基本初等函数的运算和意义

1、精选优质文档-倾情为你奉上必修1 第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 【2.1.2】指数函

2、数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质如果，那么加法： 减法：数乘：换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定

3、义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的 影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质 原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若

4、在原函数的图象上，则在反函数的图象上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇

5、函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点式：两根式：（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当

6、时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象与轴有两个交点（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（

7、或x2）满足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令（）当时（开口向上）最小值 若，则 若，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)最大值 若，则 ，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)最大值若，则 若，则 xy0

8、<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)最小值若，则 ，则xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)·第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. ¤知识要点：1. 若，则x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且. n次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方

9、根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；，（a0）.2. 规定正数的分数指数幂： （）； . ¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）（）； （2）.【例2】已知，求的值.【例3】化简：（1）； （2）（a0，b0）； （3）.【例4】化简与求值：（1）； （2）.第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的

10、性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.2. 以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）.【例2】求下列函数的值域：（1）； （2）【例3】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）.ABCD【例4】已知函数.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.第3

11、讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数与的图象为例，得出这以下结论：（1）函数的图象与的图象关于y轴对称.（2）指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：，. 【例2】已知. （1）讨论的奇偶性； （2）讨论的单调性.【例3】求下列函数的单调区间：（1）； （2）.第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数

12、的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1. 定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，. 4. 负数与零没有对数；， ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）；

13、 （2）； （3）；（4）； （5）； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）； （2）； （3）.【例3】求证：（1）； （2）.【例4】试推导出换底公式： （，且；，且；）.第5讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题. ¤知识要点：1. 对数的运算法则：，其中，. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换

14、底公式. 如果令b=N，则得到了对数的倒数公式. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）；（2）.【例2】若，则= . （教材P83 B组2题）【例3】 （1）方程的解x=_；（2）设是方程的两个根，则的值是 .【例4】（1）化简：；（2）设，求实数m的值.第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：

15、1. 定义：一般地，当a0且a1时，函数叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x； 函数的定义域是（0，+）.2. 由与的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为，值域为R；当时，即图象过定点；当时，在上递减，当时，在上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1），； （2），.【例2】求下列函数的定义域：（1）；（2）.【例3】已知函数的区间上总有，求实数a的取值范围.【例4】求不等式中x的取值范围.第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y=ax 与

16、对数函数y=loga x互为反函数. （a > 0, a1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2. 函数与对数函数互为反函数.3. 复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合

17、函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 【例3】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？ 【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：. 当燃料重量为吨（e为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（1）求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；（2）已知该火箭的

18、起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？第8讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数. 要求掌握，这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当时，图象过定点；在上是增函数.（2）当时，图象过定点；在上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大. 轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数的图象过点，试讨论其单调性.【例2】已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值【例3】幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A B C D 【例4】本市某区大力开展民