北师大版 九年级数学上图形的相似 相似三角形的性质与判定讲义 无答案

1、LECTURE 1 相似三角形的性质与判定PART 1 成比例线段 一、比例的性质（以下比例关系均在其有意义的前提下成立）1. 比例的基本性质： a = c Û ad = bcbd2. 等比定理： a = c = ¼ = m (b + d + ¼ + n ¹ 0) Û a + c + ¼ + m = abdn二、成比例线段概念b + d + ¼ + nb1两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条 线段的比。2成比例线段：如果线段 a 和 b 的比等于线段 c 和 d 的比，那么线段 a，b，c，ad

2、 叫做成比例线段，记作b= c 或 a：bc：dd3比例中项：若 a = b ，则称 b 是 a，c 的比例中项.bc4黄金分割点：如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC）。若 AC = BC ，则ABAC称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，即 AC =5 - 1 AB2注意：线段的黄金分割点有两个.三、平行线分线段成比例定理1定理 三条平行线截两条直线，截得的对应线段的比相等如图，若 AB/CD/EF，则 AC = BD , CE= DF , AC = BD , CE = DF .CEDF ACB

3、D AEBFAEBF2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段称比 例。 如图，当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A”字型，“8”字型，则有BC / EF ÛAE = AF , AE = AF , BE = CF .EBFC ABFC ABAC例题精讲例题 1-1（1）如果 4x=5y（ y ¹ 0 ），那么下列比例式成立的是（）A. x = yB.x = 5C. x = 4D. x = y（2）345x + y + zace例题 1-2 已知= =bdf33a - 2c + e= .则= .53b - 2d + fa + b -

4、c a - b + c - a + b + c例题 1-3 已知= = = k .则 k = .cba例 1-4（1）下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=1，b= 2 ，c= 6 ，d= 23C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=2，b= 5 ，c= 2 3 ，d=15（2）已知线段 a=4，b=8，则线段 a，b 的比例中项为（）A. ± 32B.32C. ± 4 2D. 4 2（3）若线段 AB=2，且点 C 是 AB 的黄金分割点，则 BC 等于（）A. 5 - 1B. 3 - 55 - 1C.2D. 5 - 1 或

5、3 - 5例题 1-5 （1）解方程x 2 + 3x + 2x 2 - 3x + 22 x 2 + 3x + 12 x 2 - 3x + 1（2）解方程3x 2 + 4 x - 13x 2 - 4 x - 1x 2 + 4 x + 1x 2 - 4 x + 1知识模型 1相似三角形基础和经典模型 知识梳理 相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.相似三角形的性质：示例剖析（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比。（2）相似三角形的周长之比等于相似 比

6、。（3）相似三角形的面积比等于相似比 的平方。若 DABC DDEF ， B = BC = AC = kADEEFDF则（ k 为相似比）CDABC = k , SDABC = k 2CDDEFSDDEF相似三角形的判定：注（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相 似.任何两个等边三角形都相似；任何顶角相等的两个等腰三角形都 相似；三角形的中位线截三角形得到的小 三角形与原三角形相似；一个锐角相等的两个直角三角形相 似.例题精讲例题 2-1 如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中

7、DABC相似的是()例题 2-2 如图，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，求留下矩形的面积例题 2-3 如图，在ABC 中， ÐC = 90o ，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P位于边 AC 上,使得 DADP 与 DABC 相似，则线段 AP 的长为 。例题 2-4 已知平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、G，若 BE=5，EF=2，求 FG 的长例题 2-5 如图， DABC 是等边三角形，D、E 是直线 BC 上两点，若 BC

8、 2 = BD × CE 。（1）求证： DADB DEAC ；（2）求 ÐDAE 的度数.例题 2-6（1）如图，在 DABC 中， EF / BC, AE = 1 ， S8 ，则 SA、9B、10C、12D、13EB2四边形BCFEDABC例题 2-7 如图，在四边形 ABCD中，AC与 BD相交于点 O，直线 l 平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD及 AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和 P，求证：PM PN=PR PS.例题 2-8 如图,梯形 ABCD中,ADBC，点 E是边 AD的中点，连接 BE交 AC于 F，BE的延长 线交 CD的延长线于 G

9、.GE(1)求证：GB= AE ；BC(2)若 GE=2，BF=3，求线段 EF的长。例题 2-9 如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15m，分别自两杆上高出地 面 4m、6m 的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D;B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆， 那么钢丝绳 AD 与 BC 交点 P 离地面的高度为 m例题 2-10.在 DABC 中，DE/FG/BC， GI / EF / AB 若 DADE ， DEFG ， DGIC 的面积 分别为 20cm2，45cm2，80cm2，求 DABC 的面积。例题 2-11 如图，在ABC的内部选取一点 P,过 P点作 3 条

10、分别与ABC的三边平行的直线,这样所得的 3 个三角形 t1、t2、t3 的面积分别为 4、9 和 49，求ABC的面积。例题 2-12 如图，过ABC 的顶点 C 任作一直线，与边 AB 及中线 AD 分别交于 F 和 E. 求证：AE：ED=2AF：FB.例题 2-13 如图，ABC 中，点 D、E 在 BC 上，且 BD=DE=EC，又 AB 上的中线 CF 分别 交 AD、AE 于 G、H，求 FG：GH：HC.例题 2-14 如图，有一块锐角三角形材料，边 BC = 120mm ，高 AD = 80mm ，要把它加工 成正方形零件，使其一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、BC

11、 上，则这个正方形零件 的边长为（ ）A、 40mmB、 45mmC、 48mmD、 60mm例题 2-15 如图,ABC的面积是 12，BC=6，点 E、I分别在边 AB、AC上,在 BC边上依次做了 n个全等的小正方形 DEFG、GFMN、KHIJ,则每个小正方形的边长为()12A、B、111212C、2n - 3512D、2n + 3例题 2-16 如图,在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB中,作内接正方形 A1B1C1D1;在等腰直角 三角形OA1B1 中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2 中,作内接正方形A3B3C3D3;依次作下去,则第 n个正方形 An

12、BnCnDn的边长是()11A、B、3n -13n1C、3n +11D、3n + 2例题 2-17 如图，在 DABC 中，D 是 BC 边上的点（不与点 B、C 重合），连接 AD。问题引入：（1）如图，当点 D 是 BC 边上的中点时， SDABD : SDABC = ；当点 D 是 BC 边上任 意一点时， SDABD : SDABC = （用图中已有线段表示）。探索研究：（2）如图，在 DABC 中，O 点是线段 AD 上一点（不与点 A、D 重合），连接 BO、CO， 试猜想 SDBOC 与 SDABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由。拓展应用：（3）如图，O 是线段 A

13、D 上一点（不与点 A、D 重合），连接 BO 并延长交 AC 于点 F，OD连接 CO 并延长交 AB 于点 E，试猜想AD+ OE CE+ OF BF的值，并说明理由。知识模块 2双垂直模型知识梳理 双垂直模型：在 DABC 中， ÐBAC = 90o ， AD BC 于 D，则在这个图形中，我们 可以得到 3 个直角三角形，这 3 个直角三角形两两相似，即DABD DCAD DCBA 进而可以得到 3 组比例关系，这 3 组比例关系BD中，有 3 个比例式比较特殊：（1）ADCA = CD ，= AD ；（2） AB CDCB= BD ；（3）BACBCA这 3 个比例式转化为

14、乘积式为：（1） AD 2 = BD × CD ；（2）AB 2 = BD × BC ；（3） AC 2 = CD × CB ，这就是著名的“射影定理”.例题 3-1 （1）如图， RtDABC 中，ÐACB = 90o ，CD AB 于点 D，下列结论中错误的 是（）A、AC 2 = AD × ABB、CD 2 = CA × CBC、CD 2 = AD × DBD、BC 2 = BD × BA（2）如图，CD 是 RtDABC 斜边 AB 上的高，如果两条直角边 AC:BC4：3，则AD:BD= .例题 3-2如

15、图 1， DABC 中， ÐACB = 90o ， CD AB ，垂足为 D。（1）求证： DACD DCBD .（2）如图 2，延长 DC 至点 G，连接 BG，过点 A 作 AF BG ，垂足为 F，AF 交 CD 于点 E，求证： CD 2 = DE × DG .例题 3-3 已知：在ABC 中，A=60°，BD，CE 分别是 AC、AB 边上的高（1）求证：ABDACE；（2）ADEABC；（3）求证：BC = 2DE例题 3-4 如图.已知锐角 DABC ，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高， DABC 和 DBDE 的面积分别是 27 和 3，

16、DE = 6 2 .求点 B 到直线 AC 的距离.例题 3-5 在ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，B 的平分线分别与 AD、AC 相交于点 E、F.求证 BE · EF = 2 AE · DE知识模块 3 三垂直模型 知识梳理1、三垂直模型： 顾名思义，三垂直模型就是一类有“三个垂直”的相似模型，如图 1：其中， AB BD, ED BD, AC EC ，则 DABC DCDE , AB = BC = AC 。CDDECE特别地，对于图 1，当 C 是 BD 中点时，有 DABC DCDE DACE 。2、一线三等角模型：更一般地，当 ÐABC =

17、ÐCDE = ÐACE ，我们称之为一线三等角模型.则DABC DCDE , AB = BC = AC .特别地，当 C 是 BD 中点时，有 DABC DCDE DACE .CDDECE例题 4-1（1）如图，在边长为 9 的正方形ABCD 中，F 为 AB 上一点，连接CF。过点F 作 EF CF ， 交 AD 于点 E，若 AF=3，则 AE 等于（）A、1B、1.5C、2D、2.5（2）如图，正方形 ABCD 的边长为 10，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的顶点 E、F、G、H 分别落在边 AD、AB、BC、CD 上，则 DE 的长为 .例题 4-2正方形 A

18、BCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运 动时，保持 AM 和 MN 垂直。（1）证明： RtDABM RtDMCN .（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积。（3）当 M 点运动到什么位置时 RtDABM RtDAMN ，求 x 的值。例题 4-3 如图，RtDABC 斜边 AB 上的高为 CD，若 BC5，AC=12，分别求出 AC , CD , AD的值。AB AC DB例题 4-4 如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，

19、ÐB = 90o ，E 为 BC 上一点，且 AE ED ，（1）求证： DABE DECD .（2）若 AB=3，BE4，DC8，求 DE 的长。例题 4-5 如图，矩形 ABCD 中，ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC、BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边 AB、 BC 所在的直线相交，交点分别为 E、FPE（1）当 PEAB、PFBC 时，如图 1，则PF的值为 ；PE（2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转（0°60°）角，如图 2，求PF的值；PE（3）在（2）的基础上继续旋

20、转，当 60°90°，且使 AP：PC=1：2 时，如图 3，PF的值是否变化？证明你的结论例题 4-6 在 RtABC 中，C=90°，D 为 AB 边上一点，点 M、N 分别在 BC、AC 边上， 且 DMDN，作 MFAB 于点 F，NEAB 于点 E.（1）特殊验证：如图 1，若 AC=BC，且 D 为 AB 的中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若 ACBC.如图 2，若 D 为 AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；如图 3，若 BD=kAD，条件中“点 M 在 BC 边上”改为“点 M 在线段 CB 的延长线上

21、”，其 它条件不变，请探究 AE 与 DF 的数量关系并加以证明。内角平分线定理例题 4-7 在ABC 中，C=90°。已知 CD 是C 平分线，且 CA=3，CB=4，求 CD 长.例题 4-8 如图，若 PAPB，APB2ACB，AC 与 PB 交于点 D，且 PB4，PD3， 则 AD·DC 的值为多少？Al例 4-9 如图，l 是ABC 三个内角平分线的交点，Al 交对边于 D.求证：lD= AB + AC .BC知识模块 1旋转相似 知识梳理相似三角形综合旋转和相似是初中数学图形变换的重量内容，两个知识点看似毫无关联，但它 们会时出现在数学综合试题中，而且我们能发

22、现在旋转的“变”中蕴涵了相似 的不变规律。一、“旋转型”相似三角形常用模型：如图， ÐBAC = ÐDAE, ÐABC = ÐADE ，则： DABC DADE, AB = AC = BC ； DABD DACE , AB = AD = BD .ADAEDEACAECE二、“旋转型”相似三角形变式模型：例题 5-1在 DABC 中，AC=BC，在 DAED 中，ADED，点 D、E 分别在 CA、AB 上。（1）如图，若 ÐACB = ÐADE = 90o ，则 CD 与 BE 的数量关系是 。（2）若 ÐACB = 

23、08;ADE = 120o ，将 DAED 绕点 A 旋转至如图所示的位置，则 CD 与 BE的数量关系是 。（3）若 ÐACB = ÐADE = 2a(0 < a < 90o ) ，将 DAED 绕点 A 旋转至如图所示的位置， 探究线段 CD 与 BE 的数量关系，并加以证明（用含a的式子表示）。例题 5-2将 DABC 绕点 A 按逆时针方向旋转q度，并使各边长变为原来的 n 倍，得 DAB¢C¢ ， 即如图， ÐBAB¢ = q, AB¢ = B¢C¢ = AC¢ = n ，

24、我们将这种变换记为 q, n .ABBCAC（1）如图，对 DABC 作变换 60o ,3 得 DAB¢C¢ ，则 S: SDABC= .直线BC 与 B¢C¢ 直线所夹的锐角为 度.（2）如图，DABC 中，ÐBAC = 30o , ÐACB = 90o ，对 DABC 作变换 q, n ，得 DAB¢C¢ ， 使点 B、C、C¢ 在同一直线上，且四边 ABB¢C¢ 形为矩形，则q为 度，n = 。（3）如图， DABC 中， AB = AC, ÐBAC = 36o , B

25、C = 1 ，对 DABC 作变换q, n 得DAB¢C¢ ，使点 B、C、B¢ 在同一直线上，且四边形 ABB¢C¢ 为平行四边形，求 n 的值（ n精确到 1）.动点问题例题 5-3 如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，B=45°动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发 沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（1）求 BC 的长；（2）当 MN AB 时，求 t 的值；（3）试探究：

26、t 为何值时，MNC 为等腰三角形例题 5-4 如图,RtABC中,ACB= 90o ,AC=6cm,BC=8cm,动点 P从点 B出发,在 BA边上以每 秒 5cm的速度向点 A匀速运动,同时动点 Q从点 C出发,在 CB边上以每秒 4cm的速度向点 B匀速运动,运动时间为 t秒(0<t<2)，连接 PQ.(1)若BPQ与ABC相似，求 t的值；(2)连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t的值；（3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上。练习题1、如图，已知在平行四边形 A B C D中，M、N为 AB的三等分点，D M 、DN分别交 AC于 P、Q两点，则 AP:PQ:

27、QC= .2、如图,梯形 ABCD中,ADBC，AB=DC.(1)如果 P、E、F分别是 BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF；(2)如果 P是 BC上的任意一点(中点除外),PEAB,PFDC，那么 AB=PE+PF，这个结论还成 立吗?如果成立，请证明；若不成立，请说明理由。3、己知菱形 ABCD的边长是 6,点 E在直线 AD上,DE=3,连接 BE与对角线 AC相交于点 M,则MC的值是 .AM4、如图，已知在 ABCD中，O1、O2、O3 为对角线 BD上三点，且 BO1=O1O2=O2O3=O3D，连 接 AO1 并延长交 BC于点 E，连接 EO3 并延长交 AD于点

28、F，则 AD:FD等于（）A、19:2B、9:1C、8:10D、7:15、如图，在ABC中，AB=AC，D在 AB上，E在 AC的延长线上，BD=3CE，DE交 BC于 F，则DF:FE等于（）A、5:2B、2:lC、3:1D、4:16、如图，已知ABCD 中，E、F 分别为边 AB、AD 上的点，EF 与对角线 AC 交于点 P.若 AE = a , AF EBb FD= m （ a、b、m、n 均为正数），求 AP 的nPC值为（）amA、an + bmamC、bnB、an + bmbnD、am + an + bman + bm + bn117、如图,ABC是等边三角形,点 D、E分别在

29、BC、AC上,且 BD=BC,CE=3AC,BE、AD相交3于点 F,连接 DE,则下列结论：AFE= 60o ;DEAC;CE2=DF DA;AF BE=AE AC,正确的结论有()A、4 个B、3 个C、2 个D、1 个8、如图,在ABC中,BAC= 90o ，AD是 BC边上的高，E是 BC边上的一个动点(不与 B,C重合)，EFAB于点F，EGAC于点G.EG(1)求证：AD= CG ；CD(2)FD与 DG是否垂直?若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； (3)当 AB=AC时，FDG为等腰直角三角形吗?并说明理由。9、如图,ABC和A1B1C1 均为正三角形,BC和 B1C1

30、的中点均为 D. 求证：AA1CC1.10、如图,在矩形 ABCD中,E为 AB的中点,EFEC交 AD于点 F,连接CF(AD>AE)，下列结论：AEF=BCE；AF+BC>CF；SCEF=SEAF+SCBE；若 BC =CD3,则CEFCDF.2其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)11、如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，CAB的平分线分别交 BD、BC于点 E、F， 作 BHAF于点 H，分别交 AC、CD于点 G、P，连接 GE、GF.(1)求证：OAEOBG；(2)试问：四边形 BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由；PG(3)试求：AE的值(结果保留根号).12、已知ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、G，若BE=5，EF=2，则求 FG 的长是 .13、如图，ABC中，C=3A，AB=10，BC=8，则