大一下高数下册知识点

1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数(一)向量线性运算定理1：设向量a?0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数入，使b入a1、线性运算：加减法、数乘；2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、利用坐标做向量的运算：设a(a*,ay,az),b(bx，by,bz)；则ab(a*bx，ayby,azbz),a(ax,ay,az)；4、向量的模、方向角、投影：1)向量的模：r&y2z2；2)两点间的距离公式：AB<(X2Xi)2(y2yi)2(z2zi)23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,xyz4)方向余弦：cos7,coscos72

2、22coscoscos15)投影：Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角。(二)数量积，向量积1、数量积：abIaIbcos2)aabaxbxaybyazbz2、向量积：cab大小：|a|bsin，方向：a,b,c符合右手规则1) aa02)a/bab01 jkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z)02、旋转曲面：yoz面上曲线C:f(y,z)0,22绕y轴旋转一周：f(y,Yxz)022绕z轴旋转一周：f(Vxy,z)03、柱面：F(x,y)0的柱面F(x,y)0表示母线平行于z轴，准线为z04、 二次曲面2x1）椭

3、圆锥面：T2a2y_b22x2）椭球面：Fa2yb22z-2c2x旋转椭球面：占万2y2a2z一2c3)单叶双曲面:2x2a2yb24)双叶双曲面:2x2a2yb25)椭圆抛物面:2x-2a2yb26)双曲抛物面（马鞍面）2x-2a7)椭圆柱面:2x2a2yb28)双曲柱面:9)抛物柱面:2x2a2x2yb2ay（四）空间曲线及其方程1、F(x,y,z)般方程：小,、G(x,y,z)2、参数方程:xx(t)xacostyy(t),如螺旋线:zz(t)yasintzbt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)G(x, y, z)00 ,消去z ,得到曲线在面xoy上的投影H (x, y) 0

4、z 0(五)平面及其方程1、点法式方程：A(xx°)B(yy。)C(zz°)0法向量：n(A,B,C),过点(x°,y°,z°)2、一般式方程：AxByCzD0截距式方程:3、两平面的夹角:ni(ABC),n2A&C?),cosA1A2B1B2C1c2AA2B1B2C1C201/2A2B2C20的距离:4、点P°(x°,y°,z°)到平面AxByCzDAx°By°Cz°D|(六)空间直线及其方程A1xB1yC1zD11、般式方程:A2X B2y C2Z D202、对称

5、式（点向式）方程:xX0y V0z Z0m n p方向向量：s（m,n,p）,过点（x。，y。，z。）xx0mt3、参数式方程：yy0ntzZ0pt4、两直线的夹角:Si(mi,ni,Pi),s(m2,n2,P2)，cos1mlm2n1n2p1P2222222mi1np1加2叫p2L1L2m1m2n1n2p1P20L1 / L2mt n1 0m2n2 p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sinAmBnCp,;'A2B2C2m2n2p2L/AmBnCp0ABCLmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集

6、，区域,闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：（1）定义：设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映射f:DfR为定义在D上的n元函数。当nA2时，称为多元函数。记为U=f(Xl,X2,，Xn),(Xl,X2,，Xn)DDo3、二次函数的几何意义：由点集D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。4、极限：(1)定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数e，总存在正数S，使得当点p(x,y)DAU(p0,S)时，都有If(p)-AI=If(x,y)-AI<e成立，那

7、么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限,记作limf(x,y)A(x,y)(X0,y0)定义3设"元函数/(P)的定义域为点集/%是其聚点且产。£。，如果limf(P)=户T产4则称元函数/(P)在点匕处连续.设尸。是函数/(尸)的定义域的聚点，如果/()在点尸0处不连续，则称/是函数/(P)的多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：(1)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、偏导数：设有二元函数z=f(x,

8、y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在X0有增量x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增量)如果与Ax/y之比当x0/y-0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作fx(xo，y。)limf(x0x，y0)f(x0，y0)x0xfy(xo，y。)limf(xo，yoy)f(xo，yo)y0y7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和fyx(x,y)在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。fff8、方向导数：T-cos-cos其中，为l的方向角。xy9、全微分：如果函数

9、z=f(x,y)在(x,y)处的全增量z=f(xAx,yy)-f(x,y)可以表示为z=AAx+Bky+o(p),其中A、B不依赖于x,Ay,仅与x,y有关，当P0,此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，Azx+By称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为,zzdzdx-dyxy(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数连续微分法2）复合函数求导：链式法则Z、若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y）,则VyzzuZVzxuxvx'y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数zf

10、（x,y）的极值fx解方程组 ff y0求出所有驻点，对于每一个驻点（汽40）,令Afxx（xo,y。），Bfxy（xo,y。），Cfyy（xo,y。），若ACB20,A0,函数有极小值，若ACB20,A0,函数有极大值；若ACB20,函数没有极值；若ACB20,不定。2）条件极值：求函数zf（x,y）在条件（x,y）0下的极值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数Lx0解方程组Ly0(x,y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx曲线:yy(t),则上一点M(Xo,yo,Zo)(对应参数为t。)处的zZ(t)xxoyy。zzo切线方程为：7(仃后而法平面方程为：x(to

11、)(xx。)y(to)(yy。)z(t°)(zz。)o2)曲面的切平面与法线曲面：F(x,y,z)O,则上一点M(x°,y°,z。)处的切平面方程为：Fx(xo,yo,zo)(xx。)Fy(xo,yo,zo)(yy。)Fz(xo,yo,zo)(zzo)oxx。yy。zz。法线方程为：匚/匚/_匚/_Fx(xo,yo,zo)Fy(xo,yo,zo)Fz(xo,yo,zo)第十章重积分(一)二重积分n1、定义：f(x，y)dlimof(k,k)kDk12、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1)直角坐标/、i(x)y(x,y)2(x) bf (x,

12、y)dxdybdxa2(x)i(x)f (x,y)dyax(x, y)i(y)x 2(y)y df (x, y)dxdyDdcdy2(y)i(y)f (x,y)dx2)极坐标i(2()2()f(x,y)dxdydf(cos,sin)di()(二)三重积分n1、定义：f(x,y,z)dvlim0f(k,k,k)Vk0k12、性质：3、计算:1) 直角坐标z2(x,y)f(x,y,z)dvdxdyf(x,y,z)dz-一“先一后二”Dzi(x,y)bf(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy"先二后aDZ2) 柱面坐标xcosf (x, y, z)d v f ( cos , sin

13、 , z) d d dzysinzz3) 球面坐标xrsincosyrsinsinzrcosf(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd（三）应用曲面S:zf(x,y),(x,y)D的面积:dJ1(i)2(-y)2dxdy第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn1n部分和：Snuku1u2u3Un,k1正项级数：Un,Un0n1交错级数：（1）nUn,Un0n12）级数收敛：若limSnS存在，则称级数Un收敛，否则称级数Un发散nn1n13）绝对收敛：Un收敛，则Un绝对收敛;条件收敛：Un收敛，而Un发散，则Un

14、条件收敛。n1n1n1定理：若级数Un|绝对收敛，则Un必定收敛。n1n12、性质：1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；2）级数an与bn分别收敛于和s与n，则（anbn）收敛且，其和为n1n1n1s+（T3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5）必要条件：级数Un收敛即limun0.nn13、审敛法正项级数：Un,Un0n11）定义：limSnS存在；n2） Un收敛Sn有界；n13）比较审敛法：Un,Vn为正项级数，且UnVn（n1,2,3,）右 Vn收敛,n 1n1n1则Un收敛；若U

15、n发散，则Vn发散.n1n1n14）比较法的推论：Un,Vn为正项级数，若存在正整数m,当nm时,n1n1UnkVn,而Vn收敛，则Un收敛；若存在正整数m,当nm时，n 1n 1Unk4,而Vn发散，则Un发散.n1n1做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列，p级数1/np）;比较大小;是否收敛5）比较法的极限形式：设Un,Vn为正项级数,n1n1（1）若则若则Un Vn Un vnl (0 l0 或 lim un一 n Vn而 Vn收敛，则 Un收敛;，而 Vn发散，则 Un发散.6）比值法：Un为正项级数，设则51,则当l1时，级数Un收n1Unn1敛；则当l1时，级数Un发散；当l1时，级数Un可能收敛也可能发散.n1n17）根值法：Un为正项级数，设lim疯l,则当l1时，级数Un收敛;n1nn1则当l1时，级数Un发散；当l1时，级数Un可能收敛也可能发散.n1n18）极限审敛法：Un为正项级数，若limnUn。或limnUn,则级n1nn数Un发散；若存在p1,使得limnPU