2015年高考数学(理)试题(安徽卷)

1、2015年高考数学（理）试题（安徽卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限答案：B解析：由题意，其对应的点坐标为(-1,1)，位于第二象限，故选B.知识点：复数的运算、复数的几何意义.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题复数的运算、复数的几何意义2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A解析：对于A，定义域为R，并且cos（-x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（

2、-x）=-sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；知识点：函数的奇偶性、函数零点的概念.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题函数的奇偶性、函数零点的概念3、设p：1x2，q：2x1 ，则p是q成立的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件答案：A解析：由q：2x20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.知识点：指数运算、充要条件的概念.关键字：高考真题

3、金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题指数运算、充要条件的概念4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ） （A） （B） （C） （D）答案：C解析：由题意，选项A、B的焦点在x轴，故排除A、B，C项的渐近线方程为，即y=±2x，故选C.知识点：双曲线的渐近线.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题双曲线的渐近线.5、已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线

4、 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案：D解析：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D知识点：直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.6、若样本数据的标准差为，则数据的

5、标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32答案：C解析：设样本数据的标准差为，则=8，即方差DX=64，而数据的方差D(2X-1)=22DX=22×64，所以其标准差为 .故选C.知识点：样本的方差与标准差的应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题样本的方差与标准差的应用.7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D）答案：B解析：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示：该几何体的表面积为=，故选B.知识点：由三视图求面积、体积关键字：高考真题 金考卷

6、 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题由三视图求面积、体积8、是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）答案：D解析：由题意，故 ，故A错误；，所以，又 ，所以，故B、C错误；设B、C中点为D，则，且，所以，故选D.知识点：平面向量的线性运算、平面向量的数量积.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题平面向量的线性运算、平面向量的数量积.9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A）a0，b0，c0 （B）a0，b0，c0 （C）a0，b0，c0 （D）a0，b0，c0答案：C解析：函数在P

7、处无意义，由图象看P在y轴右边，所以-c>0，得c<0，f(0)= 0，b0，由f(x)=0得ax+b=0，即x=-,即函数的零点x=-0，a0，综上a0，b0，c0，故选：C知识点：函数的图象与应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题函数的图象与应用10、已知函数f(x)=Asin(x+)（A、均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）答案：A解析：依题意得，函数f(x)的周期为，因为>0，所以，又因为当 时，函数f(x)取得最小值，所以，可解得：，所以，所以，；

8、又因为，而f(x)=Asinx在区间是单调递减的，所以f(2)f(-2)f(0)，故选A.知识点：三角函数的图象与应用、函数值的大小比较.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题三角函数的图象与应用、函数值的大小比较二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案）答案：35解析：由题意，令21-4r=5，得r=4，则x5的系数是 .知识点：二项式定理的展开式应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题二项式定理的展开式应用12、在极坐标中，圆=8sin上的点到直线=(R)距离的最大值

9、是 .答案：6解析：圆=8sin化为2=8sin，x2+y2=8y，化为x2+（y-4）2=16直线=(R)化为，所以圆心C（0，4）到直线的距离 所以圆=8sin上的点到直线=（R）距离的最大值=d+r=2+4=6故答案为：6知识点：极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.13、执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 .答案：4.解析：模拟执行程序框图，可得：a=1，n=1；满足条件|a-1.414|0.005，a=，n=2；满足条件|

10、a-1.414|0.005，a=，n=3；满足条件|a-1.414|0.005，a=，n=4；不满足条件|a-1.414|=0.002670.005，退出循环，输出n的值为4故答案为：4知识点：程序框图的应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题程序框图的应用.14、已知数列是递增的等比数列，则数列的前n项和等于 .答案： 解析：由题意， ，解得a1=1，a4=8或者a1=8，a4=1，而数列是递增的等比数列，所以a1=1，a4=8，即 ，所以q=2，因而数列的前n项和.知识点：等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题

11、汇编 2015年安徽卷 理科试题等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.15、设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）a=-3，b=-3a=-3，b=2a=-3，b2a=0，b=2a=1，b=2答案：解析：设f(x)=x3+ax+b，=3x2+a，a=-3，b=-3时，令=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f(1)=-5，f(-1)=-1；并且x1或者x-1时0，所以f(x)在（-，-1）和（1，+）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图：a=-3，b=2时，令=

12、3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f(1)=0，f(-1)=4；如图：a=-3，b2时，函数f(x)=x3-3x+b，f(1)=-2+b0，函数图象形状如图，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；a=0，b=2时，函数f(x)=x3+2，=3x20恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；a=1，b=2时，函数f(x)=x3+x+2，=3x2+10恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是故答案为：知识点：函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.关键字：高考真题 金考卷

13、新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.三、解答题16、（本小题满分12分）在ABC中，,点D在BC边上，AD=BD，求AD的长.答案： 解析： ，在ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=90BC=3 ；在ABC中，由正弦定理可得：，；过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，RtADE中，.知识点：正弦定理、余弦定理的应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题正弦定理、余弦定理的应用.17、（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品

14、放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）答案：（） ；（）350.解析：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则 （）X的可能取值为：200，300，400，。X200300400PX的分布列为：EX=200×+300×+400×=350知识点：概率、随机变量的分布

15、列与期望.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题概率、随机变量的分布列与期望.18、（本小题满分12分）设nN*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（）求数列xn的通项公式；（）记，证明： 答案：（） ；（）证明过程见解析.解析：（）y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1)令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为；（）证明：由题设和（）中计算结果可知：，当n=1时， ；当n2时， ，所以；综上所述

16、，可得对任意的nN*，均有.知识点：曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.19、（本小题满分13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD，均为正方形，E为B1D1的中点，A1，D，E的平面交CD1于F. （）证明：EFB1C （）求二面角E-A1D-B1余弦值.答案：（）证明过程见解析；（） 解析：（）证明：B1C=A1D且A1B1=CD，四边形A1B1CD为平行四边形，B1CA1D；又B1C平面A1EFD，B1C平

17、面A1EFD，又平面A1EFD平面B1CD1=EF，EFB1C；（）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，设边长为2，AD1平面A1B1CD，为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为，又， ，取y=1，所以，所以二面角E-A1D-B1余弦值为。知识点：线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解. 关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解.20、（本小题满分13分）设椭圆E的方程为 ，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0,b

18、) ，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为. （I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为(0,-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程.答案：（I） ；（II）.解析：（I）由题设条件知，点M的坐标为 ，又 ，从而，进而得，故.（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为 ，点N的坐标为，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且 ,从而有 解得b=3，所以 ，故椭圆E的方程为.知识点：椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.关键字：高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.21、（本小题满分13分）设函数f(x)=x2-ax+b. （）讨论函数f(s