几何图形的形状与运动时间的关系问题

1、巧解运动中几何图形的形状问题山东省汶上县白石镇中学 高军宝 高素英邮编：272513 电话运动变化中，探究几何图形的形状与运动时间的关系是动态性试题的一个重要内容。解决这类问题往往要用运动与变化的眼光观察和研究图形，抓住几何图形的性质，如平行四边形的对边平行且相等、等腰梯形的两腰相等、等腰三角形的两腰相等及三线合一等性质。利用等量和变量的关系，通过建立方程模型，用代数的方法来解决。以下面几例说明解决问题的思路方法。例1：四边形ABCD是直角梯形，AD/BC, B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=28cm,点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C同时

2、出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形或成为梯形。分析：若t秒时，四边形PQCD可成为平行四边形，由已知PD/CQ，根据平行四边形判定定理，如果PD=CQ,那么该四边形就是平行四边形。同理，如果PQ=CD，PDCQ也能判定四边形PQCD为等腰梯形。解：、设从运动开始经过t秒时间，四边形PQCD成为平行四边形。由题意可知，AP=t,CQ=3t又AD=24，PD=24-t当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形即24-t=3tt=6（秒）、分别过P、D两点作PEBC于E，DFBC于F则四边形PEFD

3、、APEB、ADFB分别为矩形EF=PD=24-tPE=DF=AB=8BF=AD=24FC=BC-BF=28-24=4QE=CQ-FC-EF=3t-4-(24-t)=3t-4-24+t=4t-28由题意知当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形而由PQ=CD，可得QE=FC4t-28=4t=8(秒)即当t=6秒时，四边形PQCD成为平行四边形当t=8秒时，四边形PQCD成为等腰梯形。例2：在梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，DC=5，AB=4，B=450，动点M从B点出发，沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发，沿线段CD以每秒1个单位的速度向终点D运动，设运

4、动时间为t秒。（1）、求BC的长（2）、当MN/AB时，求t的值（3）、试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形。分析：（1）求梯形的下底边长，常规辅助线作法为：分别从上底边两端点作梯形的高线，构造出一个矩形和两个直角三角形，再利用已知条件求解。（2）由MN/AB,可联想到相似三角形判定定理：平行于三角形底边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似。从而可确定，过点D作AB的平行线，构造出相似三角形，利用对应边的比相等，列出关于t的方程来求解。（3）在点M、N运动的过程中，MNC的形状随之发生变化，而当MNC成为等腰三角形时，又可分为三种情况：以MN为底边，CM=CN以NC为底边，MN=

5、MC以MC为底边，NM=NC从而利用等腰三角形的两腰相等或利用等腰三角形底边上的高线及中线与顶角的平分线三线合一的性质，作出底边上的高线即为底边中线这一特性，找出等量关系，列出关于时间t的方程来求解。解：（1）如图（1）分别过点A、D作AEBC、DFBC，垂足分别为E、F，则四边形ADFE为矩形。EF=AD=3，AE=DF在RtABE中，B=450AE=ABsin450=4×=4BE=AE=4DF=4在RtDFC中，FC2=CD2-DF2=52-42FC=3BC=BE+EF+FC=4+3+3=10(2)如图（2）设t秒时MN/AB由题意可知，CN=t，BM=2tCM=BC-BM=10

6、-2t过点D作DG/AB交BC于G点，则有四边形ABGD为平行四边形BG=AD=3，DG=AB=4GC=BC-BG=10-3=7由MN/AB、DG/AB得MN/DGMNCGDC=t=(3)如图（3）若以MN为底边，则CM=CN10-2t=tt=如图（4）若以NC为底边，则MN=MC过点M作MKCN于KCK=KN=由C为公共角可得RtDFCRtMKC=CK=（10-2t） 即=（10-2t）t=如图（5）若以MC为底边，则NM=NC过点N作NTBC于TCT = MT =5-t由C为公共角可得RtCNTRtCDF= =CT=即=5-tt=综上所述，当t=或或时，MNC为等腰三角形。练习：（2010河南）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E是BC 的中点，AB=5，BC=12，CD=4，C=450，点P是BC边上的一动点，设PB的长为x（1） 当x为何值时，以点P