高中二年级数学选修3第一课时课件

1、1.2.1 排排 列列 分类加法计数原理分类加法计数原理 如果完成一如果完成一件事情有件事情有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不种不同的方法，那么完成这件事共有：同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。种不同的方法。 类类独立，不重不漏nmmmN21 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事情完成一件事情需要有需要有n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，种不同的方法，

2、做第做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步步时有时有m mn n种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。步步相依，步骤完整nmmmN21 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加某天名参加某天的一项活动，其中的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？种种 种种种种甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙分析分析：树形图：树形图：种种 种种4 3224种种种种 从、

3、这四个数字中，取出从、这四个数字中，取出3 3个数个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？ 分析：分析： 树形图：树形图：问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动名参加某天的一项活动,其其中中1名参加上午的活动名参加上午的活动,1名参名参加下午的活动加下午的活动,有哪些不同的有哪些不同的排法排法? 实质是：实质是：从从3个不同的元素个不同的元素中中, ,任取任取2 2个个, ,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列, ,有哪些不同的排有哪些不同的排法？法？ 问题问题2 从从1，2，3，4这这4个数

4、个数中，每次取出中，每次取出3个排成一个排成一个三位数，共可得到多少个三位数，共可得到多少个不同的三位数？个不同的三位数？实质是：实质是：从从4个不同的元素个不同的元素中中, 任取任取3个个,按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列,写出所有不同写出所有不同的排法的排法.思考：思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？(1)有顺序的有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等基本概念基本概念1、排列：、排列： 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (m n)个元素，个元素，按照一定

5、的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素、元素不能重复不能重复：n n个中和个中和m m个中都不能重复。个中都不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是就是与位置有关，这是判断一判断一个问题是否是排列问题的关键个问题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素元素完全相同完全相同，而且元素的，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n

6、时的排列叫时的排列叫全排列全排列。（有序性）（有序性）（互异性）（互异性）思考思考: :下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）有）有1010个车站个车站, ,共需要多少种车票？共需要多少种车票？（6 6）有）有1010个车站个车站, ,共需要多少种不同共需要多少种

7、不同 的票价的票价? ?（7 7）平面上有）平面上有5 5个点，任意三点不共线，个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？少条直线？2、排列数：、排列数：由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。不妨寻找一个计算这类问题的公式。从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排列个元素的所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元素的排个元素的排列数。用符号列数。用符号 表示。表示。mn

8、AmnA英文英文ArrangementArrangement的第一个字母的第一个字母n n为元素总数为元素总数 m m 为取出元素的个数为取出元素的个数基本概念基本概念“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数排列数”是指：从 个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示排列nm“一个排列一个排列”是指：从 个不同元素中，任取照一定的顺序排成一列，不是数；个元素按 问题中是求从个不同元素中取出个问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为元素的排列数，记为 ，已经算出，已经算出23326A344322

9、4A 23A问题问题2 2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元个元素的排列数，记为，已经算出素的排列数，记为，已经算出34A第第2位位第第1位位nn-1) 1(2nnAn2nA探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2)2)(1(3nnnAn3nA第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1) 1()2)(1(mnnnnAmnmnA(1)(,.2)(1)mnAn nnnmn mNmn这 里 ， 并 且（1）第一个因数是第一个因数是n，后面每一

10、个因数比它，后面每一个因数比它前面一个因数少前面一个因数少1（2）最后一个因数是最后一个因数是nm1（3）共有共有m个因数个因数观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式（排列数公式（1 1）：乘积式）：乘积式就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于正整就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于正整数到的连乘积，数到的连乘积，正整数到的连乘积，叫做正整数到的连乘积，叫做的阶乘的阶乘，用用!表示，表示，所以个不同元素的全排列数公式可以写成所以个不同元素的全排列数公式可以写成nnAn ！特别的：特别的：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全

11、排列，这时公式中的，即个元素的一个全排列，这时公式中的，即有有另外，我们规定另外，我们规定0!1123)2)(1( nnnAnn)()( )( 121mnnnnAmn)!(!mnn121211)()( )( mnmnmnnn排列数公式（排列数公式（2 2）：阶乘式）：阶乘式说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐这个条件要留意，往往是解方程时的隐含含 条件。条件。nm17 16 155 4mnA ，例例2 2、（、（1 1）若）若则则m ，n 例例1 1、计算：、

12、计算：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）! 534 455667 310 66 18 （2 2）若）若 (nN* ) 则用排列数符号表示为则用排列数符号表示为 。(55)(56) (68)(69)nnnn例例3 3、（、（1 1）已知）已知则则n，562n （2 2）若）若则则n,1213832nnn 例例4 4、求证：、求证：11mnmnmnmAAA（2 2）11mnmnn （1 1） 排列问题，是取出排列问题，是取出m m个元素后，还要按一个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的定的顺序排成一列，取出同样的m m个元素，只个元素，只要要，就视为完成这件事的两种，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）不同的方