应用平均值不等式

1、应用平均值不等式应用平均值不等式，在活”与巧”上下功夫平均值不等式，是不等式”这一章最重要的公式之一，它是不等式证明时的有力工具。活用平均值不等式来解题应该成为我们平时学习中的基本要求。那么，如何在活用”和巧用”上下功夫呢？当然要选择一些典型而生动的例子对它们认真分析和思考了。1.应用平均值不等式只是整个解是过程中的重要步，而用好这一步，确实简化了计算1 313.一题组一1.已知a0,b-(a-),c-(b一)，比较a、b、c的大小。2 a2b2.设a>0,aw何方程ax+a-x=2a在1,1内是否有解，为什么。分析与解答1.从结构上我们当然立即想到了平均值不等式。.a>0,故a3

2、2A/3；b32V3,等号在a=b=J3时取得。ab得到启发，J3是比较三者大小的分界线。2(1)当a>&时，ba-(a3)a0,2a2a同理cb<0,故a>b>Co(2)当a="'3时，a=b=Co1 3(3)当0<a<J3时，b-(a-)v,32 a又c1(b3),32be13b23c而bcb(b-)02b2ba<c<bo对a分类讨论的划分是如何确定的呢？应用平均值不等式。2.方程a"+ax=2a有点特殊。机灵的读音立即发现0<a<1时此方程无解。这是因为axax>2,当0<a<

3、;1时，ax+ax=2a不能成立，于是只要讨论a>1的情况。我们把根求出来。解法1：ax+ax=2aa2x2aax+1=0.ax=a±Ma21,x1log a(a a2 1) 1( a 1),X2loga(a-.a21)10ga2a%a11oga(aa21)11oga(a.a1)1当a>1时，此方程在1,1上无解。解法2:令f(t)=t22at+1.1其中tax1,aa.f的图象的对称轴为t=a,一11一又f(1)-1210(a1),aa1 、,；f(t)的图像在,a内与直线t=a无交点。a方程T,1内无解。用平均值不等式来估计ax+ax的值，确定0<a<1时

4、方程无解，让我们节省了一半精力。值得一提的是，当a>1时，证明方程在1,1内无解的上面的两种证法都值得借鉴。1练习题：已知1oga(a1)loga(2a)-,则a的取值沱围是。2,1(答：a(1,1).你是如何应用平均值不等式确定a不可能大于1的呢？42 .找定值，巧用平均值不等式，这个定值有时是明显的，而有时则是比较隐蔽的。2,2题组二3.设0<x<1,证明a-(ab)2.x1x4 .已知x,y,zCR+，且xyz(x+y+z)=1,求证(x+y)(y+z)>2.分析与解答3.要证的不等式的左端的分母x+(1-x)=1为定值，这就启发我们找到了这样的简捷解。2.22.

5、2abab、证明：.一x(1x)()x1xx1x2,2ab2,2ab1 x 2(ax2ab (ab2)b)2.,原不等式成立。找到了分母为定值，证明就简单了吧?而题4的定值却不是一目了然的。4.xyz(x+y+z)=xz(xy+y2+yz)=1.xy+y2+yz=xz又(x+y)(y+z尸xy+y2+yz+xz.(2两式比较，发现式的两边分别加上xz,则定值出现了.21xzyyzxzxzxz这个证法有点让人激动！1-练习题：x,yC(0,1),x<y,右x,y=mmlogxlogi乂,则()933A.mi>1B.m&lC.m>1D.m<11(选D,由xy1为定值

6、，应用平均值不等式。)93应用平均值不等式时应注意验证等号是否能够取得到题组三5.已知a,b,cCR+,求证：J-a-竺二2.bc.ca.ab6ab、c为三角形之三边，S为其面积，求证：a2b2c2413s,并说明等号在什么情况下取得。分析与解答5.这个问题有点难！观察思考三个无理根式的分子他分母，分母的他为分子的和的2倍，于是想到证明：迪二c11(b-c1)abc,即12a，同理有a2a2abcabc巨12b;CE12cbcabc'ababc'三式相加等号成立的条件是J1,J14工1,这三式同时成立，即bcca.abb=a+c,c=a+b,a=b+G于是a+b+c=0,与题设

7、矛盾。ab c证完了！回头看看，感觉到平均值不等式的确用活了！6.由于要证的不等式的左式是a2+b2+c2,因此联想余统定理证明：a2+b2+c2=2(a2+b2)2abcosC,(a2b2c2)4，.3S(a2b2c2)2.3absinC2(a2b2)2ab(cosC.3sinC)2(a2b2)4absin(C-)4ab1sin(C-)0,ab,等号当且仅当c即三角形为等边三角形时取得。C一，62平均值不等式应用关键时刻关键的那一步！练习题：a、b、c为不全相等的正数，求证：bcacababc3.abc(应用平均值不等式，验证取等号时与a、b、c为不全相等的正数矛盾。)4抓住题设中的特殊信息

8、，创造条件应用平均值不等式题组四7.若a-,b1,且a+b=1求证：J2a1V2b1242.228.设a、b为正数，求证：不等式值1b成立的充要条件是对任意的x>1,不等式axxb成立。x1分析与解答7.仔细审视要证的不等式，想让它与平均值不等式挂钩，似乎还有困难，可从a+b=1上联想。证明：(2a1.2b1)242.(2a-1)(2b-1)4(2a1)(2b1)8,1.一当2a+1=2b+1且a+b=1时，即ab时取等号。2这个问题其他解法这里不再作详细介绍。三角代换确实有其特色，令2cos2,bsin(0,一),你不妨尝试一下(1,8.证明：设f(x)ax)包成立的充要条件是函数f(x)axxx1ax(a1)a(x1)(x1,a0),则不等式x1f(x)(x>1)的最小值大于b.axxb对x1(a1)2、a1)2,当且仅当a(x1)1 xn,x:时上式等号成立。；f(x)的最小值为(j£1)2.不等式ax b对于xx 1(1,)恒成立的充要条件是从条件x>1去联想和