2020届江西省萍乡市上栗县上栗中学高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、列求和公式则可求出S7.第 1 页共 21 页2020 届江西省萍乡市上栗县上栗中学高三第二次模拟考试数学(文)试题一、单选题21 已知集合A 2, 1,0,1,2,B x|x 2，则AI B()A 0,1B.1,1C 1,0,1D 0【答案】C【解析】根据不等式的写法求解集合B，然后根据交集的定义计算即可.【详解】解：B X 2 x 72 , AI B 1,0,1.故选：C.【点睛】本题考查不等式的计算，考查交集的定义和运算，属于基础题.2.已知复数 z 满足z(3 i) 10，则z()A.3 iB.3 iC.3 iD.3 i【答案】D【解析】等式两边同时除以3 i,表示复数 Z ,然后利用

2、复数的乘除运算法则计算则可求出复数 z.【详解】h1010(3 i)门.解：z3 i.3 i (3 i)(3 i)故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题3.已知等差数列an的前 n 项和为Sn，若a11,S46，则 5()A. 7B. 9C. 11D. 14【答案】D列求和公式则可求出S7.第 1 页共 21 页【解析】利用等差数列的求和公式，将S4表示成a1,d的形式，解出d，再利用等差数第3页共 21 页【详解】由a-i1,S44a17a14 3d27 6d724 6d 6,17 (71)2114.3故选:D.【点睛】本题考查等差数列求和公式，考查等差数列基本量的运算，属于基

3、础题sin4 .已知1 cos4A.3【答案】A2，则tan(【解析】利用正弦、余弦的二倍角公式表示正切函数的二倍角公式可求出tan【详解】”sin解：1 cos2sincos2 22cos22tan 2【点睛】本题考查正余弦函数以及正切函数的二倍角公式,于基础题.5.已知0 a b 1，则下列结论正确的是(A.babbb bB.a b【答案】【解析】根据条件对a,b赋值，令a【详解】11取a,b，则421、2，bbba，故排除 A；ab，故排除由幕函数的性质得:bb.故选：B.【点睛】sin1cos2，可求出tan2，再利用2二tanbbba2ta n21 tan22-，故选：A.3考查学生

4、的转化能力和计算能力，属Daa.b a1，计算选项的值即可比较出大小2,ba142，故排除第4页共 21 页第5页共 21 页本题考查不等式比较大小，涉及特殊值法计算，属于基础题6.将函数y 2cos(2x -)的图像向左平移 石个单位得到函数 f(x)，则函数y 的图像大致为(xsin x0 .7个单位得到函数f (x)2sin 2x,再6第6页共 21 页f (x)4cosx化简y，根据函数的奇偶性可排除B, c,再对比图像取特殊值的xsi nx x范围则可得到选项【详解】x 0,时，y 0，所以 D 正确.2故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像，考查三角函数的平移变换， 涉及利用函数

5、的性质和特殊值的范围判断图像，属于中档题 7.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与截面 ABCD 垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(【答案】C【解析】该椭圆是以 AC 为长轴，以圆柱底面圆直径为短轴的椭圆，根据所给条件求出长轴和短轴长，进而可求出焦距【详解】2a 22，a .2，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即2b 2 , b 1,c2a2b21,二2c 2.故选：C.【点睛】解：依题意得f (x)2cos 2 x 62cos 2x 22sin 2x，则y空Lxsin x2sin 2xxsin x4cosxxk，k Z，显然该函数为奇函

6、数，且当B.,2C. 2D .2、2解： AC 为椭圆的长轴,A . 1第7页共 21 页本题考查椭圆长轴、短轴和焦距的关系，考查学生对图形的观察能力和数形结合能力,2第8页共 21 页属于基础题1916A 8B.CD 1353【答案】C【解析】按照题意计算的是前 6 次和的平均数，按照流程计算每次的结果即可【详解】 解：依题意得输出 S 的值为 1,2,3,5,8,13 的平均数，即S故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，重点考查循环结构和学生的计算能力，属于中档题2 2x y9在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线21（a 0,b0）的右焦点 F ,a b性知OA OB AF，则可判

7、断 OAF 为等边三角形，可求出点 A 的坐标，代入双 曲线方程，可求出离心率.【详解】解：如图，直线 l 平行于 x 轴，所以由对称性知OA OB AF，又因为c V3cAF OF c，二 OAF 为边长为 c 的等边三角形， 一，- 在双曲线 E 上，2 21, 冷224, e234，解得e .3 1.故选：B.a c ae 11 2 3 5 8 13166,若存在平行于x 轴的直线 I,与双曲线 E 相交于 A, B 两点,使得四边形 ABOF 为菱形,则该双曲线 E 的离心率为（）A2.3 1B .3 1【答案】BC .3D 23【解析】 四边形 ABOF 为菱形，则AFOFC,又直线

8、 I 平行于 x 轴，所以由对称22c 3c224a 4b8 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）第9页共 21 页A.(e,)B.e2,【答案】B23C.e ,ee2,2e本题考查双曲线求离心率，考查数形结合思想的应用，属于中档题10算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称档”档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65.若在个？十?百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下1A 3【答案】C【解析】列举法列举出所有可能的情况，利

9、用古典概型的计算方法计算即可【详解】解：依题意得所拨数字可能为610, 601 , 511, 160, 151, 115, 106, 61, 16，共 9 个,5其中有 5 个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为，故选：C.9【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法, 和文化素养，属于中档题11.已知函数f(x) x alnx a(a R)有两个零点，贝 U a 的取值范围是(同时考查了学生的阅读能力珠，则所拨数字为奇数的概率为(2第10页共 21 页【解析】 对 f(x)求导，分类讨论各种情况下的零点个数则可求出a 的取值范围【详解】第11页共 21 页af (x) 1axxx

10、a(x 0),当 a0 时，f (x)0, f(x)在(0,）上单调递增，不合题意，当a0时，0 xa时，f (x)0；x a时，f (x)0, f（x）在（0, a）上单调递减，在（a,）上单调递增，f （x）min.f (a) 2a alna，依题意得2a ,aln a 02a e,取花e,2rX2a，则治a,X2a，且f x1f (e)e20,f x2f a2a 2a 1 na a a(a21n a 1)，令g(a) a21 n a 1,则g (a)120,ag(a)在e2,上单调递增,g(a)22g ee30,f x20,在（e,a）及（a,e2）上各有一个零点，故 a 的取值范围是e

11、2,故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的零点个数，考查学生分类讨论的能力和计算能力，属于中档题12 .现有边长均为 1 的正方形？正五边形？正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面 上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为h,I2,I3,14，则（）01*AfJA .!12幅 B. h 打 C.h121314D.h12幅【答案】B【解析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2n的弧长，设半径分别为1,2,3,4,则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形14.【详解】得几何特征可知”1V2V1 ,3=4= 1，再利用弧长公式即可得到11V12V13=

12、2n的弧长,2第12页共 21 页解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为第13页共 21 页设半径分别为 ri, r2, r3, r4,由题意可知，半径为中心与顶点的距离,角形，3= OA = 1；而4= 1 ,又因为11= 2n?r1, 12= 2n?r2, 13= 2n?r3, 14= 2n?4,所以 11v12V13= 14,故选：B .【点睛】本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题.二、填空题13 已知向量a,b满足a1，b 2,a a b，则a与b的夹角为_【答案】3【解析】 根据向量垂直，利用数量积运算即可求出夹角余弦，即可得夹

13、角【详解】对于正六边形，如图所示:，/ AOB = 60,.厶 AOB 为等边三又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1,圆的半径为 1,/OAB= ZOBA=54v72,. rivr2V1 ；第14页共 21 页Q a a b,第15页共 21 页a a b O2cos a, bcos a,ba与b的夹角为一.ab3故答案为：上3【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，向量数量积的运算，向量的夹角，属于容易题2xy2 014 .设 x ,y 满足约束条件2xy20, 则z 3x 2y的最大值是.yx【答案】23【解析】画出满足约束条件的可行域，利用z 的几何意义，利用直线平移法即可求出最大

14、值【详解】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过QOa, b1802 23,2时取得最大值，【点第16页共 21 页本题考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题 .的面积为【答案】2求出三角形的面积【详解】故答案为：2【点睛】16 如图，在一个底面边长为 2,侧棱长为,10的正四棱锥P ABCD中，大球内切于该四棱锥，小球 。2与大球0!及四棱锥的四个侧面相切，则小球15.VABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c，若ab2c2,则VABCta nC【解析】利用余弦公式对题干条件化简，可得abs i

15、nC4，结合三角形面积公式，可解：由余弦定理知a2b22c 2abcosC,8tanC2abcosC,二absinlabsi nC 2.2本题考查余弦考查学生的对公式的熟练运用，属于基础02的体积为第17页共 21 页2【答案】24【解析】 设 0 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M,连接 PM ,0M , P0,可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为2，从而求出小4第18页共 21 页【详解】 解：设 0 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M，连接 PM , OM , P0,则0M 1,PM/PA2AM2一10一1 3，P0 91 2 2,如图，在截面 P

16、MO 中，设 N 为球与平面 PAB 的切点，贝VN 在 PM 上，且0小PM, 设球的半径为 R,则 0 很 R ,sin MPO0M 1,黑1，则PM 3POi3则PQ PO 2R 2R，设球O2的半径为 r，同理可得PQ4 aJ?故小球。2的体积v - r3324故答案为：_!24/PkQQJ Jo【点睛】本题考查球的体积公式，考查两圆相切的性质，考查正四棱锥的性质，考查学生数形结合方法的应用，属于中档题 .PQ 3R,PO P。！O。！4R 2 2, R，设球与球。2相切于点 Q,4r三、解答题17 .已知数列an满足a11,a212，4an 12an 2(1)求证：an 1an为等比

17、数列；(2) 求an的通项公式【答案】(1) 证明见解析(2)an2 2n13 32【解析】(1) 在等式的两边同时减去20n1，可以得到2 anan 1an,第19页共 21 页能力和计算能力，属于中档题18 . BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称程度的一个标准，BMI =体重（kg） /身高（m）的平方根据中国肥胖问题工作组标准,当 BMI 28 时为肥胖某地区随机调查了 1200 名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：an 2an 1变形可得 一an 1an12，从而可以证出am an为等比数列.（

18、2）先根据等比数列的通项公式可以求出anan 11再利用累加法可得出数列Jan的通项公【详解：（1 ）由anan 12an 2，得2an 2an 1an 1an，即an又a2a1an 2an 1an 1an1an是以-为首项,21为公比的等比数列2(2)由（ 1)an累加得ana1an,anan丄，a21 (n2),n(n2)n1212本题考查定义法证明等比数列,考查累考查学生对数据的分析BMI ）是衡量人体胖瘦第20页共 21 页（1） 求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值;（2）填写下面列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关P K2k0.0500.

19、0100.001k3.8416.63510.828肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计附:K2n(ad bc)2,n a b c d(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】（1）29.8（ 2）填表见解析；有 99.9%的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关【解析】（1）分别计算高血压和非高血压人群中各BMI 值段的人数，然后用各 BMI 值段的人数乘以频率分布直方图每个对应表格的中点再求和，最后除以总人数则可得到平均值.（2）根据频率分布直方图，分别计算高血压人群、非高血压人群中肥胖和不肥 胖的人数，填表，然后计算观测值K2，对应给出的表格，得出结论 .【详解】解：（1 ）根据频

20、率分布直方图，200 名高血压患者中，BMI 值在28,30的人数为第21页共 21 页0.1 2 200 40，在30,32的人数为0.05 2 200 20，在32,34的人数为0.025 2 200 101000 名非高血压患者中，BMI 值在28,30的人数为0.08 2 1000 160,在30,32的人数为0.03 2 1000 60,在32,34的人数为0.005 2 1000 10被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值(40 160) 29 (20 60) 31 (10 10) 3329840 20 10 160 60 10(2)由(1)知，200 名高血压患者中，有40 20

21、10 70人肥胖，200 70 130人不肥胖1000 名非高血压患者中，有160 60 10 230人肥胖，1000 230 770人不肥胖肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计30090012001200 (70 770 230 130)2200 1000 900 300有 99.9%的把握认为 35 岁以上成人患高血压与肥胖有关【点睛】本题考查频率分布直方图均值的计算，考查2 2列联表以及K2的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.19 如图所示的几何体ABCA1BG中，四边形ABB1A是正方形，四边形BCC1B1是梯形，B1C1/BC，且BG1十-BC,

22、AB AC，平面ABB1A 平面 ABC212.8 10.828第22页共 21 页(2)若AB 2,BAC 90，求几何体ABC ABQ的体积.10【答案】(1)证明见解析(2)103【解析】(1 )取 BC 的中点 E 琏接AEGE,可证明AE 丄平面BCC，根据B&JBE可证明四边形AACjE为平行四边形，从而可证AG平面BCCJB，进而证明平面ACG平面BCC1B1. (2)将所求几何体分割为四棱锥C AAGE和直三棱柱ABE A1B1C1两部分，通过四棱锥和棱柱的体积分别计算求和可得几何体的体积.【详解】解：(1 )取 BC 的中点 E,连接AE,C1E,AB AC,二AE

23、BC ABB1A1是正方形， BB1AB，又平面ABB1A1平面 ABC,.BB1平面 ABC,又AE平面 ABC ,AE BB1又T BB1,BC平面BCC1B1,BB-iI BC B, AE 丄平面BCC1B1BC泌BE，四边形BBJGE为平行四边形，C1EJB1BJA1A,四边形AAC1E为平行四边形AE/A1C1AG平面BCC1B1又A1C1平面A1CC1,.平面ACG平面BCC1B1(1)求证：平面A,CG平面BCC1B1；第23页共 21 页【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查求棱锥和棱柱的体积，考查学生数形结合的能力, 属于中档题20 .过点 A(1,0)的动直线 I 与 y

24、 轴交于点T(0,t)，过点 T 且垂直于 I 的直线|与直线y 2t相交于点 M .(1) 求 M 的轨迹方程；(2)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆o与 y 轴相交于点 N，且NMA 30, 求AM的值.【答案】(1)y24x(2) 4【解析】(1)动直线 I 过点 A(1,0)和T(0,t)，可根据垂直求出直线|，从而求出交点 M 的坐标，从而寻找横纵坐标的关系，求出点M 的轨迹方程.(2)由题意可知：点 N 即(2)由(1)知所求几何体为四棱锥AAGE和直三/CEAE,AE平面AAC.E,CE平面AAC.E,四棱锥C AAGE的体积VCAA1C1E113S矩形 AA1C1EC

25、E3AAI33AE CE直三棱柱ABE ABQ!的体积VABEAgSABEAA 1 BE AEAAi.2 2所求几何体ABC A1B1C1的体积V VCAA1C1EVABE A1B1C1第24页共 21 页为圆与 y 轴的切点，根据NMA 30，可求出直线 AM 的斜率，进而求出直线 AM 的方程，从而求出|AM|的值.【详解】解：（1 ） A（1,0）,T （0,t），当t 0时，M 的坐标为（0,0）0 t,11、1当t 0时，klt，二k|,I的方程为y -x t1 0k|t7t由y 2t得x t2,M t2,2t验证当t 0时，也满足M t2,2t M 的坐标满足方程y24x，即 M

26、的轨迹方程为y24x又 A 为抛物线y2NMA 30,TNO A 60, -kAM，直线 AM 的方程为y 3(x 1)联立y23（x 1），消去 y 整理得3x210 x 3 0，解得x 3或x1（舍），即y24x3x03 A为抛物线y24x的焦点，AM Xo1 4【点睛】本题考查求点的轨迹方程，考查抛物线的性质以及直线和抛物线的位置关系，考查学生数形结合的能力，属于中档题21 .已知函数f(X)(x 1)ln X.(2)作O O1y轴于O1,MM1y轴于Mj，则O O1-MM12OA4x的焦点，OO1故圆O与 y 轴相切于点第25页共 21 页(1)求 f (x)的单调性;(2)若不等式e

27、xf (x) x aex在(0,)上恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】(1) f(x)在(0,1)上单调递减，在 1, 上单调递增(2)(2)不等式exf (x) x aex等价于a f (x)xf (x)在x 1处取得最小值e- aI，故实数 a 的取值范围是递减，在(1,)上单调递增，即yx1 x令g(x)，则g (x) rx，当e ex- g(x)x在(0,1)上单调递增，在e0 x 1时，g (x)0，当x(1,)上单调递减又 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，y f (x)1时，g (x)0 x在(0,1)上单调e【解析】(1)对 f(x)求导，分别讨论x不

28、同范围下f(x)的单调性( 2)对条件变形得到a f (x)x在(0,)上恒成立，所以等价于exxa(f(X)x)min，令g(X)x,ee得到g(x)的单调性和 f(x)单调性相同，所以函数在x 1处取得最小值，代入x 1即可求出结果.【详解：(1 )由f(x) (x1)ln x，知f (x) In x当0 x 1时，In x0，此时f (x)当x 1时，Inx 0,In x 1 -x0，此时f (x)0 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增第26页共 21 页e【点睛】的方法，属于中档题本题考查利用导数求函数的单调性,考查利用导数求恒成立问题,考查分类讨论和拆分第27页共 21 页x 1 2cos22 .在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为(为参数)，以 0y 2si n(1)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程;2 2(2)求|BC| | AD |的值.【答案】(1)(x 1)2y24；22 cos 3 0(2)16【解析】(1)由同角的平方关系可得曲线E 的普通方程；由 x = pcose,y= psi no,x2+y2=p2,代入化简可得曲线 E 的极坐标方程；(2)分别讨论直线 l1的斜率不存在，求得 A, B, C, D 的坐标，计算可得所求和； 若斜率存在且不为 0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直