椭圆离心率求法总结

1、椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上,| PF| QF| A0|PDL L于D, QF丄AD于 F,设椭圆的离心率为 e,则e= | pp|e= | BF |e=|BO|I AF|FBAe=I F0|hAO!DB评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。| A0| =a, | 0F| =c, 有；TA0| =a, |B0| =a2c有。x2y2题目1 ：椭圆+=1(a>b >0)a2b2的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率

2、e ?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长和关系。解：| F仆2| =2c | BF1 | =c | BF2| = 3cc+ 寸 3c=2a+变形1：椭圆x2a2y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2 ,点P在椭圆上，使 0PF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则丨 0F2| = | OF1 | = | 0P| , / F1PF2 =90° 图形如上图，e=, 3-1变形2:x2椭圆-+ y2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F

3、2，AB为椭圆的顶点, b2P是椭圆上一解：T| PF1 |b2aI F2 F1 | =2c | OB| =b | 0A| =aPF2 / AB| PF1 |= b| F2 F1 | = o'又/ b=a2-c2-a2=5c2 e=,55a与c的方程点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义和关系，推导有关 式，推导离心率。、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆X2- +号厂=l(a>b >0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ a2 b2ABF=90°，求 e?解：| A0| =a | 0F| =ca2I BF | =a | A

4、B | = a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0两边同除以-1+-1入e2+e-仁0 e= 2 e= 2(舍去)变形:顶点，点评：案：90椭圆X2- + 嘗=1(a>b >0)，e】1；5 , A 是左顶点,求/ ABF?此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，OF是右焦点，B是短轴的一个由余弦定理解决角的问题。答引申：此类。=一2的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90 2、假设下端点为 B1 ,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的 距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各

5、边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。¥2一=1(a>b >0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两占八、：若|F1A| =2 |BF1 |,求e?解:设|BF1 | =m则|AF2 | =2a-am| BF2|+=2a-mx2题目3：椭圆-在厶AF1F2和厶BF1F2中，由余弦定理得:a2 - c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除-2a-c2a+ce=3题目x2 y24:椭圆"02一 +，b5_=1(a>b >0)的两焦点为 F1(-C, 0)、F2 (c,0), P是以 | F仆2|为

6、直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:| F1F2 | F1P |sin F1PF2 = sin F1F2P| PF2|sin PF1F2根据和比性质：| F仆2 | F1P| + | PF2|sin F1PF2 = sin F1F2P+sin PF1F2变形得:| F1F2| PF2 | + | F1P|sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F22c =e2a/ PF1F2 =75 ° Z PF2F1=15 °3e=sin F1F2P +sin PF1F2si

7、n a +sin(120 ° - a )1 12sin( a +30° ) / 21寸 e<1sin 90e=sin75° +sin15 °点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F1PF2e=一sin F1F2P +sin PF1F2变形1：椭圆X2 +y2=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点, a2 b2且/ F1PF2 =60。，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a,则/ F2F1P=120° - asin F1PF2si

8、n60x2 y2变形2:已知椭圆 + "42 =1 (t>0) F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与1aR 1长轴两端点重合)设/ PF1F2=a , / PF2F1=R若yvtan y< tan R<2"，求e的取值范围?分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解；根据上题结论sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2sin( a + R ) sin a +sin Ra + R a + R2sin 2 cos -a + R a - R2sincos -2 2acos 2 cosR . a . R2-sin 2-sinaRa

9、Rcos cos +sin -sinaR1- tan tan 2 2=eaRtan 2 21- tan1 1-e1<v_'3 1+e21 13<e<2e所符合的关系式.三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找x2 y2题目5:椭圆 +=1(a>b >0)，斜率为1,且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、Ba2 b2两点，OA+OB与 a =(3,-1)共线，求e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2ca2+b2y1+y2=2a

10、2c -2b2ca2+b2-2C= a2+b2OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与(3, -1 )共线，则e=(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2> > >法二：设AB的中点N,则20M0AH0Bx12y12+=1a2b2x22+旦=1a2b2-得:y1-y2b2x1 +x2x1-x2 -a2y1+y2b2仁莎(-3)既 a2=3b2e=四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6:椭圆x2a2+=1(a>b >0)的两焦点为 F1(-C , 0 )、F2 (c,0)的点M总在椭圆内部，贝U e的取值范围?=0 以F1F2为直径作圆,M

11、在圆0上，与椭圆没有交点。解： c<ba2=b2+c2 >2c20<e<题目7:椭圆x2a2y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1(-c, 0)、F2 (c,0)，P为右准线 L 上一点，F1P的垂直平分线恰过 F2点，求e的取值范围?分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1丹b2既(，vp_,2c2MF2 =-(b22cta2) 则 PF1 =-(+c, y0 )ca2(-c, 0) F2 (c,0) P( ,y0 ) c-c,M(a2 -cc y01-)2 ，

12、2丿解法2:| FiF2| =1 PF2|=2ca2nrta2a21PF2 1一-c则2c -c 3c ccc33c2 > a2贝w e<i3设椭圆2 x2 a2b21 (a b 0)的左、右焦点分别为F,、F2，如果椭圆上存在点P,使a2(+c，y0) ( b2-c,a2b2y02(-+c) ( c2c -c)lT-=0a2-3c2 w 0£ w e<iF,PF290，求离心率e的取值范围。解法1 ：利用曲线范围设 P(x，y)，又知 Fi( c, 0), F2 (c, 0)，则FiP (x c，y)， F2P (x c，y) 由 F, PF2 90，知 F,P

13、F2P，则 Fi P F2P0，即(x c)(x c) y20222得xy c将这个方程与椭圆方程联立，消去2 2 2, 22 a c a bx 2 2a b但由椭圆范围及2 2x a2 22 2a c a b2ay，可解得F1PF290可得c2 b2，从而得所以e解法2:由椭圆定义知b2a2即c2且 c2a2ce _a2 、丁，1)利用二次方程有实根2 2 2|PFi| |PF2| 2a |PFi| |PF2| 2|PFi|PF2| 4ac2）0的两个实根，因此8(a2c2) 0c21a222又由 F1PF290，知|PFIPF2I2 IF1F2I2 4c2 则可得 |PF1|PF2| 2(

14、a2 c2)这样，|PFj与|PF2|是方程 u2 2au 2(a24a2因此e 2，1)2解法3:利用三角函数有界性记 PF1F2PF2F1,由正弦定理有|PFi| IPF2IIF1F2Isin 90sin sin|PF1 |PF2| |F1F2|sin sin又|PF1| |PF2| 2a，|F1F2|1sin2c,则有1sin2 sincos2 22 cos9045cos12从而可得e 12解法4:利用焦半径由焦半径公式得a ex|PF1| a ex，|PF2|所以有2 2 * 2x 4c2a2又由 |PF1|2 |PF2|2 |F1 F2|2，2222a 2cx e x a 2cx e

15、22222 2c即 a e x 2c ，xe又点P（X，y）在椭圆上，且x a，则知x2a2，即-2c2 a20 e得 e x 2得e 2解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有2a |PFi| |PF2|平方后得22222224a |PFi| 門| 2|PFi|PF2| 2(|PFi| IPF2I ) 2时2|8c得0： 1所以有e吟，1)解法6:巧用图形的几何特性由F1PF2 90，知点P在以|F1 F2| 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有 c bc2b2a2 c2离心率的五种求法椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e 1. 一、直接求

16、出a、c，求解ece来解决。a2例1:已知双曲线x2 ay21 ( a 0)的一条准线与抛物线双曲线的离心率为(). 33C-6A.B.C.222已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式解：抛物线y26x的准线是x3，即双曲线的右准线 x2y26x的准线重合，则该D.2、333，则2，故选D32c2 3c 20，解得 c 2, a . 3, e -a变式练习1:若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0、F2 3,0，则其离心率为()3211A. 一B. 一C.-D.-4324解：由F1 1,0、F2 3,0 知 2c 3 1，二 c 1，又椭圆过原点， a c1, a c a 2 ,

17、 cc1，所以离心率e -1故选C.a2变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6,那么双曲线的离心率为()3,()、一 3A 31B -321D -2解:由题意知，入射光线为y1 5x23，关于y2的反射光线(对称关系)为5x2y 52 a0，则 c3解得a、3 , ccJ31，则e，故选A0a 35c5A 3r6A. B.22解：由题设a2 , 2c 6，则 cC. 3D 223 , e ，因此选Ca 2变式练习3:点P (-3, 1)在椭圆2 x2 a2y21 ( a b 0)的左准线上，过点 P且方向b2为a 2, 5的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为1

18、.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为13.若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0),则椭圆的离心率为 一24.已知矩形ABCD AB= 4, BC= 3,则以A B为焦点，且过 C D两点的椭圆的离心率为2 25.若椭圆 冷 y2 1,(a b 0)短轴端点为P满足PF1a b2e2PF2，则椭圆的离心率为1 26.已知1(mm n0.n0)则当mn取得最小值时，椭圆2 2笃笃 1的的离心率为m n2 27.椭圆笃楚 1(aa bb 0)的焦点为F1 , F2，两条准线与x轴的交点分别为M , N ,若MN

19、 <F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左焦点，AB分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF丄RAPO/ AB(O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为e迈e 。22 29. P是椭圆冷+厶=1 (a> b>0)a2 b2F1PF23 ,椭圆的离心率为e10. 已知F" F2是椭圆的两个焦点，椭圆的离心率为 63上一点，F2是椭圆的左右焦点，已知PFF2P是椭圆上一点，若 PF1F215 , PF2F111.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为J2椭圆的离心率为-22y亍=1 (a> b> 0)的右焦点

20、为Fi，右准线为I1,若过F1且垂直于bX212.设椭圆二a的长等于点F1到11的距离，则椭圆的离心率是-。213.椭圆等于2 X 2 a1122 y b2AFI,14.椭圆2yPFF 2 ,75，则1,则该x轴的弦1 (a>b>0)的两顶点为 A (a,0 )B(O,b),若右焦点F到直线AB的距离则椭圆的离心率是竺。31 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C D,若四边形ABCD勺内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是.512215.已知直线L过椭圆令a2占 1 (a>b>0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b),如果坐标原点到直b2线L的距离为a，则椭

21、圆的离心率是 一616.在平面直角坐标系中,231( a b 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径el2作圆，过点,0作圆的两切线互相垂直，则离心率c二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系(特别是齐二次式)，进而 得到关于e的一元方程，从而解得离心率 e。2 2例2：已知Fi、F2是双曲线 笃 爲 1 （ a 0,b 0 ）的两焦点，以线段Fi F2为边作正 a b三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 2 3 B. 31 C. 1 D. 312c解：如图，设MF1的中点为P，贝U P的横坐标为一，由焦半

22、径公式2PF1exp a,2cccc即ca，得E 2 -2 0，解得a2aae -13 （13舍去），故选D直线L的方程为bx ay aba2变式练习1:设双曲线x2a2y21 ( 0 a b)的半焦距为c，直线L过a,0 ,0,b两b2点.已知原点到直线的距离为c ,4则双曲线的离心率为（)A. 2B. 3C. 22 一 3 D.解：由已知,0,由点到直线的距离公式，得f1mf21200，则双aba2b24c,又c22 ab2, 4ab3c2，两边平方，得2 2 216a c a43c，整理得3e416e2160 ,得e24或2 e4，又30 ab , e222. 2cabb22122 ,

23、e 4 ,a22aa e2，故选A变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为F1、M ,F2,曲线的离心率为（解：如图所示，不妨设v'6B 一2.6C 一30,b ,F1c,0,F2 c,0，则MF|MF2c2b2，又 FiF22c,在 FiMF2中，由余弦定理，得cos|MFi2MF22Fi F222MFiMF2FiMF2 b22 2 2 2 2c b c b 4c2 22 c bb21.已知椭圆的焦距、2 以椭圆的右焦点的左焦点为Fi,2a222c a2 3a2今，故选B短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是冃为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于直线MF与圆相切，则椭

24、圆的离心率是3 iM N两点，椭圆3以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 0并且与椭圆交于 MN两点， 如果I MFI = I MO，则椭圆的离心率是 J314设椭圆的两个焦点分别为 Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是2 i5.已知F、F2是椭圆的两个焦点，过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF23是正三角形，则这个椭圆的离心率是25x6设Fi、F2分别是椭圆a（c为半焦距）的点，且f2p，则椭圆的离心率是-2b 0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 3c、采用离心率的定义以和椭圆的定义求解例

25、3：设椭圆的两个焦点分别为 Fi、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 FiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解: e c 三a 2a2c2c|PFi| I PF2占c2c四、根据圆锥曲线的统一定义求解2 2例4：设椭圆y- i ( a 0,ba2 b20 ）的右焦点为Fi，右准线为li，若过FiQL J?A¥且垂直于x轴的弦的长等于点 Fi到li的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示， AB是过Fi且垂直于x轴的弦， AD li于D , AD 为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二定义,AFi2abAD|AD2变式练习：在给定椭圆中, 则该椭圆的离心率为(过焦点且垂直于

26、长轴的弦长为).2,焦点到相应准线的距离为解：e2 2 、2AD五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。0的点M总在椭圆内部，则椭圆离1.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2心率的取值范围是(0,丄2)2P是椭圆上一点，且F1PF290，椭圆离心率 e的2.已知 斤、F2是椭圆的两个焦点, 取值范围为 ,123.已知F" F2是椭圆的两个焦点,AP是椭圆上一点，且F1 PF260，椭圆离心率e的取值范围为2x4.设椭圆a2爲 1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点 Q 使ZF 1QF2=120o, b2椭圆离心率e的取值范围为5.在 ABC

27、 中,ABBC ,cosB .若以A, B为焦点的椭圆经过点 C，则该椭18圆的离心率e26.设F1, F2分别是椭圆笃 1 ( a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,b使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是-,13配套练习1.设双曲线2x2ab21 （ a 0,b0 ）的离心率为,3，且它的一条准线与抛物线2y4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）2 x2y ”2 x2y ”2 2x2y.A.1B.1C.1D122448963322xy 1362 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）1. 31<3A.-B .C.D.332222x3.已知双曲

28、线y21的一条渐近线方程为 y4x ,则双曲线的离心率为（)ab35453A -BC -D -33424在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A 、2A5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 一，则该2双曲线的离心率为（）12LAB 2C . 2D 2 226.如图,Fi和F2分别是双曲线2x2ab21 （ a 0,b0）的两个焦点,A和B是以O为圆心，以OR 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB则双曲线的离心率为（.57.设F2分别是椭圆2x2a2 y b2（a b 0）的左、右焦点， P是其右准线上纵坐标为,3c （ c为半焦距）的点，且F2P，则椭圆的离心率是（D，22 2&设F1、F2分别是双曲线冷爲a b1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2900