2020届二轮(理科数学)最值、范围、证明专题专题卷(全国通用)

1、2020届二轮（理科数学）最值、范围、证明专题 专题卷（全国通用）2 2x y1.椭圆a+ g= 1(ab0)的左右焦点分别为F* 1,重合的直线I交椭圆于A、B两点.= |BFJ ,|AF| =|BF|，即F1F2为边AB上的中线，二FF丄AB在 RtAF1F2若厶ABF为正三角形, 求椭圆的离心率;若椭圆的离心率满足0vev乓21，O为坐标原点,求证：|OA2+|OB2V|AB|.解:由椭圆的定义知|AF| + |AFF= |B冋+ |BF,中，cos 304a则沁，椭圆的离心率为罟3证明:、-1设A(x1,y1) ,B(x2,y2)，: 0vev，c= 1,二a 1 + 方.当直线444

2、1y2bT Tba+ 3a 1AB与x轴垂直时，2+2= 1,y=2,0A-0E3= X1X2+ yy = 1-a ba232a-22a* 54, a23+2f5, OA-OB 0，/AOB亘为钝角，.lOA2+|OB2V|AB2 2当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+ 1）,代入?+寺=1,整理_oak得，(b2+a2k2)x2+ 2k2a2x+a2k2-a2b2=0, x1+X2=bTk2 2迈2,XlX2=2. 22. 2a ka bT T22牙,0A-0E=X1X2b+a k2+y12=X1X2+k(X1+ 1)(X2+ 1)2 2 2=X1X2(1 +k) +k

3、(X1+X2)+k=(a2k2-a2b2)( 1 +k2)- 2a2k4+k2(b2+a2k2).2 , 2. 2b+a k.2/2.22.2、2.2/4只2八2. 2k(a+b-a b)-a b k(-a+ 3a- 1)-a b令m(a) =-a4+ 3a2- 1,由可知m(a)v0,二/AOB恒为钝角，恒有 |OA?+1OEB2b0）的离心率，Fi,F2分别为左、右焦点，过Fi的直线交椭圆C于P, Q两点，且PQF的周长为 6.0）、F2（1 ,|AFd2020届二轮（理科数学）最值、范围、证明专题 专题卷（全求椭圆C的方程；设过点M3 , 0)的直线交椭圆C于不同两点 A,B,N为椭圆上

4、一点，且满足OAF0B-tOO为坐标原点)，当|AB3时，求实数t的取值范围.2 2 . 22c ab322解析：(1 厂飞2=十=3,.a2= 4b2.a a422X2又T4a= 8，a= 2,.b= 1，椭圆C的方程是+y= 1.(2)设A(xi,yi),0X2,y2),N(x,y),AB的方程为y=k(x 3),y=k(x 3)由x22，整理得(1 + 4k2)x2 24k2x+ 36k2 4 = 0.4+y=1,2 42221由厶=24k 16(9k 1)(1 + 4k) 0，得kv.52 24k36k 4X1+X2= 2,X1X2=1 + 4k 1 + 4k 6AFOB=(X1+X2

5、,1+y2)=t(x,y),124k211 6k则x=t(x1+X2)=t(+4k2),y=f(y1+y2) =fk(x1+ %) 6k =t(1+4k2)又由 |AB= , 1 +k2|X1X2|v3，即(1 +k2)(X1+X2)2 4x1X2v3 ,22221121化简，得(8k 1)(16k+ 13) 0,则 8k 1 0 ,k，:vkv. 8 8 5t2由，得k=2,联立，解得 3v12v2.36 4t2vtv3 或.3vtv2,即t(2, 3)U(3,2).2 2y x223.设椭圆M j+ f= 1(ab0)的离心率与双曲线xy= 1 的离心率互为倒数，且内2 2切于圆x+y=

6、2.(1) 求椭圆M的方程；(2) 若直线y= .2x+m交椭圆于 A,B两点，且P(1 ,2)为椭圆上一点，求厶PAB的面积的最大值.由点N在椭圆上，得“ 2、2 . 2(24k)144k+ 2=4,化简得36k2=t2(1 + 4k2).2将X1+X2,X1X2代入得(1 +k)24224k4 (36k 4)(1 + 4k2)21 + 4k2v3解：(1)由双曲线的离心率为、2，得椭圆的离心率e=a22 2易知圆x+y= 4 的直径为 4,所以 2a= 2.2a=4,由a=M得.2 2 2b=acy=. 2X+m由X2y2得4X2+2mx+ m-4= 0.2+4 =1，由A= (2 乖m2

7、- 16(m-4) 0,得一 2 羽v me2 乖.2Am- 4X1X2=:, |AB= 1 + 2 |X1-X2| = 3 (X1+X2)24X1X2又点P到直线AB的距离d=im-,则SPAB=2|ABd=1x3x4-mJ：=2 22；= 2,m= 2 ( 2 2, 2 2)时取等号.故PAB的面积的最大值为，2.24.已知圆 G:X2+y2-2X-2y=0 经过椭圆字+卷=1(ab 0)的右焦点F及上顶点B.5 n.过椭圆外一点Mm0)(ma)作倾斜角的直线l交椭圆于C, D两点.6(1) 求椭圆的方程；(2) 若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围.解：(1)T圆G X2+y2-2xJ2y= 0 经过点F,B,F(2 , 0) ,B(0,2) ,c= 2 ,b= 2 ,2 2222Xya=b+c= 6，椭圆的方程为 += 1.a= 2,c=2,b=2,故椭圆M的方程为2 2yX+ -= 1.42设A(xi,yi),RX2,y2).当且仅当-Xi+X2=2mi4m- 2=2 / 2m( 8-m) 0，解得一2 3 6,.6n 2 3.设C(xi,yi),D(X2,y2)，贝Uxi+X2=mXiX2=,/yiy2=(xim-3(X2m2imm=XiX2 3(Xi+X2)+ -.TFC=(xi2,yi),FD=(X22,y2),T T4FC-