x代替x+1，得：f(x)=x2 -41 2 1 例 已知 f(x+ )= x2 r，求 f(x).xx11分析：将x2 2用x+ 表示出来，但要注意定义域。xx1 2 1解：f(x+ -)= x - -7xx(1 2= I x2I X丿- 2 . .f(x)=3x+2,的等式通过解即 k =9 解得k二3 或仝二3所求一次函数解析式为:kb b =8b =2b = -4或 f(x)=-3x-4.例 已知 f (x)是二次函数，若 f (0) =0, f (x 1) = f (x) x 1，求 f (x).4. 解方程组法：1例 设 f(x)满足 f(

10、x)+2f( )=x (x 丰 0 ),求 f(x).x11分析：要求f(x)需要消去f(-),根据条件再找一个关于f(x)与f( y=3x+2(-1 乞x1) )xx方程组达到目的。解：将 f(x)+2f(1 1 1)=x中的x用 代替得f( )+2f(x)=1xxxx消去f( 1)得x2xf(x)：3x3例 若 3f(x)+f(-x)=2x2 - x,求 f(x).解：用-x替换式中x得：3f(-x)+f(x)=2x2 +x.消去f(-x)得：f(x)=22x -2x练习、1 若 2 f (x) - f (-X) = x 1，求 f (x).12 若 f (x)满足 f (x)2 f (

11、) = ax,求 f (x)x重点三函数的值域 、观察法: 例、求下列函数的值域(2) f (x) =2 一 4 x、配方法：例、已知函数y =x2 _4X 1，分别求它在下列区间上的值域。(1)X R;(2) 3 , 4( 3) 0 , 1(4) 0 , 5练习：1. 已知函数y =x2 2x -3，分别求它在下列区间上的值域。(1) xR ；(2) x0,亠)；(3) x2, 2 ；(4) x 三1, 22. 求函数y =4 -3 2x _x2的值域说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域例.若实数x、y满足x2+4y2=4

12、x，求S=x2+y2的值域解：/ 4y2=4x-x2 > 02 / x -4x < 0, 即卩 0< x< 42222 4 x x3 232?1S=x yxx x (x )4 4433当 x=4 时，Sma>=16当 x=0 时，Smin=0值域 OWSW 16例.已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x -1,1时的最小值为-3，求实数a的值.a 分析：因为y=f(x)的图象是一条开口向上的抛物线，由于它的对称轴x的2位置取决于a,而函数的自变量x限定在-1 , 1内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论.2a 2 a解：y = f (x) =(X )3 -

13、24a(1) 当1，即 a 2 时，ymin = f(1) =4 a 二一32.-"t a = 72aaa/(2) 当 T1，即 卩 一 2_a _2 时，ymin = f ()=33,得 a = 26(舍)224a(3) 当一 1,即 a ： -2时，ym i n 二 f (1) = 4 a = -32a _ _7综合(1) (2) (3)可得：a=± 7、换元法例、求函数f(x) =2x _3 .13 _4x的值域。解：令 13 _4x =t _0，贝U 13-4x=t13 _t213 -t212xy3 -t(t _1)2 - 4422该二次函数的对称轴为 t=1，又t

14、 > 0由二次函数的性质可知yW 4,当且仅当t=1即x=3时等式成立，.原函数的值域为(-4。例.求函数y =x _、_1 _2x的值域。解析：方法1、可用换元法解答方法2、根据函数的单调性来做例 求函数y=2x+2-3 X 4 x(-1 W x< 0)的值域 解y=2x+2-3 4x=4 2x-3 22x令 2x=t1y = MF1 -伞=03t2例已知f (x)的值域是1 W y W 3t纟=_3(t _?)2-2 39933ym i n = 13,8y = g(x) = f (x) 1 _2 f (x)的值域4，试求函数9练习、1.求函数y = 2x 4 . 1x的值域2.

15、 求函数y =2x 1 -2x的值域 +厶广I形如:y = ax b . cx d的函数可令 . cx d = t(t L 0)，则x =转化为关于t的二次c函数求值。(四)、分离常数法 例求函数y二也匕的值域。X 15 2 x练习、1.求y二的值域x+32.求 y =2x 5值域2=1+例、求函数:X的值域。x X 1解析：因为2x x 2 x-X 12x x T - 12X - X 1而(x故所求函数的值域为< 3，则一 143所以0 :：2x1 -,1）。（此题也可用判别式法求解3-x 1:1 ,ax b对于形如f(x)=(ex + d2 2a 亠 e - 0)或 f (x)=2

16、, ax 亠bx亠c2dx 亠ex亠f2(a 亠d2 = 0）的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。（五）判别式法2例求函数 y = x2 -x_L的值域2x 2x+32由已知得(2y-1)x -(2y-1)x+(3y-1)=0(*)练习11若2y 1 = 0,贝U y ，代入2(2)若 2y-1 工 0，则 T x R2 =(2y-1) -4(2y-1)(3y-1) > 0 即(2y-1)(10y-3) < 031_ y £ 1023'y10(* 式:求函数yx 1x2-2xu2求函数y1亠x亠x21 X X的值域。（六）利用函数的单调性 例求函数 y =

17、x 2 . x - 1的值域解：；y, =x, y2 =2 x 1均在定义域内单调递增. x x 1在公共定义域范围内单 调递增而y二x 2x 1的定义域是X 1： ： -1min = -1 （当 X = -1 时）.原函数值域 y _ 一1调递例已知 x三0 , 1,求函数 y =2x 2 一 . 1 _ x的值域解：yt = 2x 2在定义域范围内单调递增，y2 = 1 x在定义域范围内单减y = i 2x 21 - x在x三0 , 1内单调递增.ym. =2 -1（当 X = 0时）ymax =2 -0 =2 （当 X =1 时）.原函数值域 2-1_y_2例：若函数y = 匕V的定义域

18、为R，求k的取值范围。kx2 +4kx +3kx +1【变】若函数的定义域为R，求k的取值范围。Jkx2 +4kx +3函数的定义域与值域目的：1.能够由函数表达式求出定义域(各种不同类型)；2. 对含字母系数的定义域会对字母参数取值范围进行全面讨论；3. 掌握求函数值域的基本方法：观察法、配方法、判别法、换元法、反函数法、均值 不等式法、及图象法。一、选择题：1. 函数y = J x x2 -1的取定义域是()A. - 1 , 1B. 一：,一1：1, ：C.0, 1D. - 1 , 12. 已知函数f (x)= . mx2 mx 1的定义域是一切实数，则M的取值范围是()A.0 v m&l

19、t; 1B.OW m< 4C.m > 4D.0 v m< 43. 已知函数f (x)的定义域为0,1，那么函数f (x2 1)的定义域为()C.1 ,2D.-.2 , - 1 U 1 , . 2 A.0 , 1B.1 , 2C.0 , 25. 函数y = 2- . _x 4x的值域是()A. - 2, 2B.1 , 2xC.y =6. 值域是(0,+)的函数是()D. y =| log 2 x? |A.y = 5x - 2B.y =( 1 )37. 函数f(x)=旦的值域是()5x +1B. (1 , 5)U (- 1 , +a)5A. (a,1) U( 5,+s)D.(-C. (-a,