双曲线的定义及标准方程（课堂PPT）

1、1双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义及其标准方程21、椭圆是如何定义的、椭圆是如何定义的?2a与与2c的大小关的大小关 系系焦点在焦点在x轴上轴上: 焦点在焦点在y轴上轴上:1byax22221bxay2222(ab0)时轨迹不存在时是线段时是椭圆caFFcaca22222221222cab2.椭圆的标准方程？椭圆的标准方程？2a ( 2a|F1F2|0)平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数 的点的轨迹的点的轨迹3思考思考 若把椭圆定义中的与两定点的若把椭圆定义中的与两定点的“距离距离的和的和”改成改成“距离的差距离的差”,那么点的轨迹那么点的轨迹会发生

2、什么变化？会发生什么变化？能否形成曲线？若能，能否形成曲线？若能，它的方程又怎样呢它的方程又怎样呢 ? 411取一条拉链；取一条拉链；22如图把它固定在板如图把它固定在板上的两点上的两点F F1 1、F F2 2；3 3 拉动拉链（拉动拉链（M M）。）。思考思考：拉链运动的轨迹：拉链运动的轨迹是什么？是什么？数学实验数学实验yanshi5678 新宝马总部（墨尼黑）宝马总部（墨尼黑）9双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a 2a 点点的轨迹叫做双曲线。的轨迹叫做双曲线。)(21FF小于 F1,F

3、2 -焦点焦点|MF|MF1 1| - |MF| - |MF2 2| = 2a| = 2a|F|F1 1F F2 2| -| -焦距焦距=2c=2c.F2.F1Mo10F1F2M2、| | | | =2a1MF2MF1、| | | | =2a2MF1MF (2a | | )21FF(2a0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为常数为2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴，线段线段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角坐标系坐标系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1|

4、 - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简. .F1F2xOy12aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax222222bayaxb13双曲线的标准方程标准方程标准方程)0b, 0a( 1byax2222对换对换x,y可得：可得：其中：其中：c2=a2+b2)0b, 0a( 1bxay2222焦点在焦点在y轴上轴上yxF2F1Mo焦点在焦点在x轴上轴上yxF1F2Mo正定轴14 请判断下列方程哪些表示双曲线？并说

5、出焦点请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点位置和的位置和的a,b,c.22(1)132xy22(3)169144xy22(2)144xy 2222(5)1(0)1xymmm22(4)431xy 22191 6xy)0b, 0a( 1byax2222)0b, 0a( 1bxay222215椭圆与双曲线比较 )0b, 0a( 1byax2222焦点在焦点在x轴上轴上)0b, 0a( 1bxay2222焦点在焦点在y轴上轴上c2=a2+b2 ca0 a0 b0|MF1|-|MF2|=2a定义：定义：a,b,c关系关系方程方程|MF1|+|MF2|=2a椭圆椭圆双曲线双曲线 a2=b2+c2ac0

6、 ab0)0ba( 1byax2222)0ba( 1bxay2222大定轴正定轴16双曲线及标准方程例例1：已知两定点：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距求到这两点的距离之差的绝对值为离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。 解：解：810，由定义，所求的轨迹是，由定义，所求的轨迹是焦点在焦点在x轴轴双曲线，双曲线， C=5,a=4 , b2=c2-a2=52-42=32所以所求方程为所以所求方程为：1342222yx)0, 0(12222 babyax17双曲线及标准方程例例1：已知两定点：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距求到这两点的距

7、离之差的绝对值为离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。变式一：若两定点改为为变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ，则轨迹如何？，则轨迹如何？变式二：若两定点改为为变式二：若两定点改为为|F1F2|=10，则轨迹方程如何？，则轨迹方程如何？1342222xy1342222yx1342222yx18练习练习1：求适合下列条件的双曲线标准方程：求适合下列条件的双曲线标准方程(1)a=4,b=5,焦点在焦点在y轴上。轴上。(2)a=3,c=515x4y2222143:2222yx方程为14x3y2222或或课堂练习19双曲线及标准方程课堂练习(3)与双曲线与双曲线 有相

8、同焦距，有相同焦距，双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离之差的绝的距离之差的绝对值为对值为4。(4)与双曲线与双曲线 的焦点相同，的焦点相同，b=3.112422xy或1342222xy131322yx112422yx302322 xy20练习练习2：已知双曲线的焦点在：已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两轴上，并且双曲线上两点点P1、P2的坐标分别为（的坐标分别为（3 , - 4 ），（），（ ，5），求），求双曲线的标准方程双曲线的标准方程249分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以可设所求的双分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以可设所求的双曲线的标准方程为曲线的标准方程为因为

9、点因为点P1、P2在双曲线上，所以把这两点的坐标代入在双曲线上，所以把这两点的坐标代入方程，用待定系数法求解。方程，用待定系数法求解。 )0, 0( 12222babxay21例例2：k 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲线是所表示的曲线是 （ ) 解：原方程化为：解：原方程化为：A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线 k1 k1 k k221 0 1+k 01 0 1+k 0方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴

10、上的双曲线。轴上的双曲线。故故 选（选（B）111222kkyx22方程方程 表示（表示（ ）A椭圆椭圆 B圆圆 C双曲线双曲线 D椭圆或圆或双曲线椭圆或圆或双曲线22193xykk396kk当且时，方程表示椭圆6k当 时，方程表示圆39kk当或时，方程表示双曲线D221xymn变式一：23形如形如 的方程所表示的曲线形状由的方程所表示的曲线形状由m、n确定。确定。221xymn若若m=n0，方程表示圆；，方程表示圆；若若m0，n0且且 ，方程表示椭圆；，方程表示椭圆； mn若若mn0，方程表示双曲线。，方程表示双曲线。变式二：24212122FFaaMFMFm0012222babyax，00

11、12222babxay，01，cF 02，cFcF，01cF，0200222bcacbac，cba ,双曲线定义双曲线定义图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标 关系关系21FF、a( 为定点， 为常数)小结25v练习练习1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, 则则|PF2|=_354116922yx4或或16| |PF1| - |PF2| | =6课堂练习26 2已知两点已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点，动点P到到F1和和P到到F2的距离的差等于的距离的差等于8，则点，则点P的轨迹是什么？的轨迹是什么？已知两点已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点，动点P到到F1、F2距距离的差的绝对值等于离的差的绝对值等于10，求点，求点P的轨迹的轨迹如果动点如果动点P到到F1、F2距离的差的绝对值等于距离的差的绝对值等于12，点，点P的轨