高三数学复习专题-函数的单调性

1、函数的单调性从近两年高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数最值问题是高考的热点，各种类型都有，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性或最值的灵活确定与简单应用，主观题注重综合考查函数性质，以及数学思想方法一、要点精讲1单调性对于给定区间上的函数及属于这个区间的任意两个自变量，当时，如果都有（），那么就说在给定区间上是增函数（减函数）；这个区间就叫做这个函数的单调递增（减）区间。2. 判断函数单调性的方法 定义法 在公共定义域内： 增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 利用复合函数的单调性：同增异减 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶

2、函数在其对称区间上的单调性相反； 互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性；3求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等4、函数的最值：二、双基达标1下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是()Aytan x By Cy2x Dyx24x12若函数在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是() Aa3 Ba3 Ca3 Da3 解：x对1a，由在(，4上是减函数，故1a4. a3. 3函数y的递增区间是()A(，2) B5，2 C2,1 D1，)解：定义域为x|5x1函数的递增区间为5，2 4若f(x)为R上的减函数，则满足f(1a)<f(2a2)的实数a的

3、取值范围是_解：f(x)在R为减函数，1a>2a2，即2a2a1<0. 1<a<.5若f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_解：f(x)a在(2，)是增函数，12a<0，即a>.6、 函数的递增区间为； 函数的递减区间为三典例解析热点一：函数的单调性的定义1. ，是定义域内的两个值，且，有，则是（A）增函数 （B）减函数 （C）常数函数 （D）增减性不定 2、有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（

4、b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.3、下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(，0)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的函数是()Af(x)x1 Bf(x)x21 Cf(x)2x Df(x)l

5、n(x)解：f(x)x1为减函数，f(x)x21在(，1)上为减函数；f(x)2x为增函数，f(x)ln(x)为减函数，由条件知f(x)在(，0)上为增函数，故排除A、B、D选C.热点二：判断证明函数的单调性3(2010北京)给定函数，ylog(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A B C D解：易知yx在(0,1)递增，故排除A、D选项；又ylog(x1)的图象是由ylogx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与ylogx相同为递减的，所以符合题意，故选B.4、判断并证明函数的单调性当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围解：(1)

6、定义域为x|1<x<1(2)因为当a>1时，f(x)在定义域x|1<x<1内是增函数，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范围是x|0<x<15、判断函数在区间上的单调性解法一设0<x1<x2，则f(x1)f(x2)ex1ex1ex2ex2(ex2ex1)(1)，0<x1<x2，ex2ex1>0，又e>1，x1x2>0，ex1x2>1，故1<0，f(x1)f(x2)<0，由单调函数的定义知函数f(x)在区间(0，)上为增函数解法二对f

7、(x)exex求导得f(x)exex， x>0 ex>1,0<ex<1f(x)>0在(0，)恒成立，故f(x)在(0，)上为增函数6、论函数f（x）=（a）在（2，+）上的单调性.解：设x1、x2为区间（2，+）上的任意两个值，且x1x2，则f（x1）f（x2）=.x1（2，+），x2（2，+）且x1x2， x2x10，x1+20，x2+20.当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为减函数；当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为增函数.法二：分离分式法7、已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a、b1，1，a+b0时，有0.

8、判断函数f（x）在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x1、x21，1，且x1x2，则x21，1.又f（x）是奇函数，于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=·（x1x2）.据已知0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函数.8已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1，x2满足f(x1x2)f(x1)f(x2)2，当x>0时，有f(x)>2.求证：f(x)在(，)上是增函数 证明：设x1<x2，则xx2x1>0， 令x2xx1. 则f(x2)f(x1)f(xx1)f(x1) f(x)f(

9、x1)2f(x1) f(x)2. x>0，f(x)>2. f(x)2>0，即f(x2)f(x1)>0. f(x)在(，)上是增函数热点二：求函数的单调区间9、求下列函数的单调区间(1) yx22|x|3；(2) yx(x>0)解：(1)yx22|x|3，即y.由图知，单调递增区间是(，1)和0,1递减区间是(1,0)和(1，)(2) y1， 令y0，即：(x3)(x3)0 得：x3或x3(舍去)，单调递增区间为3，) 令y<0即(x3)(x3)<0，又x>0，得：0<x<3，单调递减区间为(0,3)10定义在R上的函数f(x)是偶函数

10、，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)() A在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数 B在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数 C在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数 D在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数解：f(x)f(2x)，f(x1)f(1x)x1为函数f(x)的一条对称轴又f(x2)f2(x2)f(x)f(x)，2是函数f(x)的一个周期根据已知条件画出函数简图的一部分，如右：由图象可以看出，在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数题型四：函数的单调性的应用11.（09辽宁）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值

11、范围是（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性 得|2x1| 解得x12、已知是定义在R上的偶函数，且在（0，+）上是减函数，如果，且则有（ ）（A） （B）（C） （D）13、已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为 （ ）（A） （B） （C） （D）14. 函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是A.（0，1） B.（0，2）C.（1，2） D.（2，+）解：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0

12、，1上应恒大于零.1a2.15已知函数，若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A(1,2) B(2,3) C(2,3 D(2，)解：（数形结合）f(x)在R上单调增，2<a3，故选C.16、已知函数f(x)若f(x0)2，则x0的取值范围是_解：当x00时，f(x0)2化为()x02，即：()x0()1，x01，当x00时，f(x0)2化为log2(x02)2，即log2(x02)log24，x024，x02，x0的取值范围是(，12，)法二：数形结合17(09天津)已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,

13、1) D(，2)(1，)解：x0时，f(x)x24x(x2)24单调递增，且f(x)0；当x<0时，f(x)4xx2(x2)24单调递增，且f(x)<0，f(x)在R上单调递增，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，2<a<1.18. 若a0，1，则 ( )Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0解：由得由得，所以选D项。19.定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是A B. C. D 解： 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数

14、在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。20函数f(x)在(，3)上是减函数，则a的取值范围是_解：f(x)a在(，3)上是减函数，3a1<0，a<.21. 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()Af<f<f Bf<f<f Cf<f<f Df<f<f解：f(x)的图象关于直线x1对称，x1时，

15、f(x)3x1为增函数，故当x<1时，f(x)为减函数，且ffff，<<，f>f>f，即f<f<f，故选B.22已知函数f(x)x2ax1在区间0,3上有最小值2，则实数a的值为 _解：当0，即a0时，函数f(x)在0,3上为增函数，此时，f(x)minf(0)1，不符合题意，舍去；当3，即a6时，函数f(x)在0,3上为减函数，此时，f(x)minf(3)2，可得a，这与a6矛盾；当0<<3，即6<a<0时，f(x)minf()2，可解得a2，符合题意23函数f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值

16、范围是()A(，1) B(，1 C(， D(，)解：f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数， f(x)ln(x1)mx在区间0,1上恒为增函数，f (x)m0在0,1上恒成立，m()min.24. 设函数f（x）=loga|x|在（，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是A. f（a+1）=f（2） B. f（a+1）f（2） C. f（a+1）f（2）D.不能确定解：由f（x）=且f（x）在（，0）上单调递增，易得0a1.1a+12.又f（x）是偶函数，f（x）在（0，+）上单调递减.f（a+1）f（2）.25、已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y

17、)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，f(1).(1) 求证：f(x)在R上是减函数； (2) 求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)解法一函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)， 令xy0，得f(0)0. 再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1>x2，则x1x2>0， f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2) 又x>0时，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. 解法二设x1>x2，则f(x1)f(x2) f(x1x2x

18、2)f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2) 又x>0时，f(x)<0. 而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为减函数. (2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数， f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3) 而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 26、本例条件若改为“定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2)且当x>1时f(x)<0”，试判断f(x)单调性，并当f(3)1时解不等式f(|x|)<2.解：任取x1，x2(0，)且x1>x2则>