第七章无穷级数34009

1、第七章 无 穷 级 数第一节 常数项级数1概念与性质（1）定义：（2）性质1）若和分别收敛于，则收敛于.2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性.3)收敛级数加括号仍收敛且和不变.4) 收敛2.判敛准则(1)正项级数(,)基本定理：收敛上有界。1)比较判别法：设,则收敛收敛.发散发散.2)比较法极限形式：设若,则与同敛散.若,则收敛收敛,发散发散.若,则发散发散,收敛收敛.3)比值法:设,则4)根值法: 设,则(2)交错级数()莱不尼兹准则: 若：(1)单调减; (2) ,则收敛.(3)任意项级数(,为任意实数)1)绝对收敛与条件收敛概念2)绝对收敛和条件收敛的基本结论绝对收敛的级数一定收敛,即

2、收敛收敛.条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.即:条件收敛和发散.题型一 正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1)2)3) 4) 解 1），则 （1）当时，原级数收敛； （2）当时，原级数发散；（3）当时，原级数发散。2） （1）当时，原级数收敛；（2）当时，原级数发散；（3）当时，但是单调增趋于的，则，即单调增，又，则，原级数发散。3）由于，而收敛，则原级数收敛.4）由于，而 ， 则原级数与级数同敛散，故原级数在时收敛，在时发散。例7.2 判定下列级数敛散性.1) 2) 3) 解 1）由于，而收敛，则原级数收敛.2）由于，故原级数收敛.3）方法1°

3、; 由泰勒公式知则 而收敛，则原级数收敛.方法2° 由不等式知.而收敛，则原级数收敛.例7.3 设，试讨论级数的敛散性.解 由知，充分大时，且则与同敛散.而 ，则当充分大时有，从而有. 而收敛，则级数收敛.例7.4设为正项级数,下列结论正确的是(A) 若,则收敛; (B) 若存在非零常数,使,则发散.(C) 若收敛,则.(D) 若发散,则存在非零常数,使得.解法1 直接法. 由知，由比较法的极限形式知，级数与同敛散，则发散，故应选（B）.解法2排除法. 考虑，级数发散.但，则（A）和（D）都不正确.考虑，显然级数收敛，但，则（C）不正确.故应选（B）.题型二 交错级数敛散性判定例7.

4、5判定下列级数的敛散性(1) (2) 解（1）本题中的级数为交错级数，且，考虑函数.由于又 ，故单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于此时单调减且.由莱不尼兹准则知原级数收敛.例7.6设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛?为什么?解 由于单调减，且，即下有界，则存在，设，则，若，由莱不尼兹准则知级数收敛，这与题设矛盾，因此，此时，对正项级数用根值法，得，则级数收敛.题型三 任意项级数敛散性判定例7.7判定的敛散性.解 因，又，则级数与同敛散.对级数用根值法得 .则收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛.例7.8讨论是绝对收敛,条件收敛还是发散?解 先考绝对值级数. 由于，1

5、）当时，原级数绝对收敛.2）当时，原级数发散。由于，当充分大时，则，从而，故级数发散.3）当时，若，原级数为时收敛，时发散. 若，原级数为.该级数在时绝对收敛；在时条件收敛，在时发散.例7.9设常数,则级数（A）发散; (B)绝对收敛; (C)条件收敛; (D)敛散与发散与取值有关.解，显然绝对收敛，而条件收敛，则原级数条件收敛，故应选（C）.7.10设常数，且级数收敛，则级数.(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)敛散性与有关. 解 由不等式知.而和都收敛，则原级数绝对收敛，故应选（C）.例7.11设,(),则下列级数中肯定收敛的是(A) ; (B) ; (C) ; (D)

6、 .解法1直接法. 由知，. 而收敛，则级数肯定收敛，故应选（D）.解法2排除法. 1）取，显然，但发散，发散，则（A）和（C）不正确.2）取显然有，但，而收敛，发散，则发散，则（B）不正确.故应选（D）.例7.12设级数收敛,则必收敛的级数为(A); (B) ; (C); (D). 解法1直接法. 由于收敛，则也收敛. 从而有收敛，故应选（D）.解法2排除法. 1）取，由交错级数的莱不尼兹准则知收敛，但发散. 则（A）不正确.2）取，显然收敛，发散，则（B）不正确，而，由于，而发散，则发散，（C）不正确，故应选（D）.例7.13设,且,则级数.(A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件

7、收敛; (D) 敛散性不定.解 由，知，.令 ，则 .由级数定义知原级数收敛，但由于，而发散，则发散，故原级数条件收敛.例7.14设收敛,则级数.(A)条件收敛; (B) 绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定. 解 由于级数收敛，由级数收敛的必要条件知，则数列有界，即存在，对一切的有，从而有.而级数收敛，则级数绝对收敛，故应选（B）.题型四 证明题与综合题例7.15设级数收敛, 绝对收敛,证明级数绝对收敛.证 由于级数收敛，则其部分和数列有极限，从而数列收敛，由于收敛数列必有界，则存在，使，从而有 ，而绝对收敛，则收敛，即绝对收敛.例7.16 设极限存在,证明级数收敛.证法1由于极限存在

8、，则数列有界，即存在，使，从而有 因此. 而级数收敛，则收敛.证法2由于极限存在，不妨设为，则，从而有，即.由于级数收敛，则收敛.例7.17设在上可导,且,对一切,有,令,其中,证明绝对收敛.证 由于，而级数收敛，则级数绝对收敛.例7.18设,证明(1) 存在;(2) 收敛.证（1）因为，则下有界.又，则单调减，由数列单调有界准则知存在.（2）由（1）知，记，由于存在，存在，即级数收敛，由比较判别法知级数收敛.例7.19设有方程,其中为正整数,证明此方程存在唯一正实数,并证明当时,级数收敛.证 令，当时，则在上单调增，而，由此可知方程存在唯一正实根，由及知.当时级数收敛，由比较判别法知级数收敛

9、.例7.20设在点的某邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛.证法1由于，则，且.由泰勒公式可知.由题设可知在包含原点的某个闭区间上连续，则存在，使，令，当充分大时，有. 因为级数收敛，则级数绝对收敛.证法2 由于，则，且.加之的连续性，由洛必达法则知从而有. 由于级数收敛，则级数收敛，即绝对收敛.第二节 幂级数1.收敛半径;收敛区间;收敛域.定理1(阿贝尔定理)(1) 若当时收敛，则当时，绝对收敛.(2) 若当时发散,则当时，发散.定理2 如果,则.定理3 如果,则.2.幂级数的性质:(1)四则运算性质: 和,差,积,商.(2)分析性质:连续性,可导性,可积性.3.函数的幂级数展开.1

10、)定理:设在处任意阶可导,则收敛于.2)几个常用的展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）题型一 求收敛域例7.21求下列幂级数的收敛域(1) (2) (3) (4) 解（1），则.故原幂级数收敛域为.（2）.或.则.当时，原级数为，由于发散，收敛，则原幂级数在处发散.当时，原级数为，则原幂级数在处收敛，故原幂级数收敛域为.（3），由于该幂级数只有偶次项，则.当时，原级数为发散.则原幂级数收敛域为.（4）不存在，而，由于，且，但不存在，则不存在. 因此，分别考虑幂级数和.容易求得幂级数的收敛半径，而幂级数的收敛半径，则原幂级数收敛半径为.当时，收敛，发散，则原幂级数发散，故原幂级数收敛域为.

11、例7.22 设幂级数在收敛,在发散,则该幂级数收敛域为.解 由于幂级数在处收敛，在处发散，由阿贝尔定理知当，即，原幂级数收敛.当，即，原幂级数发散.则该幂级数收敛域为例7.23已知在处条件收敛，则在处(A) 绝对收敛 （B）条件收敛（C）必发散（D）敛散性由确定（A）题型二 将函数展开为幂级数例7.24将下列函数展开为的幂级数.(1); (2);(3)(4)(5) (6)(7)解（1）.（2）.（3）.，又，则.（4），则 .（5），.（6）.（7）.例7.25将下列函数在指定点处展开为幂级数.(1)在处; (2)在处;(3) 在处.解 （1）.（2）.（3）.例7.26将展开为的幂级数,并求

12、. 解 ，则.于是项系数 .从而有 .例7.27 设,求解 由于，则.于是 ，从而.，从而.题型三 级数求和例7.27求下列幂级数的和函数(1) (2) (3) (4) 解 （1）易求得该幂级数收敛域为. 令. 当时，.当时，故 （2），则. 当时，原级数为 发散. 则原级数收敛域为.令 ， ，当时，. 当时，故 .（3）.（4）易求得该级数收敛域为.例7.29求下列常数项级数的和.(1) (2) 解（1）令， ，则故 .注：这里用到，这是一个常用的结论.（2），.令 ，.故 .例7.30求幂级数的和函数.解法1 由于，则.从而有 .故 .解法2 令，则，.解一阶线性微分方程 得.由知，. 则

13、.例7.31设,求极限. 解 令 ，易求得 例7.32设,试证在处必收敛,并求其和函数. 解 由及知单调增，即.则 .从而有 .而级数在，即时绝对收敛，则级数在处收敛.令 ，则 .第三节 傅里叶级数1.傅里叶系数与傅里叶级数:2.收敛定理设在上连续或有有限个第一类间断点,且只有有限个极值点,则的傅里叶级数在上处处收敛,且收敛于i),当为的连续点.ii),当为的间断点.iii) ,当3.周期为的函数的展开.(1)上展开.(2) 上奇偶函数的展开.i) 为奇函数.ii) 为偶函数.(3)在上展为正弦或展为余弦.i)展为正弦.ii)展为余弦.4.周期为的函数的展开.(1)上展开.(2) 上奇偶函数的展开.i) 为奇函数.ii) 为偶函数.(3)在上展为正弦或展为余弦.i)展为正弦.ii)展为余弦.题型一 有关收敛定理的问题例7.33函数在上展开为傅里级数的和函数.解 由收敛定理知例7.34设则其以为周期的傅里叶级数在处收敛于. 解由收敛定理知，在处收敛于例7.35设函数,而其中,则为(A); (B); (C); (D).解 由题设知，原题是将在上作为奇延拓按周期2展开，则.故应选（B）.例7.36设,