2020-2021学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题

1、2020-2021 学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题（完卷时间：120120 分钟；满分：150150 分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意事项： 1 1 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2 2 第I卷每小题选出答案后，用2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 第H卷用 0.50.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答，答案无效 513A.A. B.B.26

2、4 4 某校新成立 3 3 个社团，规定每位同学只能参加其中一个社团，假定每位同学参加各个社团的可能性相同，则该校甲、乙两位同学参加同一个社团的概率为（）11 21A.A.B.B.C.C.D.D.- -96 335 5. .已知复数z1,z2，则“z, z,R”是“z乙”的（）A.A.充分不必要条件B.B.必要不充分条件C.C.充要条件D.D.既不充分也不必要条件1一6.6.将曲线C1: y 2sinx上各点的战坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线C2,把G向左平移一个单位长度，得到曲线C3:y f x，则下列结论正确的是（）6A.A.f x的最小正周期为43.3.考试结束，考生必须持

3、试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 项是符合题目要求的. .1.1.已知复数z满足三丄1 i，则复数z（2 i2iC.C.3 iD.D.3 2i4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有A.A.2 iB.B.12 2 设D,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝U EB FC()A.A.ADB BAD2C.-C.-BC2D.D.BC3 3 若xlog231求3x10C.C.3D.D.- -2B.B.X石是f X的一条对称轴C.C.f x在-上的圾大值为33 67 7 在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，

4、CDE是顶角为36。的等腰三角形，C，D为线段AB上的两个黄金分割点，则有8 8 如图所示的一个圆锥形的金瓜配件，重75.0675.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该形配件的重量约为（）A.34.37A.34.37 克 B.34.03B.34.03 克 C.33.36C.33.36 克 D.32.69D.32.69 克二、选择题：本题共 4 4 小题，每小陋 5 5 分，共 2020 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 5 分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得 2 2 分. .9 9 某地区经过一年的新农村延设，农村的

5、经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:狂役后fl廉收入购痕比例则下面结论中正确的是（）D.D.f x在,上单调递增3 6AC BD CDAB AB BC51 据此计算cos2162如三产业吆入他收入A.A.新农村建设后，种植收入减少了B.B. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍C.C. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上D.D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半则下列结论正确的是(中点，则下列说法正确的是(A.A.AP与EF所成角为60C.C.直线AB与平面PEF所成角的正弦值

6、为 二63D.D.平面PED1减正方体得到的截面图形是梯形正确的是(13.13.“幸福感指数”是某个人对自己目前生活状态满意程度的主观指标数值，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近 1010 表示满意程度越高， 现随机抽取 6 6 位小区居民进行调查，他们的“幸福感指数”分别为5 5, 6 6, 7 7, 8 8, 9 9, 5 5,则这组数据的第 8080 百分位数是 _ . .14.14.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2 2,则这个球的表面积为_ . .15.15. 设向量e 1,0,e0,1. .若a2&,b 4e)3e，则a b

7、_，向量a在向量b上的投影向量为_ . .1010 已知a，b是平面内夹角为的两个单位向量，向量c在该平面内,3be 0，A.A.a b1B.B.a b1C.C.c bD.D.c的最小值为一11.11.在棱长为 1 1 的正方体ABCDABC1D1中，点P、E、F分别为CG、BC、CD的B.B.点A到平面PEF的距离为3.3412.12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，则以下结论A.A.c bB.B.C 2B三、填空题：本大题共C.a cD. 0 B 44 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分,把答案填在题中的横线上16.16.某小微企业生产一种如下图所示的电路子模块：要

8、求三个不同位置1 1, 2 2, 3 3 接入三个不同的电子元件A,B,C，它们正常工作的概率分别为0.90.9, 0.80.8, 0.70.7，假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立，当且仅当 3 3 号位元件正常工作同时1 1 号位与 2 2 号位元件中至少有一件正常工作时， 电路子模块才能正常工作，则该电路子模块能正常工作的概率最大值为_ . .iT5H1 四、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.17.（ 1010 分）如图，在三棱锥A BCD中，AB AD，BC BD，平面ABD平面BCD. .（2 2）已知DE2EA，D

9、F 2FC，则棱BD上是否存在点G，使得平面EFG/平面ABC？若存在， 确定点G的位置；右不存在，请说明理田. .18.18.（ 1212 分）1已知sincos0,5（1 1 ）求ta n的值；（2 2） 若sin0,，求的值. .10 219.19.（ 1212 分）“学党史，担使命”的知识竞赛 现从参赛的所有学生中，随机抽取100100 人的成绩作为样本,进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示4J18U T并估计该校此次竞赛成绩的平均分X（同一组中的数据用分层随机抽样的方法，从成绩不低于 7575 分的学生中 再从这7 7 人中随机抽取 2 2 人进行调查分

10、析，求这 2 2 人中至少有 1 1 人成绩在85,95内的概率. .20212021 年是“十四五”规划开局之年，也是建党100100 周年 为了传承红色基因，某学校开展了（1 1）求频率分布直方图中a的值, 用该组区间中点值代表）；（2 2）若根据成绩对该样本进行分层， 随机抽取 7 7 人查看他们的答题情况，（1 1）求证：AD AC；0.0350.01020.20. （1212 分）已知函数f xexex（1 1 ）根据函数单调性的定义，研究f x的单调性;（2 2 ）若g x x22x af x 1有唯一零点，求a的值. .21.21.（ 1212 分）如图，AB是底部不可到达的一个

11、建筑物，A为建筑物的最高点. .某学习小组准备了两种工 具：测角仪（可测量仰角与俯角）与米尺（测量长度）. .请你利用准备好的工具，设计一种测量建筑物高度AB的方案，包括：1指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；2用文字和公式写出计算AB的步骤. .22.22.（ 1212 分）如图，已知正四棱锥S ABCD与正四面体S ABC所有的棱长均为a. .（1 1 ）若M为SB的中点，证明：SD/平面MAC；（2 2）把正四面体S ABC与正四棱锥S ABCD全等的两个面重合， 排成一个新的几何 体，问该几何体由多少个面组成？并说明理由福州市 2020-2021 年第二学期质量检查数学参考答

12、案及评分细则评分说明：1.1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半： 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4 4 只给整数分数。一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分. .1.B1.B 2.A2.A 3.A3.A 4.D4.D 5.B5.B

13、6.B6.B 7.C7.C 8.C8.C二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分. .9.BCD9.BCD 10.BD10.BD11.CD11.CD12.AB12.AB三、 填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分. .13.813.8 14.14.2015.1315.13;2,39或52ei39e216.0.84616.0.84625 252525故 C C 错误;52 3925,25 16.16.解答】将A，B，C型电子元件分别接入 3 3 号位, 型电子元件分别接入 3 3 号位，12.12.【解答】因为bc，所以c b，故

14、A A 正确;由余弦定理得,2 2 . 2a c b cosB2aca2ab2ac-_-，所以c 2b cos B，2c 2b由正弦定理得,所以sinC因为A Bc si nC，所以cosB b si nBsin2B，所以C 2B或CC，若Csi nC2sinB2B即sinC2sinBcosB，2B，可得A B，所以a又c2b(ab），所以c2a2b，此时C 2，满足C 2B，故 B B 正确;4由 B B 选项可知C2B，故A2B0，即 B B 3 3，故 D D 错误。15.15.【解a 2,7，4,3，所以a13,向量a在向量b上的投影向量1 1 号位，2 2 号位，或者将A，B，C2

15、2 号位，1 1 号位时，该电路子模块能正常工作的概率最大，记事件E“ A元件正常工作”记事件H，事件F“B元件正常工作”，记事件G“C元件正常工“电路子模块能正常工作”，则P E 1 P F P G 0.911 0.81 0.70.846. .四、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070 分. .17.17.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查空间想象能力、逻辑推理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑 推理等核心素养；体现基础性和综合性 【解答】（1）因为平面ABD平面BCD，平面ABD|平面BCD BD，BC平面BCD,BC

16、 BD，所以BC平面ABD2 2 分 因为AD平面ABD，所以BC AD, 又AB AD，而AB门BCB,AB平面ABC,BC平面ABC，所以AD平面ABC. .又因为AC平面ABC，所以AD AC. .（2 2）存在点G，满足DG 2GB时，使得平面EFG/平面ABC. .又因为EG平面ABC,AB平面ABC，所以EG/平面ABC,同理可得FG/平面ABC. . 9 9 分又EGP1FG G,EG平面EFG，又FG平面EFG, 故平面EFG /平面ABC. .故存在点G,满足DG 2GB时，使得平面EFG /平面ABC . .1010 分18.18.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关

17、系、三角恒等变换等基础知识；考查运 算求解能力，逻辑推理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学 运算等核心素养；体现基础性 . .1sincos【解答】解法一：（1 1）由5,22sincos1联立可得25sin25sin120，.1分4解得sin或sin3 3分55，又理由如下：在平面ABD内，因为DE所以EG /AB .7 7 分2EA,DG2GB，即竺GBDEEA，3不合题意，舍去50,sin 0,故sinC所以 -2所以説10分1212 分4综上所述，tan.6 6 分3可知sincos212si ncos12所以sincos2分25sin costan12即一2

18、一2, 2sincostan125解得tan4或tan3。34解法二：(1 1 )由sin cos125，.3 3 分4 4 分又0,，则sin 0,当tan4时，sin34,cos533当tan,sin,cos453，符合题意 54入 ，不合题意，舍去51 .3cos sin554于是tan3，. 5 5 分6 6 分(2)由sin ,100,，可得cos27.210所以sinsin cos cos sin # 51032、5 To 2 .又因为0,cos所以(2(2)同解法一 . 1212 分19.19.【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考查 运算求解

19、能力；考查化归与转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数学运算、数学 建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、应用性【解答】解法一： (1 1)由频率分布直方图可得，0.005 0.025 2 0.01 a 10 1，解得a 0.035 2 2 分 样本数据的平均数为：50 0.05 60 0.25 70 0.35 80 0.25 90 0.171 .5 5 分(2 2)由频率分布直方图可知，成绩在75,85,85,95内的频率分别为 0.250.25, 0.10.1,所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7 7 人中，成绩在75,85内的有 5 5 人，成绩在85,95的有 2 2

20、人. .7 7 分从这 7 7 人中随机抽取 2 2 人进行调查分析，记事件A“2 2 人中至少有 1 1 人成绩在85,95内”， 事件A“2 2 人中恰有 1 1 人成绩在85,95内”,事件A“2 2 人成绩都在85,95内”则AA A U U 人. .因为A与A,互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P A P A P A，. .将成绩在75,85内的 5 5 个人分别记为B,B2,B3,B4,鸟，将成绩在85,95内 2 2 个 人分别记为G,C2,设从这 7 7 人中第一次抽取的人记为x,第二次抽取的人记为x2,则可用数组,x2表示样本点 可知样本空间Bl,B2, B1,B3,

21、B1,B4,B1,B5,B1,C1,C1,C2,AB1,C1,B1,C2,B2,C1,B2,C2,B3,C1,C2,B5,AC1,C2, C2,C1,因为样本空间包含的样本点个数为n42,8 8 分且每个样本点都是等可能的，又因为n A20,n A?2,1010 分20由古典概型公式可得P A211. 1212 分42422解法二：(1 1)同解法一 .5 5 分(2 2)由频率分布直方图可知，成绩在75,85,85,95内的频率分别为 0.250.25 , 0.10.1,所以采用分成抽样的方法从样本中抽取的7 7 人中，成绩在75,85内的有 5 5 人，成绩在85,95的 有 2 2人7

22、7 分从这 7 7 人中随机抽取 2 2 人进行调查分析，记事件A“2 2 人中至少有 1 1 人成绩在85,95内”，事件A1“2 2 人中恰有 1 1 人成绩在85,95内”，事件A2“2 2 人成绩都在85,95内”，则AA A U U 人 因为A与A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P A P A P A,. .将成绩在75,85内的 5 5 个人分别记为 1 1，2 2, 3 3, 4 4，5 5,将成绩在85,95内 2 2 个人分别记 为 6 6，7 7,设从这 7 7 人中抽取的 2 2 个人记为X,，X2，不妨设X,x2，则可用数组x1,x2表示样本点 可知样本空间X

23、1,X2X1,X21,2,3,4,5,6,7 ,且 捲X2A 1,6 , 2,6 , 3,6 , 4,6 , 5,6 ,5,7，A 6,7，因为样本空间包含的样本点个数为n 21，20.20.【命题意图】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查逻 辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与 方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综合性【解答】解法一 ：（1 1 ）f X的定义域为，对任意的X，有所以函数f x eXeX为偶函数.1 1 分 考虑f x在，上的单调性:X1,X20,，且X1X2,且每个样本点都

24、是等可能的，又因为nA 10，nA 1，1010 分由古典概型公式可得P A20 2.4242211212 分X1eX2X2eX2x1X2eX1eX2eX2eX1X2ex1ex2e*x21exx2a ex 1e要使函数g x有唯一零点，所以g x的零点只能为x 1 , .1010 分由x2x10,得ex1ex20,ex1 x21,e0， 于亍是f x1f x20,即f X1f X2，所以fx在0,上单调递增- 5分又因为fx是偶函数，所以f x在,0上单调递减综上所述，f x在区间0,上单调递增，在区间,0上单调递减.6分1x 1xa e e2(2(2)因为2x将g x的图像向左平移1 1 个

25、单位得到hxx2a对任意的x，有h xh x，故h x是偶函数. .要使g x有唯一零点，即h x有唯一零点，而h x的图像关于y轴对称,1故h 0.0，求得a -1111 分21由(1 1)可知，当a时，h x在区间0,上单调递增，在21h 0 0，故可知h x有唯一零点 0 0,符合题意，故a -.2解法二：(1 1)同解法一. 6 6 分,0上单调递减，又1212 分(2 2)因为2g x x2x2x 1x 1x 1a ee2g 2 x2 x2 22x 4x 4 4 2x aa ex 1x 1e1xa2 x 12 x 1ee1 xIxe1x22x所以g 2 xg x，即x 1为g x的对

26、称轴 即g112 21 ae11 e110，解得a211分1由（1 1）可知，当a 2时，g x在区间1,上单调递增，在,1上单调递减,1又g 1 0,故可知g x有唯一零点 1 1,符合题意，故a1212 分221.21.【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力； 考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数 学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、创新性、应用性【解答】解法一：作图如下选择一条水平基线HG（如图），使得H,G,B三点在同一条直线上4 4 分在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为 ，.5 5 分用米尺测得H

27、G a，即CD a，测得测角仪的高度是h. .（若没有做出DH，扣掉6分在ACD中，由正弦定理，可得上CCD一 ,即ACaSin一 , sin sinsin8 8 分在RtAACD中，有AE ACsinaSin Sin, , . 1010 分sin1 1 分）所以建筑物的高度AB AE hasin sinh（若漏掉h，扣一分）.sin分解法二：同解法一 . 6 6 分AEAE在RtAACE,RtAADC中分别有DE,CE -A巳,.8 8 分tantanAE AE tan tantantan tan 所以CD DECE互tan所以AEatan tan. 1010 分tan tan121222.22.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平面 与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与 转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性和 综合性 【解答】解法一：（1 1）连接DB交AC于O，连接OM, , . 1 1 分因为M,0分别为SB,DB的中点，