第二章3立方根》讲解与例题（新版）北师大版

1、第二章3立方根讲解与例题1立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)如238，那么2就叫做8的立方根，由于3，所以叫做的立方根(2)立方根的表示方法：a的立方根可表示为“”，读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数要注意，这里的根指数“3”不能省略例如：2的立方根可表示为.哦，判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a.对啊! 求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.【例11】 求下列各数的立方根：(1)8；(2)125；(3)；(4)0.064；(5)0；(6)

2、6.解：(1)因为238，所以8的立方根是2，即2.(2)因为(5)3125，所以125的立方根是5，即5.(3)因为3，所以的立方根是，即.(4)因为(0.4)30.064，所以0.064的立方根是0.4，即0.4.(5)因为030，所以0的立方根是0，即0.(6)6的立方根是.谈重点 化简立方根完全立方数的立方根是可以化简的，如(1)(5)；非完全立方数的立方根是不可以化简的，只需表示出来即可，如(6)【例12】 下列语句正确的是()A的立方根是2B3是27的立方根C的立方根是D(1)2的立方根是1解析：A因为8，而2的立方等于8，故8的立方根是2.B因为3的立方是27，3是27的立方根是

3、错误的.C因为的立方是，所以的立方根是.D因为(1)21，它的立方根是1，而不是1.答案：A2立方根的性质(1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.(2)开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算【例2】 有下列命题：负数没有立方根；一个数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是()A BC D解析：一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.立方根等于本身的数有0

4、,1和1.所以都是错的，只有正确答案：B辨误区 1,0，1的立方根深入理解概念，特别地，要关注1,0，1的立方根的情况3立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等【例3】 某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm和40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？分析：原来立方体钢锭体积在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积解：设立方体的边长为x cm，则27x31608040.解得x.答：原来立方体钢锭的边长为 cm.点评：本题是一个等积变形问题，利用体积不变列方程即可4立方根的化简公式；a

5、；()3a.如果x3a，那么x就是a的立方根，即x，所以x3()3a.同样，根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即a.设x3a，则(x)3x3a.根据立方根的定义可知，x，x.要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式【例4】 化简：(1)；(2)；(3).分析：求一个负数的立方根，可以根据立方根的定义来求，也可以转化成它的绝对值的立方根，再求其相反数，因为.求带分数的立方根，首先要把带分数化成假分数再求解：(1)4.(2)0.05.(3).5灵活利用立方根与平方根解题平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误(1

6、)区别：定义不同平方根：如果x2a，那么x叫做a的平方根立方根：如果x3a，那么x叫做a的立方根表示方法不同正数a的平方根记为，数a的立方根记为.表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了读法不同正数a的平方根，读作“正、负根号a”数a的立方根读作“三次根号a或a的立方根”被开方数的取值范围不同在平方根中，被开方数a是非负数，即a0.但在中，a可以是任意的数根的个数不同一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.(2)联

7、系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算【例51】 已知|b327|0，求(ab)b的立方根分析：由非负数的性质求出a，b即可解：由题意，得0，|b327|0，于是a3640，b3270.解得a4，b3.因此(ab)b(43)3343.故(ab)b的立方根为7.析规律 非负数的性质几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.【例52】 已知2，求x17的平方根分析：由立方根的定义先求出x的值，再求x17的平方根解：由立方根的定义，得5x32(2)3.解得x8，则x179.故x17的平方根为3.变式题：(1)一个数的两个平方根分别为3a1和a11，求这个数的立方根；(2)已知3m9的立方根为3，求2m3的立方根；(3)已知2x1的平