版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、导导数的基本公式与运算法则数的基本公式与运算法则基基本初等函数的导数公式本初等函数的导数公式(x ) = x - -1 .(ax) = ax lna .(ex) = ex.0 (cc为任意常数).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x) = cos x.(cos x) = - - sin x.(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .,11)(arcsin2xx- - 另外还有反三角函数的导数公式:另外还有反三角函数的导数公式:
2、,11)(arccos2xx- - - ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx - - 定理定理2.2. 1设函数设函数 u(x)、v( (x) ) 在在 x 处可导处可导,)0)()()( xuxuxv在在 x 处也可导,处也可导,(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv - - 导导数的四则运算数的四则运算且且则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商推论推论 1(cu(x) = cu (x) (c 为常数为常数).推论推论 2.)
3、()()(12xuxuxu - - ()uvwu vwuv wuvw乘法法则的推广:乘法法则的推广:补充例题:补充例题: 求下列函数的导数:求下列函数的导数:解解根据推论根据推论 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ,(5cos x) = 5(cos x) ,(cos x) = - - sin x,(ex) = ex, (1) = 0,故故f (x) = (3x4 - - ex + 5cos x - - 1) = (3x4) - -( (ex ) ) + (5cos x) - - (1) = 12x3 - - ex - - 5sin x .f (0) = (12x3 - - ex - -
4、 5sin x)|x=0 = - - 1又又(x4) = 4x3,例例 1设设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1,求求 f (x) 及及 f (0).例例 2设设 y = xlnx , 求求 y .解解根据乘法公式,有根据乘法公式,有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 解解根据除法公式,有根据除法公式,有22222)1()1()1()1)(1(11 - - - - - - - - xxxxxxxy例例 3设设,112 - - xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( - - - - - - xxxx
5、x.)1(12)1()1(2)1(222222 - - - - - xxxxxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函数的导数:求下列函数的导数:3(1)cosyxx-2(2)xyx e2(3)1xyx-32(4)23 sinyxxxe解:解:332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx-2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx-2221( 2 )(1)xxxx-222)1 (1xx- 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23-xxx)c
6、os(sin362xxxx- 高阶导数高阶导数如果可以对函数如果可以对函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x) 再求导,再求导,所得到的一个新函数,所得到的一个新函数, 称为函数称为函数 y = f(x) 的二阶导数,的二阶导数,.dd22xy记作记作 f (x) 或或 y 或或如对二阶导数再求导,则如对二阶导数再求导,则称三阶导数,称三阶导数,.dd33xy记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4),y(5), ,y(n),dd44xy,ddnnxy或或 , 而把而把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数.例例3 3 求下列函数的
7、二阶导数求下列函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos( sin )cossinyxxxxxx-xxxxxxxycossin2)cos(sinsin-21(2)1yx222)1 ()1 (xxy-22)1 (2xx-解:解:二阶以上的导数可利用后面的数学软件二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算来计算 2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导,函数 在点 处可导,则复合函数在点 可导,且或记作:推论推论设设 y = f (u) ,
8、u = (v), v = (x) 均均可导可导,则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导,.xvuxvuyy 以上法则说明:复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明:复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. .23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey-例 求下列函数的导数:)32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx
9、解: 函数可以分解为(2)2 cos(2) (2) 1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx-把当作中间变量,(3)cos1sin(cos )tancoscosxxyxxxx - -把当作中间变量,tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把当作中间变量,(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx- -把当作中间变量, 先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求
10、导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出法则求出. 复合函数求导的关键复合函数求导的关键: 正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.求导方法小结:求导方法小结:2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx - -练习:求下列函数的导数(课堂练习)();( )222222222(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx- - -解:例例5 5:求下列函数的
11、导数:求下列函数的导数(1) (2)(3) (4)2cosxy 232-xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5 隐函数的导数00( )yxF xyF xyyy x与 的关系由方程( , ) 确定,未解出因变量的方程( , )= 所确定的函数称为隐函数6( )1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定,求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe-解:上式两边对 求导,则有 即1;2.xyyy隐函数的求导步骤:()方程两边对 求导,求导过程中把 视为中间变量,得到一个含有 的等式( )从所得等式中解出227( )cos().d
12、yyy xyxyxdx-例 设函数由方程所确定,求222222222222222222 sin() ()1 sin() (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy -解:方程两边分别对 求导,得2( )2.dyyy xxyyxdx练习:设函数由方程所确定,求2 () ()2 22(2 )222xxyyyx yy yxyyyyyxy-解:两边分别对 求导,得 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或
13、)看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例例1 1 设函数设函数324( , )23,f x yxx yy-求求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf-解:解: xyxyyxxyxfxx43)32(),(2423-32423122)32(),(yxyyxxyxfyy-111413) 1 , 1 (2-xf14) 1(1212) 1, 1 (32-yf例例2 2 设函数设函数 求),ln()(2222yxyxzxzyz解:解:xxyxyxyxyxxz )ln()ln()(222222222222222212 ln
14、()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln() 1xxy类似可得类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln() 1yxy 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数函数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然是一般说来仍然是 x , y 的函数,的函数, 如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在,的偏导数也存在, 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序,依照对变量的不同求导次序,
15、二阶偏导数有四二阶偏导数有四个:(用符号表示如下)个:(用符号表示如下) xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的,可以定义三阶、四阶、类似的,可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数,阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数,),(,),(yxfyyxfx而称为函数称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数的一阶偏导数.注:当两个二阶导数连续时,它们是相等的注:当两个二阶导数连续时,它
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年度销售代理合同标的3篇
- 银行营业厅安全保障计划
- 二零二四年度园林绿化工程设计合同5篇
- 2024年度房地产项目信托融资借款合同版B版
- 二零二四年度婚恋平台品牌合作合同3篇
- 学生社团活动统筹计划
- 2024年度陈纨离婚后商业秘密保护协议
- 2024年度购销合同:汽车零部件采购协议2篇
- 烟草行业合同存档查阅流程
- 酒吧水电路施工合同
- 高中生物必修一-非常知识点总结
- 2024年秋季新人教版七年级上册英语全册教案设计
- 广东广州2023年中考语文现代文阅读真题及答案
- 《科技创新引领未来》主题班会
- 2024至2030年中国猫砂行业市场全景监测及投资前景展望报告
- 食品购销协议书范本
- 部编版一年级语文上册小书包作业练习设计附答案(校本班本作业)
- 办公楼无线WIFI竣工验收报告
- 东风公司校园招聘人才测评
- NB-T 10641-2021 电动汽车非车载充电机现场检测仪
- 完整版交管12123驾照学法复习题库大全附答案解析
评论
0/150
提交评论