第七讲常微分方程

1、第七讲 常微分方程. 考试要求1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法3理解线性微分方程解的性质及解的结构4掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法5会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程6会用微分方程解决一些简单的应用问题注：(1) 数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程：；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程(2) 数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程：，；会解某些高于二阶的常系

2、数齐次线性微分方程(3) 数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题. 考试内容一基本概念1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. 一般形如.2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶. 3. 使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.4. 如果解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数, 称其为微分方程的通解.5. 对于一阶(或二阶)微分方程, 给定时的函数值(或再给出此时的导数值), 则可将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初始条件(定解条件

3、).二一阶微分方程形式:, , .1可分离变量方程：通解为 2齐次方程：令，有，得，通解为 ，在通解中代回3*一阶线性方程：通解为: 解的结构: 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解一阶线性方程的另一种形式为：，通解为: 4伯努利方程（数一、二）：令 ，方程化为一阶线性方程，由一阶线性方程的通解公式求出通解，代入即可得到原方程的通解【例1】【解】5全微分方程（数一、二）： ，其中.其通解为，这里称为微分式的原函数(1) ；或者，；(2) 由，通过不定积分求得； ，则，.(3) 用分组凑微分法求出，使得，6. 简单的变量代换解某些微分方程【例2】解微分方程.作变换三. 可降阶微分方程（数一、二要求）

4、1：方程两边对积分次，即可求得通解2，称为不显含的可降阶方程，令，原方程化为一阶方程 3，称为不显含的可降阶方程，令，原方程化为一阶方程【例3】求微分方程满足条件的特解. 分析： 可降阶第二种微分方程及一阶线性微分方程解法,凑微分.【解1】设,则;原方程化为, 解此一阶线性微分方程,得, 从而由可知.【解2】原方程可化为【例4】求微分方程满足初始条件的特解. 解题思路 可降解微分方程及一阶线性微分方程解法.【解】设,则;原方程化为,则,解此一阶线性微分方程,得,由,可知;取,从而由可知.【例5】微分方程满足条件,的特解是 .分析： 用可降阶第三种微分方程的解法求解.【解】 变量替换, 令, 于

5、是上述方程化为.时, 得, 没有满足初始条件的解. 时，分离变量. 解此方程得到, 即；由此推出.根据两个初值条件可以得到，. 于是所求特解是.【例6】（11218）设函数具有二阶导数， 且曲线与直线相切于原点， 记为曲线在点处切线的倾角， 若， 求的表达式.分析： 用可降阶第二、三种微分方程的解法求解.【解】 由题设， 由为曲线在点处切线的倾角，得，则令，代入方程，得，由，可知，所以，解之，得，由，可知，因此，四、二阶线性微分方程解的性质与解的结构(n阶相同)二阶非齐次线性微分方程： 二阶齐次线性微分方程： 1若,是方程 的两个解，则是方程 的解；2若,是方程 的两个解，则是方程 的解；3若

6、,分别是方程 ， 的解，则是方程 的解；4若,是方程 的两个线性无关解，则方程 的通解为 ；5若,是方程 的两个线性无关解，是方程 的一个特解，则方程 的通解为 ；6（叠加原理）若,分别是方程与 的解，则为方程 的解五、二阶常系数线性微分方程的解法标准形式为 1求齐次方程的通解对应的特征方程为 ，其两个特征根为,，按特征根,的不同情形得方程的通解如下表特征根的情况通 解为实根为重根为共轭复根2求非齐次方程的特解按下表确定特解的形式的形式特解的形式，六、欧拉方程（数一要求）二阶欧拉方程：，令：，得 ，代入原方程，将原方程化为二阶常系数线性微分方程：【例7】欧拉方程的通解为_【解】 令，则 ， ，

7、代入原方程，整理得 ，解此方程，得通解为 七、一阶常系数线性差分方程（数三要求）一阶常系数线性差分方程的通解为对应的齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和，即1齐次方程的通解为（为任意常数）2非齐次方程的特解的形式按下表确定的形式与的关系特解的形式【例8】差分方程的通解为_【解】齐次差分方程的通解为设非齐次方程的特解为，代入原方程得，因此，原方程的通解为【例9】差分方程的通解为_【解】将原方程化为标准形式 对应的齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为，代入方程得，因此，原方程的通解为【例10】某公式每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元若以表示第 t 年的工资总额（单位：百万元）

8、，则满足的差分方程是_【解】由题设，有 ，即得所满足的差分方程 . 题型与例题一一阶方程方法： 1. 判断类型 2. 变量代换【例1】当时, 是比较高阶的无穷小量, 函数在任意点处的增量, 且. 则 . . . . .分析：可分离变量.【解】 由，得，即，则，解之，得，由，可知，故应选.【例2】求微分方程的通解.分析：1.齐次方程 2.分组凑微分 【解1】 变形得，作变量代换，则，代入原方程，得，化简，得，则，得.【例3】设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式【解】由方程可得 . 方程两边对求导得 ，此为一阶线性方程，解之得 ， 将代入上式得 ，故.注: 在解微分方程时, 得到通解就结束

9、了. 除非原题中给定初值, 还需确定任意常数,以得到特解. 在解积分方程时, 情况不同. 因为积分方程不但给出函数关系, 还可能同时给出初值.【例4】解微分方程.【解】将变量看作自变量时, 这是一阶线性微分方程.将方程代入一阶线性微分方程解的公式, 二高阶常系数线性微分方程【例4】（02119）已知函数满足方程及，（）求的表达式；（）求曲线的拐点.【解】（）的特征方程为，特征根为，所以，方程的通解为，代入，得，则，故.（）曲线方程为,.当时, ;当时, ,而时,;可见是唯一拐点.【例5】求解微分方程，并求满足的特解.【解】.方程的通解为.由初始条件,得.【例6】求微分方程的通解. 解题思路:

10、在用待定系数法求该方程的特解时, 注意此方程右端是两个函数和之和, 所以需要分别求出方程的特解和的特解. 然后得到原方程的一个特解. 【解】 高阶线性. 首先求出对应的齐次方程的通解:. 然后用待定系数法求非齐次方程的特解. 因为不是特征根, 所以该方程具有形如的特解, 将其代入方程求出. 再用待定系数法求非齐次方程的特解. 由于纯虚数是特征根, 所以该方程具有形如的特解, 将其代入方程求出, 所以. 因此原方程的一个特解为, 原方程的通解是.三解的性质与结构【例7】设线性无关函数都是非齐次方程的解，为任意常数，则该非齐次方程的通解是 (A) (B) (C) (D) 【例8】函数满足的一个微分方程是 (A) (B) (C) (D) 【解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 .则对应的齐次微分方程的特征方程为 .故对应的齐次微分方程为 .又为原微分方程的一个特解，而为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式（为常数）.所以综合比较四个选项，应选. 四综合题【例10】设，其中函数在内满足以下条件：，且，(1) 求所满足的一阶微分方程；(2) 求出的表达式【解】 (1) 由 = =，故所满足的一阶微分方程为.(2) =，将代入上式