2018年高三数学二轮复习_数列专题和答案解析

1、范文.范例.参考2018 届高三第二轮复习一一数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1.等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基 本量的求解题型：三种题型均可出现 难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定 义证明题型：三种题型均可出现 难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性 质题型：选择题或填空题 难度：基础题或中档题1.必记公式(1)等差数列通项公式：a=ai + (n 1)d.、工n (adan)n (n1) d(2)等差数列刖 n项和公式： Sn=2=n&am

2、p; +2.(3)等比数列通项公式：aad1.(4)等比数列前n项和公式：na (q= 1)S= ia1 (1 qn)aanq ,、.、1-q(q')(5)等差中项公式：2an=an1 + an+1(n>2).(6)等比中项公式：an=an1 an+1( n>2).n= 1)(7)数列an的刖n项和与通项anN间的关系：an= <.Sn-Sn 1 (n>2)2 .重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，an=am+ (nm)d；等比数列中，an= anqn-m.(2)增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列.等比数列中

3、，若 a1>0且q>1或a v 0且0vqv 1,则数列为递增数列；若 a1>0且0V qv 1或ai v 0且q> 1,则数列为递减数列.3 .易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件.(2)漏掉等比中项：正数 a, b的等比中项是土 VOb,容易漏掉一 漏.【真题体验】1. （2015 新课标I高考）已知an是公差为1的等差数列，S为an的前n项和.若&=4&,则m=（）A. B.C. 10D. 12221 -2. （2015 新课标n局考）已知等比数列an满足 日=4，a3a5= 4（a4 1）,则a2=（

4、）A. 2 B . 1 C. 1 D. 1 283. （2015 浙江高考）已知an是等差数列，公差 d不为零.若 a2, a3, a7成等比数列，且 2& + &=1,则 a1 =, d =.14. （2016 全国卷1）已知QJ是公差为3的等差数列，数列bn满足b>=1, b> = - , anbn书+如书=nbn,.3（I）求an 的通项公式；（II ）求 如的前n项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1 .（2015 湖南高考）设$为等比数列an的前n项和，若a1=1,且3s,2S2,S成等差数列，则an= 、, 一一 92 . （2015 重庆局考

5、）已知等差数列&满足a3=2,前3项和4=2.（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b1 = a , b4= a® 求bn的前n项和Tn.考点二、等差(比)的证明与判断【典例1】(2017 全国1)记&为等比数列an的前n项和，已知 &=2, S3=-6.(1)求an的通项公式；(2)求S,并判断&+1, S, S+2是否成等差数列。【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n>l的任意自然数，验证 an+1 a1或电二M同一常数. .an(2)通项公式法：*右 an=ad ( n- 1)d= am+ ( n

6、-m) d 或 an=kn+ b( nC N),则an为等差数歹U；若 an=a1qnT = amqnm或 an= pqknb( n N*),则a为等比数列.(3)中项公式法：若 2an=an 1 + an+1(nC N*, n>2),则an为等差数列； 2*右 an = an 1 an+1(nCN, n>2),且 an w 0,则an为等比数列.变式：(2014 全国大纲高考)数列an满足a1=1,32= 2,an + 2=2an+1an+ 2.(1)设bn=an + 1an,证明bn是等差数列;(2)求Rn的通项公式.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有

7、关的性质【典例2】(1)(2015 新课标n高考)已知等比数列an满足a1=3, a1 + a3+a5=21,则a3+a5+a7=()WORD格式整理版范文.范例.参考A. 21B. 42C. 63D. 84（2）（2015 铜陵模拟）已知等差数列&的前n项和为且S0=12,则a + a6=（）A. B . 12 C . 6 D. 655命题角度二 与等差（比）数列的和有关的性质【典例3】（1）（2014 全国大纲高考）设等比数列an的前n项和为&.若与=3, $= 15,则S6= （） A . 31 B . 32C. 63 D . 64（2）（ 2015 衡水中学二调）等差数

8、列an中,3（a3+a5）+ 2（a7+ a1o+a9=24,则该数列前 13项的和是（）A . 13 B . 26 C . 52 D . 156针对训练1 .在等差数列a中，若 aa+ a4 + a5+ a6+a7=25,则 a?+ a8=.2 .在等比数列an中，a4 a8= 16,贝U a a5 a7 a的值为.3,若等比数列an的各项均为正数，且a1°a11 + a9a12=2e，则ln a + ln a + ln a20=.【巩固训练】一、选择题1. （2015 新课标II高考）设$是等差数列an的前n项和.若aia3 + a5= 3,则4=（）A. 5B. 7C. 9D.

9、 112. （2014 福建高考）等差数列an的前n项和为S,若&=2, &=12,则a6等于（）A. 8 B , 10 C . 12 D . 143. （2014 重庆高考）对任意等比数列an,下列说法一定正确的是（）A.asa3,%成等比数列B.a?,as,a6成等比数列C.a2,a4，为成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列4. （2014 天津高考）设an是首项为as公差为1的等差数列，S为其前n项和.若S,$成等比数列，则&=（）1 r 1A. 2 B. -2 C. 2 D . -2WORD格式整理版范文.范例.参考*11 .5. （2015 辽丁大连模拟）

10、数列an辆足 anan+i=an an+i（n N）,数列bn辆足 5=一,且 bi an+ b2+ h = 90,则 b4 - b6（）A.最大值为99 B .为定值99 C .最大值为100 D .最大值为200二、填空题6. （2015 陕西高考）中位数为1 010的一组数构成等差数列， 其末项为2 015,则该数列的首项为 .7. （2015 安徽高考）已知数列an是递增的等比数列，31 + 34=9, a2a3=8,则数列an的前n项和等于8. （2014 江西高考）在等差数列an中，a1=7,公差为d,前n项和为S,当且仅当n= 8时$取得最大 值，则d的取值范围为.三、解答题9.

11、 （文）（2015 兰州模拟）在等比数列an中，已知a1=2, a4 = 16.（1）求数列an的通项公式；（2）若a3, a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的前n项和S.10、（2014 湖北高考）已知等差数列an满足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）记S为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得S>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.11. （2015 江苏高考）设a1, a2, a3, a4是各项为正数且公差为d（dw。）的等差数列.（1）证明：2a1, 2a2, 2a3, 2a4依次构成等

12、比数列；WORD格式整理版范文.范例.参考（2）是否存在ai, d,使得ai, a2, a3, a4依次构成等比数列？并说明理由第2讲 数列求和（通项）及其综合应用【高考感悟】从近三年局考看，局考命题热点考向可能为:考什么怎么考题型与难度i,数列的通项 公式考查等差、等比数列的基本量的求解；考查an与&的关系，递推关系等题型：三种题型均可出现 难度：基础题或中档题2,数列白前n 项和考查等差、等比数列前 n项和公式； 考查用裂项相消法、错位相减法、分解 组合法求和.题型：三种题型均可出现，更多 为解答题难度：中档题3,数列的综合 应用证明数列为等差或者等比； 考查数列与不等式的综合.题

13、型：解答题 难度：中档题【真题体验】1. （2015 北京高考）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 ai + a2> 0,则 a+a3>0B.若 aI + a3< 0,则 ai + a2<0C.若 0< a1<a2,则 & > <aia3D.右 ai < 0,则（a2 ai）（ a2 a3）> 0i ，2. （20i5 -武汉模拟）已知等差数列an的前n项和为S,%=5, a= i5,则数列藐1的前i00项和为（）A. 辞B-99C-99 D 胆.i0i .i00. i003. (20i5 福建高考)等差数列an中

14、,a2=4, a，+ a7=i5.(i)求数列an的通项公式；(2)设 bn = 2an 2+ n,求 bi+ b2 + b?+ + bi0 的值.【考点突破】考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法.，一 Q, n=1,.、(2)已知S与an的关系，利用 an=i求an.§ S 1, n>2(3)累加法：数列递推关系形如an+i= an+f (n),其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法).(4)累乘法：数列递推关系如an+i = g(n)an,其中数列g(n

15、)前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法：递推关系形如an+i = pan+q( p, q为常数)可化为an+i+pq= pp+p ( pw 1)的形式，利用an+言 是以p为公比的等比数列求解.pan11 1递推关系形如 an+1 = -p(p为非零常数)可化为一=一一的形式.an+p'Lan + 1 an p1. （2015 新课标n高考）设S是数列an的前n项和，且 a = 1, an+1=S$+1,则S =2. （2015 铜陵模拟）数列an满足1ad*&+ + *an= 3n+1, nCN*,则 an =. 3333. 若数列an满足a1

16、=3, an+1 = 5an-史,则a2 015的值为3an- 7考点二、数列的前n项和【规律感悟】1 .分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组.(2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.WORD格式整理版范文.范例.参考2 .裂项后相消的规律常用的拆项公式(其中nC N*)一/ 1=-二.一( 1 、=；-r :.-75八 1 / 0k = 13 1 厂。11n (n+1)nn+1 n (n+k) knn+kj (2n1) (2n+1)2'2n1 2n+1，3 .错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项( an - bn)型数列求和.(

17、2)步骤：求和时先乘以数列 >的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.4 .倒序求和。命题角度一基本数列求和、分组求和【典例1】(2015 湖北八校联考)等差数列an的前n项和为 3,数列bn是等比数列，满足a1=3, b=1, b2+S2=10, a52b2=a3.2、，不，n为奇数, 求数列an和bn的通项公式；(2)令Cn=：S设数列 Cn的前n项和为Tn,求T2n.(_bn, n为偶数,命题角度二裂项相消法求和【典例2】(2015 安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；(2)设S为数列an的前n项和，bn=5F,

18、求数列bn的前n项和Tn. SiSi+1命题角度三错位相减法求和【典例3】(2015 天津高考)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a1 = b1 = 1, b2+b3=2a3, a5 3b2= 7.(1)求an和bn的通项公式；(2)设Cn=anbn, nCN,求数列g的前n项和.WORD格式整理版范文.范例.参考针对训练、一,一 一一 一、，一._ n2+n _ *1. (2014 湖南局考)已知数列an的前n项和& = -2, nCN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn= 2an+( 1) nan,求数列bn的前2n项和.2. (2015山东高考)已知数列

19、an是首项为正数的等差数列,数列)的前n项和为己.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn= ( an+ 1) 2 an,求数列 bn的前n项和Tn.考点三、数列的综合应用【典例4】(2015 陕西汉中质检)正项数列a的前n项和与满足：S2-(n2+n-1)S1-(n2+n)=0.求数列an的通项公式an；（2）令bn= / *1 2 2,数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的 门 N,者B有Tn<-5. （n + 2） an64an变式： （2015 辽宁大连模拟）数列an满足an+i = ；, ai= 1.2an 十 1皿,1,1八、，111 n（1）证明：数列二是等差数列；（2

20、）求数列力 的前n项和并证明+0 + + F>7T.&oiSiS2Snn 十I【巩固训练】、选择题1. （2015 浙江高考）已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是&.若a3, a，a8成等比数列，则（）A. a1d>0, d&>0B. a1d<0, d&<0C. a1d>0, d&v 0 D , a1d<0, d&>02. （2015 保定调研）在数列an中，已知d=1, an+1=2an+1,则其通项公式为 an=（）A. 2n-1 B . 2n 1+1C. 2n- 1 D , 2（n-

21、1）1 2-13.（预测题）已知数列an满足a+1 = 2+yan-an,且oi=-,则该数列的前2 015项的和等于（）3 023A.-2 B . 3 023 C . 1 512 D . 3 0244.(2015 长春质检)设数歹Uan的前n项和为&,且日=22=1,门&+(门+2)24为等差数列，则an=()nA. 2niTB.n+ 12n-1 n + 12n- + 1C. 2n-1 D. 于WORD格式整理版12anan+ 1 + 15. (2015 云南第一次统一检测 )在数列an中，an>0, a1 = -,如果an+1是1与 4_ a2 的等比中项,那/a2,

22、a3.a4. a© 么 a1 + 22+32 +42+ 1002的值正（）10010110099A. 99- B. 100 C.而 D. 100二、填空题1-6. (2014 全国新课标n图考 )数列an满足an+1= , a8=2,则d =1 an7. 若数列n(n + 4)( 2)n中的最大项是第k项，则k=38(2015 江苏高考、一、 、一 一 * 一 、 )设数列an满足a1=1,且an+1 an= n+1(ne N),则数列an前10项的和为9. (2015 福建高考)若a,b是函数f (x)=x2px+q( p> 0, q>0)的两个不同的零点，且a,b,一

23、 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 三、解答题10. (201 5 湖北高考)设等差数列an的公差为d,前n项和为等比数列bn的公比为q.已知b1=ab b2=2, q=d, So= 100.(1)求数列an, bn的通项公式;(2)当d>1时，记Cn= a-,求数列Cn的前n项和Tn. bn范文.范例.参考11. (2014 山东高考)已知等差数列an的公差为2,前n项和为且S, S, &成等比数歹U.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=(-1)n1 4n ,求数列bn的前n项和Tn.an Hn+ 12018 届高三第二轮复习一

24、一数列答案【真题体验】(第1讲等差、等比考点)1 【解析】 设等差数列an的首项为a1,公差为d.由题设知d=1, 9=484,所以8a1+28=4(4a1+6), .一 1 一 119 .解得a1 = 2)所以a0=2+9=万.故选B.1232 .【解析】设等比数列an的公比为q, a1 = 4, a3a5= 4(a41),由题可知 qw1,则 dq x aq 4= 4(aq1613633231.1) ,而* q=4(4xq1), . q 16q + 64= 0,，(q8) =0,，q=8,q= 2,a2=2.故选 C.2233 .【斛析】由a2,a3,a7成等比数列，得a3=a2a7,则2

25、d=3ad,即d=一万日.又2a1+a2=1,所以a1=2 d = 1.【答案】 2 - 133314.【解】(1) an=3n 1 . (2) bn=i 1.2 2 3nt考点一、等差(比)的基本运算1 【解析】本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式.由 3S, 24, S3成等差数列，得4G=3S+S3,即3S3s = 83 G,则3a2=a3,得公比q=3,所以 an=a1qnT=3nT.【答案】312【解】本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前n项和公式，考查考生的运算求解能力.(1)将已知条件中的 a3, S用首项日与公

26、差d表示，求得a1, d,即可求得数列an的通项公式；(2)结 WORD格式整理版范文.范例.参考合利用条件bi=ai, b4= ai5求得公比，然后利用等比数列的前n项和公式进行计算.(1)设an的公差为d,则由已知条件得八 3X2 . 9ai +2d = 2, 3aHd=3即 ai + 2d=2, ai+d= ,-i解得 ai=i, d = 2,故通项公式为an=i + n2，即出=以. i5+i _(2)由(i)得 bi = i, b4= ai5= 2-=8.3 b4，一设bn的公比为q,则q =t- = 8,从而q=2, Di故bn的前n项和bi (i-qn)ix d-2n)n_n=

27、iq= i2= ,考点二、等差(比)的证明与判断【典例U 解：(i)设an的公比为q ,由题设可得aKi+q)=2,n2&)32 解得q = 2,a1=2 故an的通项公式为an=(2) a2(i q q ) = 6.n 3 n 2由于 SnJSnLF+S-(2)由(i)可得 Sn =ai(i -q) i -q2 n 2n "2二十(-I)T=2Sn，故Sn-Sn成等差数列变式.【解】(i)证明：由an+2= 2an+i an+ 2得an+2 an+ i = an+ i - an + 2,即 bn+i= bn+ 2.又 bi= a2 ai= i,所以b是首项为i,公差为2的等

28、差数列.(2)由(i)得 bn = i + 2( n i),即 an+i an= 2n i. fitiS (。笈十 oQ £(241),于是仓一1强一i,所以 an+i ai=n2,即 an+i=n2+ai.又ai=i,所以a的通项公式为an=n22n+2.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质【解析】(i)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力.由于 ai(i + q2+q4) =2i, ai=3,所以 q4+q26=0,所以 q2= 2(q2= 3 舍去)，a3+ a5 + a7 = q2(ai+ a3+ a5)

29、 =2x 2i= 42.故选 B.(2)本题主要考查等差数列的性质am+ an= ap+ aq.,.1ai+aio由 Sio= i2 得2-X i0 = i2,1212所以a1 + ai0=亏，所以a5+a6=可.故选A.命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质【解析】(1)在等比数列an中，S2, &S, S6&也成等比数列，故(S4S2)2=S2(S S),则(153)2= 3(S615).解得 &=63.故选 C.13 (ai+ai3)13 (a4+ai°)13X4226.故选B.(2) - 3( a3+ as) + 2( a7+ aio+ an) =

30、24, - a a4+ 6a1。= 24, . . a4+ aio= 4, " S3=WORD格式整理版6 【解析】案】 57 【解析】ai = 8, 或T归4= 1.8 【解析】ai+a4=9,ai + a4=9,a2a3= 8,"4=8,数列a是递增的等比数列，则ai, a4可以看作一元二次方程ai = 1,可得公比q=2, 前 a4=8.2x 9x+8=0的两根,n 项和 Sn= 2 1.ai= 1故.a4=8等差数列的前一一 n (n-1) . d 2 d d 2 d 一一，n 项和为 Sn,则 S = nai+2d=2n + ( ai-) n=2n + (7 -2

31、) n,对称轴d2"为一丁，对称轴介于7.5与8.5之间，即d2- 777.5 <-< 8.5 ,解得一ivdv 8.【答案】针对训练1 .【解析】由 a3+3 + as+a6+a7= 25得 5a5= 25,所以 as=5,故 a?+a8= 2as= 10.2 .【解析】a4a5a7a8= a4a8 a5a7= (a4a8) 2 = 256.【答案】2563 .【解析】aioaii+a9al2 = 2e5,aio-aii= e, Inai + lna2+ Ina20=10ln(ai。aii)= 10 - In e 5=50.【巩固训练】一、选择题1【解析】数列an为等差

32、数列，ai + a3+a5=3a3=3,，a3=1, . &=51a詈_ = 52产 =5.【答案】A.一 ，一一 3X2.一,一2【解析】 由题知 3ai+2-d= 12,ai = 2,解得 d=2,又 a6= ai + 5d,. a6= 12.故选 C.3.【解析】由等比数列的性质得，a3a9 = a6w0,因此a3, a6, a9一定成等比数列.故选 D.一.-2 一 一2X1 24X3,一，一1 一4【解析】由题意知S2=Si-S4,(2ai + d)=ai(4ai+d),把d = 1代入整理得ai =2.故选D.5.【解析】 将an aa + 1=anan+1两边同时除以 a

33、nan + 1可得一=1,即bn+1-bn= 1 ,所以bn是公差为d an+1 an一、，一. 、， 一一一9 (bi + b9) .,.=1的等差数列，其前 9项和为2=90,所以bi+b9=20,将b9= bi + 8d= bi+ 8,代入得 bi = 6,所以 b4= 9, b6 = 11,所以 b4b6= 99.故选 B.、填空题设等差数列的首项为 ai,根据等差数列的性质可得，ai + 2 015=2X1 010,解得ai = 5.【答三、解答题9.【解】(1)设数列an的公比为q, 为等比数列,范文.范例.参考WORD格式整理版 a1=q3=8,q=2,an=2X2 1 = 21

34、(2)设数列bn的公差为d,b3=a3=23 = 8, b5=a5= 25=32,且bn为等差数列，. ，一 . 一 C 一 n (n 1) 一 八 2 一 .b5b3 = 24=2d, . . d= 12, .bi = b3 2d=16, . Sn= - 16n +2x 12= 6n 22n.10、【解】（1）设数列an的公差为d,依题意，2, 2+d, 2+4d成等比数列，故有（2+d）2=2（2+4d）,2化间得d -4d= 0,解得d=0或d=4.当d=0时，an=2；当d = 4时，an= 2+（ n1） 4= 4n2,从而彳#数列an的通项公式为 an=2或a = 4n 2.（2）

35、当 an=2 时，S=2n.显然 2n< 60n+800,此时不存在正整数 n,使得S>60n+800成立.n24n2） 2当 an=4n2 时，Sn=-2-=2n .令2n2>60n+ 800,即n2- 30n-400> 0,解得n>40或nv10（舍去），此时存在正整数 n,使得S> 60n+800成立，n的最小值为 41.综上，当an=2时，不存在满足题意的 n；当an = 4n2时，存在满足题意的 n,其最小值为41.11.【解】（1）证明：因为2m =2an+1-an=2d（n=1, 2, 3）是同一个常数，所以2a1, 2a2, 2a3, 2a4

36、依次2an构成等比数列.(2)不存在，理由如下：令a1+d=a,则 a,a2,a3,&分别为 a-d,a, a+ d,a+ 2d(a>d,a>2d,dw。).假设存在a, d,使得d, a2, a3, a4依次构成等比数歹U, 则 a4=(ad)( a + d)3,且(a + d) 6= a2( a + 2d)4.令 t=d,则 1 = (1t )(1 +t)3,且(1+t)6=(1+2t) a化简得 t3+2t22 = 0(*),且 t2=t + 1.将t2=t + 1代入(*)式，t(t+1) + 2(t+1) 2 = t2+3t =t+1 +3t =4t+ 1=0,则

37、 t=；.a1, d,使得 a1, al, a3, a4依次.1 显然t =-二不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在 4构成等比数列.第2讲数列求和及其综合应用【真题体验】1. （2015 北京高考）设2口是等差数列，下列结论中正确的是（）若若若A Be& + %>0,则 a2+a3>0a1 + a3V 0,则 a1+ a2V 00V a1< a2,则 a2> , a1a3D.若 a1 v 0,则（a2 a1）（ a2 a3） > 0【解析】若an是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确.若an为公差为0的等差数列，则ai+ a3选项D不正

38、确.对于 C选项，由条件可知an为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2 = 2,ai + a3由基本不等式得 一厂 > 寸a或，所以c正确.【答案】 Ci2.(2015 武汉模拟)已知等差数列an的前n项和为S,a5=5,&=15,则数列的前100项和为()A 100A. -10199C.砺 D.【解析】a5= 5,anan+1101100设等差数列a的首项为a1,公差为d.S5= 15,4d=5,55X ( 51)5a1 +2d =15,a1 = 1,S . an=a+ ( n- 1)d= n.d= 1,的前100项和为1g+1* 1 * 3+去一上=1 2231001

39、0111011 1111anan+1 n (n + 1) n n+1anan+1100而【答案】 A3 . (2015 福建高考)等差数列an中，a2=4, a4+az= 15.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn=2an2+n,求 b + b2+b3+ b0 的值.【解】(1)设等差数列an的公差为d.a1 + d= 4, 由已知得, 一(a + 3d) + (ad6d) =15,解得a1=3, d = 1.所以 an=a + ( n 1)d= n + 2.(2)由(1)可得 bn = 2n+ n,所以 b+b2+b3+ b10 = (2 + 1)+(2 2+ 2)+(2 3+ 3)

40、+ + (2 10+ 10) =(2 +22+ 23+ 210) + (1 +2+3+ 10)_,_10、,一、一2X (1 2 )(1 + 10) X 10= +1-22= 211 + 53=2 101.-1一得：或an=(3n+1) 3( n-1) +1,33.r 1n+1 ，一 112, n=1, 一即3nan=3,所以an=3n+1,综上可得：an=n+： n>2【答案】本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决.12,3n+1由于a1=3,求a2=1,aa=2,a4=3,所以数列an是周期为3的周期数列，所以a2 015 =a671X3 + 2=a2

41、=1.热点考向二数列白前n项和（多维探究型）命题角度一基本数列求和、分组求和【典例1】 b + 6= 10,(1)设数歹U an的公差为d,数歹U bn的公比为q,贝U由， a5 2b2= a3,q+ 6+ d= 10,得:解3+4d-2q=3 + 2d,d=2,q = 2,所以 an=3 + 2(n 1)=2n+1, bn =2 .(2)由 ai = 3, an= 2n+ 1 得 Sn=n (ai + a”n为奇数,= n（n+2）,则 Cn=：n（n+2）2nT, n为偶数，11即 Cn=Sn n+2、2nT, n为偶数，= T2n= ( C1 + C3 + C2n-1) + (C2+ C

42、4+ C2n)2n- 1 2n+1工(2 + 23+ 22nT)12 （14n）2n 2 n=1-2n+ 1 +T4=2n+ 1 + 3（4 - 1）,命题角度二裂项相消法求和a4 a2 as 8)a1 = 8【典例2】（1）由题设知a1或，（舍去）.a4= 1a1= 1,又a1+ a4=9,可解得“a4= 8设等比数列an的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故an= a1qn-1= 2n-1nx(2) Sn=aq)=2n1,又3 =1 - qan+1Sn+ 1 Si11SnSn+1SS+11111所以 Tn=b1+b2+ bn=- |+i+SS2 /S2 S3Sn Sn+1'111

43、1ST ST?尸S1-sn71 =1-2n+1-1.命题角度三错位相减法求和典例3】（1）设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意q>0.(1 + d) + ( 1+2q) = 2q,由已知，有“ 4q -3 (1 + d) =7,又因为q>0,解得q=2,所以d = 2.22q 3d = 2 ,j42,4消去d，整理得q4- 2q2-8=0.q 3d= 10,所以数列an的通项公式为an=2nT, ne N*；数列bn的通项公式为 bn = 2n - 1, n N*. (2)由 有Cn= (2n-1) - 2n n,设Cn的前n项和为S,则S=1 X2 °+3X

44、245X2 2.当 n=1 时，qa1 = 3X1+1,所以 d = 12,+ (2n-3) X2 n 2+(2 n-1) X2 n 2Sn=1X2 > 3X 2 2+ 5X 2 3+ (2n 3) X2 ni + (2n 1) X2 n,上述两式相减，得S= 1 + 22+ 23+ 2n (2 n 1) X2 n=2n+1 所以，Sn=(2n-3) - 2 n+3, n N*.-3-(2 n-1) X2 =(2n 3)X2 -3,针对训练1 .【解】（1）当 n=1 时，a1=S=1；当n>2时,an= S1 Sn- 1 =n2+ n2(n 1)之十 (n 1)2=n.故数列an

45、的通项公式为an= n.(2)由(1)知，bn=2n+( 1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T科 则 T2n= (21+21 .+ 22n) + ( 1+2 3+4+ 2n).记 A= 21 + 22+ 22n, B= 1+2 3+4+ 2n,A=_ ，_2n、2 (12 )12=22n+12,B= ( 1 + 2) +(3+4) + -(2n-1) + 2n = n.故数列bn的前 2n项和 T2n=A+ B= 22n+1 + n-2.2 .11【解】（1）设数列an的公差为d.令n=1,得=-,a1a2 3,人，112 ,所以an+1 n+1.令n=2,得森+而t5,所以a2a3=1

46、5.解得 a1=1, d=2,所以 an= 2n 1.(2)由(1)知 bn=2n 22n1=n 4n,所以 Tn= 1 - 4 1 + 2 - 42+ n - 4n,所以 4Tn= 1 4 2+ 2 4 3+ n 4 n+ 1,两式相减，得3口=41+4?+ 4 n , 4 +1所以 Tn=7 XF"*" 9994 (1 4n)1-41-3n3n+ 1X443.热点考向三(2)证明：由于 an=2n, bn =n+ 1(n+2) 2a2，数列的综合应用（师生共研型）【典例 4【解】(1)由 S2( n2+n1) Sn( n2+n) = 0,得S(n2+n)( S + 1)

47、=0.由于曰是正项数列，所以 Sn>0, Sn=n2+n.于是 a1 = S1=2, n>2 时，ai = S S-1 = n+ n (n 1) ( n 1)=2n.综上，数列an的通项公式为an= 2n.1(n+2) n+11 C1I2 +2(n 1)(n + 1) n112(n+2)16人bn=4n2 (n+2) 2= 16_n所以 Tn = - X 1 4+4 4 + L 4 + + 16 L 3243511111，1、5I (n+1) 2 (n+2) 2,而又尸64.an1 2an+ 111变式：【解】(1)证明： an+1=T-=-一,化简得 丁 = 2十二，2an +1

48、an+ 1 anan+1an即白一7=2,故数列?是以1为首项，2为公差的等差数列. an+1 anan(2)由(1)知L = 2n-1, Sn=n (Uni) =n2. an21+ H+/+ 工>71+71+ ( 二、=(1 -) +(1一) + (1_7) =1-SS2 S1 2 n 1X22X3 n (n+1) '2 '23，'nn+1，【巩固训练】一、选择题251 .【解析】由a3,a4,a8成等比数列可得：(ai + 3d)=(ai + 2d)(ai+7d),即3ai+5d=0,所以ai = -3一一一._(ai + a4)x 42 2,.、d,所以 a

49、idv0.又 d&=d= 2(2 a +3d) d= - -d < 0.故选 B.232 .【解析】由题意知 an+1 + i = 2(an+ i), -an+i = (ai + i) ,2=2,.an=2 i.【答案】Aii2i3 .【解析】 因为ai = 2,又 a + i= 2+ ?Jan an,所以a2 = i ,从而a3 = 2 , a4 = i ,即得an =1一 一 、.一一，2''故数列的前 2 0i5项的和等于 S 0i5 = i 007 X(i + -) + i = -+ i=-.【答*JJJJ, n=2k (kC N),案】 A4 .【解析】

50、设bn= nS+( n+2)有bi = 4,b= 8,则bn=4n,即bn= nS+( n+2)an = 4n,$+(1+，)& =4.2、八)an i 0, n- i、“-2当,Sn- S i+(i+n)an- (i +所以2_1ng n n iarianan -iani,即 2 , 一=7,nn-1一一an 一 i .,所以力是以5为公比,i为首项的等比数列，所以an=2ni.故选A.【答案】 A5 【解析】由题意可得，a2+i =2 anHn+ i + i2? (2 an+ i + anRn+ i + i)4- an '，i(23n+ i 一 anHn+ i - i) = 0? Hn+ i = 2 ran+ian i-i =2 ani i口 = i -(n-i)=- nT? 2Tn anan="?孑=a2ai00n (n+i) , ai + 了+i0?=.i. i i.i 一2+ 2 3+ +ii00-7= 7 i ,an+ i i an ii i00 = i0i i0i二、填空题ii - i-i6 .【解析】 将a8=2代入an+i = -,可求得a7=-;再将a7=;代入an+i=-,可求得a