双曲线典型例的题目讲义

1、实用标准文案直线与双曲线一、知识梳理1 .双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线: 在平面内；(2)与两定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数;(3)常数小于| F1F2I.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程22a2-b2= 1(a>0, b>0)222-b2= 1(a>0, b>0)图形nrH Mr1才XFtv*F性质范围x> a 或 xw - a, yC Ryw a 或 y>a, xCR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1 ( a, 0), A2( a, 0)顶点坐标： A1(0 , a) , A(0 , a)渐近线y =

2、 + -x a a,a y=±bxa, b, c的关系c2= a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 | A1A2| =2a；线段叫做双曲线的虚轴，它的长 |B国=2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长二、典型例题：例1.双曲线y2x2=2的渐近线方程是 ()A. y=±x B. y=±*72xC . y=±>/3x D . y=±2x3 例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0) , c/a等于2,则C的万程是()22222222A.2一%1 B. 7-?=1 C. 7-5=1 D.1卡1例3.斜率

3、为2的直线l过双曲线x2-y2=1(a>0, b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双 a b曲线的c/a的取值范围是()A. (8, *) B .(1,/3) C . (1 , 5) D .(V5, +°° )例4.已知双曲线A.誉B.x2 y2孑-5=1的右焦点为（3,0）一 C. 2,则该双曲线的c/a等于（）D.5.双曲线 mX+y2= 1的虚轴长是实轴长的2倍，则mi=例6.已知中心在原点的双曲线C,过点R2 ,、/3）且c/a为2,则双曲线 C的标准方程为例7.设Fi, F2是双曲线= 1(a>0, b>0)的两个焦点,P是

4、C上一点.若 | PF| 十| PE| =6a,且4PFF2的最小内角为30° ,则C的c/a为.x2 y222例8.已知椭圆D: +T= 1与圆M x+（y 5） =9,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰50 25好与圆M相切，求双曲线G的方程.例9.过双曲线22' y- = 1的右焦点F2,3 6倾斜角为30。的直线交双曲线于 A B两点，O为坐标原点，F1为左焦点.(1)求| AB ; (2)求 AOB勺面积.例10.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，c/a为® 且过点R4 ,小）.（1）求双曲线方程；（2）若点M3, m）在双曲线上

5、，求证：MFMF= 0; （3）求4 F1MF的面积.2211、已知曲线C的方程为=1,2 m m 1(1)若曲线C为椭圆，则 m的取值范围为 ;(2)若曲线C为双曲线，则 m的取值范围为 2212、直线l: y = k(x -2卢双曲线C： x -y- = 1交于a、b两点，若|AB| a 6v2 ,求k的取值范围。22 y13、对于双曲线x -=1,过B(1,1)能否作直线m,时使m与双曲线交于 P,Q两点，且B是PQ的中 2点.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。214.已知双曲线的方程 X2 -工=1，试问是否存在被点(1,1)所平分的弦？如果存在，求出所在直线;2如果不存在，说明

6、理由。2215、试问双曲线3x-y=1上是否存在 A B两点关于直线 y = -x-4对称？若存在，求出AB直线方程；若不2存在，说明理由.216:已知双曲线 C: x2- -y-=1,过点P (1,1)作直线l ,若l与C左支有两个不同的交点，求直线 l的斜 4率的取值范围。练习:与椭圆2+=1共焦点且过点R2,1）的双曲线方程是（x22A.4-y2= 1B.x26.已知双曲线 C： 02 b2= 1(a>0, b>0),以2、x2 y22x2-72= 1万一y = 1 C. 3-3 = 1精彩文档2.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4 , 2）,则它的c/a

7、为（）3.A. 6 B. 5C.22双曲线2r/1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为 （）B. 7A. 22 或 24.（2010 辽宁）设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的c/a为（）A. 2B.C.3+ 12-25.若点O和点F（2,0）分别是双曲线与一y2= 1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点,则Op FP的取值范围为A. 3 2® +8)B . 3 +23, i)C.1-4,+ OOD.714,十C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A. aB . b227

8、.点P在双曲线上2y2 a bC. ab= 1(a>0, b>0)上,的三条边长成等差数列，则此双曲线的D.Fi, F2是这条双曲线的两个焦点，/FiPR=90 ,且 F1PEc/a 是（）A. 2 B . 3 C . 48.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（、，0），直线y = x1与其相交于 M N两点，MW点的横坐,2标为一",则此双曲线的方程是（322x yA.34B.2 x一4C.22x y=15 29.设Fi、F2分别是双曲线x2-2y =1的左、9右焦点.若点P在双曲线上，且PF1PF2 = 0，则| PFi + PF2 |=2y=2x,贝 U b=10

9、.已知双曲线 x2 b2（b>0）的一条渐近线的方程为11 .已知双曲线 kx2-y2= 1的一条渐近线与直线2x + y+1=0垂直，则双曲线的c/a为渐近线方程为.“x2 y2412 .已知双曲线 G一彳=1的一条渐近线方程为 y = 3x,则该双曲线的c/a为.2213 .双曲线02-b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F1作直线交双曲线的左支于A, B两点，且| AB =m 则4 ABF的周长为 .2214 .已知F1、F2分别为双曲线 C: £白=1的左、右焦点，点 AC C,点M的坐标为(2,0) , AM为/ RAB的9 2

10、7平分线，则| AE| =22毒).(1)求该双曲线方程; 315 .已知双曲线 京一看=1(0>02>0)的右焦点为F,过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线(2)过点F作直线l 2交该双曲线于 M N两点，如果|MN = 4,求直线l 2的方程.16 .已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是55 x-2y=0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k W0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81,求k的取值范围.217 .直线l :y=kx+1与双曲线C:2x2-y 2=1的

11、右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数 k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.四、课后作业22x y1.已知双曲线 -2L-K(a>0 , b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,若P为其上一点，且|PFi| =2|PF2| ,a b则双曲线c/a的取值范围为()A. (1,3) B . (1,3 C . (3, +8) d . 3 , +8)22x y2.已知P是双曲线 L=i右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3xy=0.设Fi、F2分别为双曲a 9线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1

12、| =.223 .过双曲线 -4=1(a>0,b> 0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过 a2b2双曲线的右顶点，则双曲线的c/a等于 4 .求适合下列条件的双曲线的方程：(1)焦点在轴上，虚轴长为12, c/a为5; (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 45 .已知双曲线的方程是 16x29y2= 144.(1)求该双曲线的焦点坐标、(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|6 .如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，R、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P, / F1PF2 = 3",且 P

13、FF2的面积为26 又双曲线的c/a为2,求该双曲线的方程.327.已知椭圆的方程为+ y2 =1,双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的4左、右焦点.(1 )求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线G恒有两个不同的交点A和B,求的范围x2 2双曲线1 解析B椭圆4+y =1的焦点坐标是(±J3, 0).设双曲线方程为02 b2= 1( a>0, b>0).因为点R2,1)在双曲线上，所以042-b2=1, a2+b2=3,解得a2=2, b2=1,所以所求的双曲线方程是X22万y =1.2解析设双曲线的标准方程为b2=1(a>0，b>0)，

14、所以其渐近线方程为y=±1x,因为点(4, 2)在渐近线上,3答案一 b 1 , ,一 2221 c2a2 1 , 1 2 5/5 ，.,所以a=2,根据c2=a2+b2,可得一a-=z，解得e2=4, e=+，故选D.A4答案 D解析 直线FB的斜率为b,与其垂直的渐近线的斜率为b,所以有2 = 1即b2=caacac,所以c2-a2=ac,两边同时除以a2可得e2-e-1 = 0,解得e=1;5.5解析B因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2+1 = 4,即a2=3,所以双曲线方程为x-y2=1.3设点 P(X0, y。)，则有 个一y0=1(X0>43),解得

15、y0=X-1(x0>)3).因为 FP= (x0+2, y。)，OP= (x。，y。)， 332/ 2- 2X04X0 ，所以OPFP= X0(X0+2)+y°=X0(X0+2)+不一1 =1- + 2x01,此二次函数对应的抛物线的对称轴万程为X0333 . . 一. .一一 .一 4 一一 4，因为X0>43,所以当X0=43时，OP FPX得最小值-X3+ 2/3- 1 = 3+273,故OP-FP勺取值范围是3 +23, +oo).6 答案 B7 解析D不妨设|PF| ,|PE| ,| F1E| 成等差数列，则4c2= |PF|2+|PE|2,由 2| PR|=

16、2c+| PF| ,且 | PF| | PF| =2a,解得 | PF| =2c4a, | PF2| =2c2a,代入 4c2= | PF| 2+| PF2| 2,得 4c2=(2c-2a)2+ (2 c-4a)2,化简整理得 c2-6ac+ 5a2=0,解得 c= a(舍去)或者 c=5a,故 e= = 5.8答案D解析22一 X y设双曲线方程 a2-b2= 1, M(X1, y1), Nx2,y2)，2X1a2-2X22y1 2= 1 b2 J b1,2口y1-y2bX1+X2得：=-2 'X1 X2ay1 + y21 =-2 a5a2=2b2.又 a2+b2=7,a2=2, b

17、2=5,选 D.5 1229. 2 "10 10。2 11。, 2X±y = 0双曲线kx y = 1的渐近线方程是 y = ± Jkx.又因为一条渐近线方程与L 11 Q ,片1直线2x+ y+ 1 = 0垂直,-Jk =k=7.，双曲线的 c/a 为 e=Z_-=-；渐近线方程为 -x± y=0.24 12211k、5.5一12答案或了解析3 4n 4n 16，m 3.m-T 9设 m>0, n>0,n 16 n-=m 9 mm 9 mi+ n 25n 16. n 16.e=".设 m<0, 93n<0.则会=15

18、5 5e=4.，双曲线的c/a为3或4|AF2| | AF| =2a,13 解析4 a+2m 由，“”？ I AF2I +|BF2| (| AF| +| BF|) =4a,又 |AF| 十 | BF| = | AB| BF2| 一 | BF| = 2a=m1| AF| + | BF>| = 4a+ m 则4 ABF的周长为 | AE| + | BE| + | AB = 4a+ 2m| A局 | MF| 114解析6根据角平分线的性质，|7F| =|MF| =2. | AR| T八同=6,故| AF2| =6.15 解析(1)设 F( c, 0) , 11:by=；x, PF： y=- a

19、by=-xb(x c).解方程组y= - a x- c.b b,口 a2 * ab,得 p(7, y), c c又已知P涔,乎),故解得a=1, b=*,所以双曲线方程为 x25=1.(2)若直线l2垂直于x轴，交双 2曲线于 M N由(1)得右焦点为F(43, 0),将x=小代入x2-y2= 1,得y=± 2,所以|MN=4,若直线l22不垂直于 x 轴，设 MF y= k(x43),代入 x2y2= 1,得 2x2k2(x 5)2= 2,整理，得(2 k2) - x2+ 2/3k2x-3k2-2=0,所以x1 + x2=3k,若M N两点均在双曲线的右支上，则k2>2；若M

20、 N两点在双曲线k 2的两支上，则k2<2.又若M N两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4,故M N两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设Mxi, y1) , Nx2, y2),|MN=| NF-|MF| =向七-x2) (Xi -,所以4=2 a/3( Xi + X2),即 必卜2_ k = 2, k= + 2",所以所求直线 l2 的方程为 * =寸3或 y = ±、21(x q3).16解 (1)设双曲线22C的方程为-y-=1 (a>0,b>0).由题设得 a2b2a2 +b2 =9,b 55a 丁解得a4, b2 =5.所以双曲线C的方程

21、为将式代入式，得实用标准文案整理得 mf+5-4k2>0.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x°,y。）满足xo=x1 x2 =km5-4k 2,y 0=kx0+m= 5m 5-4k2从而线段MN的垂直平分线的方程为 y-三万=.5.4k2k4 kmx 25_4k2此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为9 km9m§_4k2，0J，5Bk2 J由题设可得19 km2 |5 -4k29m5 -4k22、2=81.整理得 m= (54k) ,k 丰 o.22将上式代入式得(5-4k ) +5-4k 2>0,整理得(4k 2-5)(4kk2-|k|-5)>0,

22、k w0.解得0v|k| v 返或凶 >勺.所以k的取值范围是（-85)“写,0) U (0,51) U(-5,+ oo).17解（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y 2=1 后，整理得(k2-2)x 2+2kx+2=0 依题意，直线与双曲线 C的右支交于不同两点,2k2 -2 划 -(2k)2 -8(k2 -2) 0 2k解得k2 -2-2>0k2 -2k的取值范围为-2 <k<- J2 .（2）设A、B两点的坐标分别为(xi,yi),(x 2,y 2),2kxi x2 =2则由式得42 -k22Xi 啾2 ;Fk2 -2假设存在实数k,使得以

23、线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F （c,0）,则由FAI FB得(xi-c ) (x 2-c)+y 1y2=0.即(xi-c)(x 2-c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0.整理得：(k2+1)X1X2+(k-c)(x i+X2)+c2+1=0把式及c=£代入式化简得5k2+2 . 6 k-6=0.解得k=- 62yl或k= 61更(-2,-五)(舍去). 55可知k=-6ZM6使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点.51.B 解析：. |PF 1| |PF2| =|PF2|=2a,而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，有c-a<2a,1<e

24、<3,故选 B.22x y2. 5 解析：双曲线 二-工=1的渐近线方程为3x-y=0, . a=1.又P是双曲线右支上一点,a 9|PF2| =3, |PF1| |PF2| =2, |PF i| =5.3.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点 A在圆上，所以F为圆的圆心，且所精彩文档实用标准文案以，即由224.解：(1)焦点在轴上，设所求双曲线的方程为x2-与=1(a> 0,b> 0).由题意，得解得a b22所以双曲线的方程为：x_-L=1. (2)方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为64362=1 , 8122、-、=1(a> 0,

25、b> 0).由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为 a b同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为223V-T=1-方法二：设以y= ?万x为渐近线的双曲线的方程为x2 v29x2 y2匕=X入？0).当入时，2y14入=6 ,解得 入一 .此时，所求的双曲线的万程为一-y-= 1 .494981了22当入时，2d =6,解得入.此时，所求的双曲线的方程为L-上=1 .94225.解：(1)由 16x29y2=144 得上 E =1 , a =3, b=4, c=5.9 16焦点坐标为(一5,0) , (5,0) , c/ae =5,渐近线方程为y=±4x.33(2)由题意，得 |PF i| |PF2| =6,cos / F1PF2 =PFi|2 十|PF2一