固体物理第六章第三讲

1、第六章能带理论§6 .4电子的准经典运动电子在晶体周期势场中运动的 En (k) ）和本征值能带本征态（可以研究各种有关电子运动的。第六章能带理论知道了固体中电子的本征值，就可据统计物理的一般原理，研究诸如电子比热和热激发等与电子统计有关的。知道了电子的本征值和本征态，能分析光吸收和电子散射在内的各种涉及电子的量子跃迁。第六章能带理论还有一类重要的中的运动。是研究晶体中电子在外场这个外场可以是外加的电场，磁场，掺入晶体的杂质势场等。如果从量子力学出发，求解有周期势场和外加场的方程，在数学上是很复杂和的。第六章能带理论在一定条件下，可把当经典粒子。波包的群速度就是电子运动的平均速度。外

2、场引起状态的变化，通过引入有效质量和晶体动量，可表示为简单的经典力学的形式。这种把作为准经典粒子的处理叫准经典近似。物理直观，数学简便第六章能带理论6.4.1波包和电子的平均速度在晶体周期场中运动的电子的波函数，是遍及整个晶体的行为等输运更直观函数，处理电子在外场中的时，把电子作为准粒子来描述以一维晶体为例，设电子占有的空间范围为x，据测：D x× D pD x×hD k h第六章能带理论电子波矢的变化范围：（6.84）电子的粒子性可以由波矢相近的许多加来表示。的迭这些由波数不同的迭加而成的局限在一定空间的波叫波包。作为粒子的电子运动的平均速度就是波包的群速度。Dk

3、87; 2pDx第六章能带理论波包的群速度：（6.85） E = hw由速度：意可得电子的平均（6.86）v = ¶ ¶ ´ ¶ E¶ k¶ E¶k= 1 ¶Eh ¶kv= ¶wg¶k第六章能带理论推广到三维晶体的情况，电子的平均速度（6.87）将当作准经典粒子处理是有条件的由于包含的波矢范围有色散，一个的波包所Dk 应是一个很小的量。v = 1 Ñk E(k )h第六章能带理论有约布里渊区内物理意义的波矢是被限制在简因此，波包中波矢的变化范围 Dk 应远小于布里渊区的尺度。

4、即（6.88）由式（6.84），可得：D x >> a(6.89)Dk << 2pa第六章能带理论如果波包的大小比原胞的尺度大得多，晶体中电子的运动就可用波包的运动规律来描述。波包中心的位置相当于粒子的位置波包移动的速度（群速度）等于粒子处于波包中心的状态所具有的平均速度。第六章能带理论对于输运现象，只有当电子平均程远大于原胞尺度的情况下，才可以将电子看成是一个准经典粒子。（6.87）式也可由量子力学中求平均速度的方法得出，据量子力学（6.90）经过较繁琐的计算，可以得到：(6.91)_1v =Ñk E(k)h_1 _1* hh*v =p =òy k

5、Ñy kdt =òy kÑy kdt mmiim第六章能带理论晶体中的电子由于被周期势场们具有空间周期性的瞬时速度。或，它对瞬时速度按整个晶体或一个晶格周期进行平均，即得宏观可测的电子平均速度，这个平均速度就是上述的群速度。平均电子速度仅与能量E和波矢k有关对时间和空间而言，平均电子速度是一个常数第六章能带理论因此电子的平均速度将永远保持而衰减被晶体中静止的原子所散射即电子严格周期性晶体的电阻率为零。由于 hk 具有动量的量纲，我们把的 hk 称作它的准动量。电子等能面是电子时的球面 群速度v = hkm第六章能带理论一般电子运动的群速度v和是不相等的。（经典类比

6、）因此，把电子作为经典粒子一样来处不是真实意义的动量，而被叫作准理时，动量或晶体动量。知道了能带表示 En (k) ，就可由（6.87）式来求得电子的平均速度。hkhk m第六章能带理论图6.10（a）和（b）分别给出了， v(k) 在简约布里渊区中随k变化的曲线。在能带底和能带顶，取极值，则电子速度为零。而在处电子速度取极大值。此即图中的拐点C。d 2 E dk 2 = 0E(k )E(k)第六章能带理论图6.10 简约布里渊区中 E(k); v(k) 随k变化的曲线第六章能带理论假设在k = 0附近的电子，在电场E作用下被加速，波矢k会如金属下式形式变化：电子论中一样按Dk = - eEt

7、h第六章能带理论当k达到C点，电子平均速度最大；再增加超过C点，会出现负微分电导即负阻效应，利用这点可望制成高速电子器件。但由于电子要受到声子和晶格缺陷等散射，平运动时间t均不大；为防晶体被击穿，外场强度E也不能太高因此在一般晶体中电子很难被负阻区。到高速甚至第六章能带理论但如果晶格周期加大为a的若干倍，布里渊区尺度就会大为缩小，到达C点需要的k也就很小，就速到高速甚至负阻区。电子加采用人工的制作周期是天然晶体周期几十倍至上百倍的超晶格（superlattice），即可实现负微分电导。2pa第六章能带理论从（6.87）式还可看出，晶体中电子的平均速度取决于能带结构在k空间的变化率。可以做如下粗

8、略的估计：对某一个晶体，波矢的变化范围k对所有能带都是一样的，即等于布里渊区的尺度，但对能量高的外壳层能带，由于能带宽度大， 能量的变化范围E就远大于内壳层电子，所有电子在外壳层能带的速度远高于在内壳层能带的速度。第六章能带理论图6.10 简约布里渊区中 E(k); v(k) 随k变化的曲线第六章能带理论§6.4.2外场力作用下电子状态和准动量的变化晶体中的电子在外场力的作用下状态和动量会发生变化，为方便和直观，仍用准经典模型来研究此。电子被看作准经典粒子，外场则须满足波长要远大于晶格常数a，即>> a （6.92）这是将外场作用下的电子看成波包所必需的第六章能带理论外场

9、的频率应满足 hw << Eg（6.93）这是因为准经典模型只能研究电子在能带中的运动，不适用于电子的带间跃迁。外电磁场频率过高，光子的能量会使电子跃迁到上一个能带。在满足上述条件的外场力F作用下，类同于经典力学，时间内电子能量的增量为：第六章能带理论（6.94）由于电子能量E是波矢k的函数，因此在外场力作用下，是电子的波矢k的变化导致电子能量的变化，亦即（6.95）dE = dE dk = v d (hk)dtdk dtdtdE = F × vdt第六章能带理论（6.96）（6.96）式即为外力场作用下，电子状态变化的基本方程。定律类似的形式，只是以 hk 它具有和代替

10、了力学中粒子的动量故称为电子的准动量。（6.96）式也是外场力作用下电子准动量的变化式。hkd (hk) = Fdt第六章能带理论6.4.3电子的平均度和有效质量准经典模型中，电子的平均速度为(6.97)外场力导致电子状态变化，因而引起电子速度变化，则平均速度）为度（以后简称为加v = 1 Ñk E(k )h第六章能带理论（6. 98）（6.99）由于故dv = 1 ¶2E(k) ×= 1 Ñ2×FE(k) Fdth2¶k¶kh2kd (hk) = Fdtdv = d11 ¶2E(k)dk(Ñ E(k)

11、=×dtdthkh¶k¶kdt第六章能带理论上式可以写成形式：é dv ùé¶2 E¶2 E¶2 Eù xêúê dt úê¶ k 2¶ k ¶ k¶ k ¶ k úêúêxxyxz ú éF ùê dv ú1¶2 E¶2 E¶2 Eê x úêy

12、ú =êú × êF údth2 ê¶ k ¶ k¶ k 2¶ k ¶ k úyêúêyxyyz ú êëF úûê dvz úê¶2 E¶2 E¶2 Eúzêë dt úûê¶ k ¶ k¶ k ¶ k¶ k 2

13、50;ëzxzyzû第六章能带理论对比定律（6.102）可以看出和是相当的1 m1¶2 E(k)h2¶k¶kdv = 1 Fdtm第六章能带理论有效质量倒为量简称有效质量，即：（6.103）1=1¶2 E(k)m*h2¶k¶k1 m *1¶2 E(k)h2¶k¶k kx, ky, kz选在向电子的倒有效质量主轴方æö¶2 E¶2 E¶2 Eçç÷÷÷÷÷÷&

14、#247;ø¶k 2¶k ¶k¶k ¶kx¶2 Ex¶2 Eyx¶2 Ez1 ççç ¶k¶k¶k 2¶k¶kh2yxy¶2 Eyzç¶2 E¶2 Eç ¶k ¶k¶k ¶k¶k 2èzxzyz 电子的倒有效质量电子的有效质量有效质量一般不相等是一个的分量s态电子的有效质量例：R :k = (p , p , p )aa

15、aER = e - J+ 6Ji01C :k = (0, 0, p )aE C = e - J- 2Ji01G :k = (0, 0, 0)E G = e - J- 6Ji01E( v) = e - J- 2J (cos k a + cos k a + cos k a) ki01xyz点和点分别对应能带底和能带顶 带宽取决于J1大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠 重叠越多形成能带越宽R :ER = e - J + 6Ji01G :EG = e - J - 6Ji01 在能带底部 将 在附近按级数展开能带底部电子的有效质量*h2m =2J a21vh2222E(k ) = Emin + 2m

16、* (kx + ky + kz )2m* =2J a21在能带顶部 将 在附近按级数展开vh2dk+ dk+ dE(k ) = Emax+2m*222(k )xyz2h= -m*能带顶部电子的有效质量2J a21原子能级与能带的对应一个原子能级ei对应一个能带不同原子能级对应不同的能带；形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄能量较高的能级对应的能带较宽简单情况能级和能带间有简单对应如ns带、np带、nd带等但p态是三重简并；对应的能带发生相互交叠d态等一些态也有类似的能带交叠第六章能带理论晶体中电子有效质量不同于电子真实质量：例如，在能带底和能带顶E (k)各取极小值和极大值，分别具有正

17、值和负值的微商。真实质量有效质量标量 m量 m*常数波矢k的函数正数可正、可负、也可为无穷大第六章能带理论在能带底附近，有效质量为正，在能带顶附近，有效质量为负。在电子速度的拐点处，能量E ( k )的为零，有效质量则为无穷大。微商电子情况，一致度方向和外场力方向是晶体中电子，由于有效质量是，外场力下电子的致。度方向与外场力方向可以不一 有效质量的特点 紧近似下，简单立方格子s能带的有效质量 在主轴方向上可以 电子的有效质量 波矢的函数电子的有效质量能带底部æ m*00 öæ100öçx÷h2ç÷ç 0m

18、*0 ÷ =ç 010÷çy÷2a2J ç÷è 00m* ø1001zèøm* =2 / 2a2J cos k ax 1xm* =2 / 2a2J cos k ay 1zm* =2 / 2a2J cos k az 1z电子的有效质量能带顶部有效质量æ m*00 öæ 100öçx÷2ç÷ç 0m*0 ÷ = -ç 010÷çy÷2a2J ç

19、;÷è 00m* ø1001zèøm* =2 / 2a2J cos k ax 1xm* =2 / 2a2J cos k ay 1zm* =2 / 2a2J cos k az 1z电子的有效质量布里渊区侧面中心X点有效质量æ m*00 öæ -100öçx÷2ç÷ç 0m*0 ÷ =ç 010 ÷çy÷2a2J ç÷è 00m* ø1001zèøm* =2 / 2a2J cos k ax 1xm* =2 / 2a2J cos k ay 1zm* =2 / 2a2J cos k az 1z能带底部布里渊区侧面中心能带顶部一个能带底部附近电子的有效质量总是正的一个能带顶部附近电子的有效质量总是负的一个能带的顶部有一个有效质量为负的电子2m* = m* = m* = -xyz2aJ12-m* = m* = m* =xyz2aJ12m* = m* = m* =xyz2aJ1第六章能带理论有效质量| m* |反比于交叠J1，能带宽度又正比于J1。一般宽能带中电子的有效质量比窄能带中电子的有效质量