矩阵的基本概念与基本运算

1、§1.2 矩阵的基本概念与基本运算一、 矩阵的基本概念定义 m×n个数构成的m行n列的矩形数表称为m×n矩阵，简记为。注 几种特殊的矩阵：n阶方阵：行数与列数均为n的矩阵注: 1阶方阵可视为数 设，称 为A的主对角元 行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵：全部元素均为零的矩阵，记为0例 某电视机厂生产三种型号的29英寸彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3(塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部

2、件所需原材料的数量在下列两表中给出:TC-1TC-2TC-3S1111S2345S3246S4111S1S2S3S4M12440M214004M312110可以用另一种形式来表示这些数据： 例 某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：例 某公司有项工作需向社会临时招聘名人员，这些工作必须同时进行。现有甲、乙、丙三人前来应聘，他们对这些工作提出了各自的费用要求，见下表（单位:百元）工作一工作二工作三甲539637乙478741丙609236问如何安排这3人的工作，可使公司的总付出最小？解 根据要求

3、，这些工作需由不同的人员承担，利用上表，构造一个矩阵 每一种安排方案，对应中的3个元素，它们分属3个不同的行与3个不同的列。每一种方案的费用即为对应3个元素的和。于是，问题转化为：求费用最小的方案，即找中不同行不同列的3个元素，使它们的和最小。中不同行不同列元素的3元组共有6个，穷举如下满足要求的3元组有两个，它们的和最小，均为176。由此得有两种方案的总费用最少，均为元：甲工作一 甲工作三乙工作二 或 乙工作一丙工作三 丙工作二。二、矩阵的基本运算1、 矩阵相等定义 设与是两个矩阵，若它们满足（1）m=p且n=q，（2）= 其中。则称A与B相等，记为A=B。等价说法：(1)同型（行数=行数；

4、列数=列数）(2)对应元素相等 2、 线性运算 上例中，若甲、乙、丙继续承担第二阶段工作，其费用矩阵与完全相同，即 ，则对第一阶段的最优安排方案也是对第二阶段的最优方案。此时，总的费用矩阵为 ；若费用矩阵与不相同，例如 ，则总的费用矩阵为。l 矩阵加法定义 设 令 称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为 。 注 只有同型矩阵才可以相加l 矩阵数乘定义 设 是矩阵，k是数，令称矩阵B为数k与矩阵A的数量积，记为B= k A。 称为A的负矩阵，记为 。规定：，称为A与B的差。例 1组与2组都需要去教材科领取种类相同但数量不同的教材，领书单简记为 X = ， Y = 令 Z = X + Y = 则1组按

5、Z领回书后，通过运算交给2组应得的教材Y = ZX。 例 设A = ，B = 计算2A-B性质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性质 （1）A+B=B+A （2）（A+B）+ C = A +（B+C） （3）A +（-A）= 0 （4）A+0= A （5）1A = A （6）（k l）A = k（l A） （7）（k+l）A = k A + l A （8）k（A+B）= k A + k B例 已知A-2B = 3A-C，其中 A = ， C = 求B。3、 矩阵乘法定义 设，令称矩阵 为矩阵与矩阵的积，记为 。注 可乘的必要条件：A的列数=B的行数 例 生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所需原材

6、料的情况分别可用矩阵S与M表示出来，S= , M=我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢？ 例（1）（2） （3）l 线性方程组的矩阵表示： 令则可表为称之为线性方程组（*）的矩阵表达式。结论 数组是的一个解的充分必要条件是 。性质 矩阵的乘法具有下述性质： （1）（AB）C=A（BC） （2）A（B+C）= AB + AC，(B+C）A = BA + CA （3）k（AB）=（kA）B=A（kB）定义 主对角元全为1、其余元素全为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为 或 I 。性质 对任一m×n矩阵，均有 。例 设AX=B，CA=I，其中求X。定义 设A是方阵，k是正整数，称k个A的连

7、乘积为A的k次幂，记为；我们规定；称 为方阵A的多项式，这里均为数。例 设A=，计算。性质 设A是方阵，k,l是非负整数，f(x)是x的一元多项式，则有（1） （2）若f(x)=g(x)h(x)，则 f(A)=g(A)h(A)，这里g(x)，h(x)也是x的一元多项式，f(A)表示若 f(x)=，则f(A)=。例 设A是方阵，则。例 设 ，计算。解 因为所以猜想 。 对n作归纳法验证此猜想：n =1，结论成立；设结论对n -1成立；下面证明结论对n也成立。 ，根据归纳法原理可知，上述猜想对任意n均成立。 例 设A=BC，其中 计算。 解 。例（矩阵二项式定理） 设A与B是同阶方阵，n是正整数。

8、如果AB=BA，那么 这里 。注 数的乘法运算式对矩阵必须满足可交换条件才能成立。例 计算 。解 因为 且 所以 。 注 矩阵乘法应该注意的问题：I. 一般地， AB有意义，但不一定BA也有意义 即使AB与BA都有意义，它们也不一定同型 即使AB与BA同型，它们也不一定相等 例 II. 用同一矩阵乘等式的两边必须同时左乘 或同时右乘例 III. ，这里A与B是同阶方阵IV. 由AB=0不能导出A=0或B=0例V. 由AB=AC，A0不能导出B=C (矩阵乘法不满足消去律)例= 例 已知 ，而 ，(注：方阵和单位阵总是可交换的)a:结论 是否正确？b:由,从而有， 对吗？解 结论 是不对的。同理，由 也不能导出A=2I。例 设A、B是同阶方阵，则等式成立的充分必要条件为 AB=BA。3、 转置 定义 设A是m×n矩阵， 把A的行写成列，得到n×m矩阵称之为A的转置矩阵，简称为A的转置，记为。例例 设A是实矩阵（元素全为实数），若，则A = 0。证明：令可得 因C=0，故 。已知 均为实数，所以必有 。由此得 A=0 。性质 设A、B是任意两个矩阵，k是任意数，则有（1）（2）（3）（4）例 设A与B是同阶方阵，则