巴比伦数学(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章：巴比伦数学第一节 巴比伦数学产生的社会背景 巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学大约在公元前1800年前，在两河流域建立了巴比伦王国Babylonia)，首都巴比伦(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格达南面约100公里大约在公元前4000年左右，苏默人(Sumerians)开始在两河流域(古代称美索波达米亚Mesopotamia)定居，大约在公元前3000年创造了自己的文化到了公元前1700年左右，在汉穆拉比(Hammurabi)王统治期间国势强盛，文化得到了高度发展，

2、以制定一部法典而垂名后世汉穆拉比把自己称为“苏默人和阿卡德人的大王”，把一切权力集于一身汉穆拉比作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取各种灌溉措施，制造抽水机，并在全国范围内划分土地，分配收获的粮食，修建谷仓储存粮米，发展贸易，向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展所有这些都是促使数学得以产生与发展的社会因素促进巴比伦数学发展的另一个因素是货币交换制度的初步建立开始时，巴比伦人把实物或者银器作为货币单位，国家征收税务、民间物资交换都用规定的实物或银器进行支付后来，采用银币代替了实物交换，这样就需要进行各种单位换算，从而推进了数学的发展尽管巴比伦统治者频繁更替，而对数学知识的传播和

3、使用，从远古时代直到亚里山大时代却始终没有间断古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的，然而，保存下来的泥板书却没有埃及纸草书那样多可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干，遇到风吹雨淋，难于保存原样另外，巴比伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的编撰在巴比伦泥板书中，引人注目的是普林顿322号这是哥伦比亚大学普林顿(GAPlimpton)收集馆的第322号收藏品此泥板书是在公元前1900年至前1600年间用古巴比伦字体写的普林顿322号是保存下来的一块残缺不全的泥板书，但仍然保存着大体形状，只是左边掉下一块，靠右边中间部分也有一个很深的洞，左上角也脱落了一片，但可以清楚地看到，有三列比较完整的数字，不妨

4、用现代符号(10进位)表出，如图2.1经过对图表的认真分析，就会发现：两列中的对应数字(除了4个例外)构成一个边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边现在人们把象(3，4，5)这样的，能组成直角三角形三条边的一组正整数称为毕氏三数(Pythagorean triple)在这样一组数中，若除1以外，没有其它因子，就称它为素毕氏三数在普林顿泥板书之后的1000多年后，人们证明了素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表示：a=2，b=2-2，c2+2其中，互素，奇偶相异，且若2，=1，则得素毕氏三数a4，b=3，c5我们若用普林顿泥板书上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为整数的直角三角形的另一边，

5、则可得到下列毕氏三数：应该指出，上表中的毕氏三数，除第11行和第15行外，都是素毕氏三数为了便于讨论，我们又列出了这些毕氏三数的参数值通过普林顿322号泥板书，不难看出，古巴比伦人早就知道素毕氏三数的一般参数表达式在书写古巴比伦数学简略历史时，我们首先举出了普林顿322号泥板书，作为在那样的社会背景之下，数学研究的重要结晶，使读者形成初步印象，以便进一步探索古巴比伦的数学内容第二节 巴比伦的数学 巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果 一、记数法与进位制 一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记

6、数的他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字他们用垂直的楔形来表示1，如用末端二个横向楔形表示10，如用记号表示35用记号表示9，后来简化为以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(WKLoftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是

7、1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：1·460464=82，1·21=60218192，58·1=58×6013481592应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号例如，(5·6·3)可表示5×6026×60318363，也可表下文来分析、确定古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的但据有的材料记载，早期的苏默人是

8、不知道60进位制的从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的 二、算术运算 由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法例如，某数乘以27，他们

9、先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果他们还造出了一些乘法表(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题当方根是整数时，给出了准确的值对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表巴比伦人也曾给出了求a2b型的方根近似公式：数大到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archimedes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式 三、代 巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力例如：在赛凯

10、莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典AO8862，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3(即183)，而长与宽之和为27，这块地的长、宽、面积各几何？(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)273.3=3.30227=2929÷214.3014；30×14；303.30；153.30；15-3.300；150；15的平方根是0；3014；300；30=15 (长)14；30-0；30=14因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是142= 12故得到，15×123.0(面积)15-2133.0

11、33.读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书写的(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便设长为x，宽为y，可列成如下方程组：从AO8862原典的最后一行的结果看出，x15，y12是满足方程组(1)的解的在前面解题时，实际上是用新的宽y'代替原宽y，即：y'=y+2，y=y'-2使用如上这种代换方法，使问题简单化了代换后，可得到新的二元一次方程组：把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)27+3.3=3.302+2729之后，继续解方程组(2)从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解方程组的一般

12、方法，用现代符号表示，可谓：其解为：巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)设两个正方形边长分别为x，y得到一个正整数解为：x30以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组解此方程组，涉及算立

13、方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分的数表) 四、几何 在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决在他们心目中，几何似乎不占有重要位置但是，在20世纪中叶布尔昂(EMBuuins)博士和鲁达(MRutten)撰写的斯萨数学书(Textes mathè matiques de Suse，MèmoiresMission archèol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典V

14、AT8512中，有下面的问题(用现代符号和语言叙述)已知底边b30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面积F1-F2S7.0 h2-h1=h20，求割线长(x)由以上条件，可建立如下关系式：由图23可知，比例式h2h1=x(b-x)(5)成立根据以上条件，可解出x，即：由上可知，巴比伦人建立的关于x，h1，h2的关系式是正确的但是，还没有理由(证据)说明以上是一种纯粹代数的推演数学史家尤伯尔(PHuber)对(4)式做了如下解释(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一边加一个长为h1h2的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和acb

15、的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，如图24其面积差为：(F1-F2)-c(h2-h1)s-ch的面积分成二等分z，并给出(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中，仍有记载巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算 五、数论 巴比伦人不仅在代数中的工作显得很出色，在算术中，也不断推广研究

16、范围，在楔形文字的数学书(Cuneiform Textesmathématigues)中，也记载了一些关于初等数论的内容，有人认为，希腊的毕达哥拉斯学派继承和发展了古巴比伦人的工作巴比伦人能够求出简单的级数和例如，可求出公比为2的等比级数的和1242929(29-1)210-1他们还给出了从1到10的整数平方和，似乎应用了下列公式：巴比伦人的代数中，也含有一些数论他们求出了好几组毕达哥拉斯三元数组，还求出了x2y22z2的整数解第三节 巴比伦人对数学的应用及对数学发展的贡献 一、巴比伦人对数学的应用 尽管巴比伦人的数学知识是粗浅的、有限的，但在他们的生产、生活中的很多方面都应用了数学

17、1巴比伦人把数学应用到商业方面巴比伦位于古代贸易的通道上，为便于商品交换、发展经济，他们用简单的算术和代数知识测量长度和重量，来兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额以及分配粮食，划分土地和分配遗产等等2把数学应用到兴修水利上巴比伦人应用数学知识计算挖运河、修堤坝所需人数和工作日数，也把数学应用到测定谷仓和房屋的容积，计算修筑时所需用的砖数等3把数学应用到天文研究方面大约在亚述时代(公元前700年左右)开始用数学解决天文学的实际问题在公元前3世纪之后，用数学知识来计算月球和行星的运动，并通过记录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀时间也应该注意到，巴比伦人观察天文现象，直接得出了作为以

18、后三角学的基础概念当时巴比伦人观察在天空中运行的星体，看它们在夭空中的位移情况他们把天空看作半球面，因此测量不是在平面上，而必须是在球面上进行的鉴于此，巴比伦人较早考察的是球面三角的概念，而不是平面三角的概念也应该指出，在古巴比伦时期，当产生各种科学领域基本概念的同时，假科学也获得了发展这种假科学与天文学、数学都有密切的关系，它们阻碍了数学的发展这种假科学主要指星相术和数的神秘论星相术认为单个人的生活和整个人类社会，都依赖于天空中的行星相互间的排列即行星在人的生活中有“影响”，并且把它们崇拜为神由此，他们作出了进一步的结论，由行星在天空中的相互排列，在一个人出生时就能够预言他将来的命运如何这种星相术又从巴比伦传播到其他民族，阻碍了科学的发展巴比伦人也曾把“数”神秘化例如，当巴比伦人崇拜三个天体(太阳、月亮、金星)时，数码3便被看作“幸福的”更晚一些时间，当已经崇拜7个天体时，数7就被当作“幸福的”实际上，许多民族都赋予数3和7以神秘