高中数学知识点总结大全_______：空间向量与立体几何

1、WORD格式高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算（ 1空间向量的根本知识：定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向一样、长度相等的有向线段表示一样向量或相等的向量。空间向量根本定理：专业资料整理WORD格式定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、专业资料整理WORD格式y、 z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基

2、底，通常用表示。专业资料整理WORD格式 空间四点共面：设O、A、B、C 是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有专业资料整理WORD格式序实数组 x、y、z，使共线向量平行向量 ：。专业资料整理WORD格式定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。规定：零向量与任意向量共线；共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。专业资料整理WORD格式向量与平面平行：如果直线 OA平行于平面或在 内，那么说向量平行于平

3、面 ，记作。专业资料整理WORD格式平行于同一平面的向量，也是共面向量。专业资料整理WORD格式共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是： 存在实数对 x、y，使。空间的三个向量共面的条件：当、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。专业资料整理WORD格式共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得专业资料整理WORD格式，或对于空间任意一定点O，有。专业资料整理WORD格式空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点

4、O，作，两个向量的起点一定要一样，那么叫做向量与的夹角，记作，且。两个向量的数量积：定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。规定：零向量与任一向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积或内积，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影其中为向量和的夹角。即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。根本性质：运算律：2空间向量的线性运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法：减法：专业资料整理WORD格式数乘向量：运算律：加法交换律：加法结合律：专业资料整理WORD格式

5、数乘分配律：二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量那么侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。2、根据空间向量的根本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循 “三步 ：一化向量问题，二进展向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进展数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适

6、用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。2、空间向量的坐标表示：1空间直角坐标系：专业资料整理WORD格式空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O 和一个单位正交基底，以点O 为原点，分专业资料整理WORD格式别以的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫做坐标轴，点O 叫做原点，向专业资料整理WORD格式量叫做坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz 平面，zOx专业资料整理WORD格式平面。右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以

7、 90角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向；构成元素：点原点 、线 x、y、z 轴、面 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面；空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系 O-xyz 时，一般使 xOy=135(或 45), yOz=90， z 轴垂直于 y 轴， z 轴、 y 轴的单位长度一样， x 轴上的单位长度为 y 轴或 z 轴的一半； 2空间向量的坐标表示：空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量如图，专业资料整理WORD格式由空间向量根本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。在空间直角坐标系O-xyz 中，对于空间任一点A，对应一个向量，

8、假设，那么有序数组 (x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y， z)，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标， z 叫做点 A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。空间任一点的坐标确实定：过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面或垂面，分别交坐标轴于A、B、C 三点， x = OA， y = OB， z = OC，当与的方向一样时， x 0，当与的方向相反时， x 0，同理可确 y、z如图。规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去

9、起点的坐标。设，那么：3空间向量的直角坐标运算：专业资料整理WORD格式空间两点间距离：；专业资料整理WORD格式空间线段的中点 M x，y，z的坐标：；球面方程：二、复习点睛：4、过定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有一样的长度单位。这三条轴分别叫做 z 轴横轴、y 轴纵轴、z 轴竖轴；统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴那么是铅垂线； 它们的正方向要符合右手规那么， 即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O 叫做坐标原点。5、空间直角坐标系中的特殊点:（ 1点原点的坐标： (0,0,0)；（ 2线坐标轴上的点的坐标： x 轴上

10、的坐标为 (x,0,0)，y 轴上的坐标为 (0,y,0)， z 轴上的坐标为(0,0,z)；3面 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为 (x,0,z)6、要使向量 与 z 轴垂直，只要 z=0 即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为 0 即可。7、空间直角坐标系中，方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面，方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c

11、表示平行于平面 xOy 平面；8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法那么与平面向量一样；9、由空间向量根本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三专业资料整理WORD格式个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的根底。立体几何中的向量方法专业资料整理WORD格式1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么 ab (a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么 ab ab

12、 a1b1，a2b2， a3b3( R)，a b ab0 a1b1a2b2a3b30(a，b 均为非零向量 )(3)模、夹角和距离公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么|a| aa a21 a22a23，专业资料整理WORD格式11a22a33a bbba b222222.cos a， b|a|b|1a2a31b2b3ab设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，222那么 dAB|AB a2a1 b2b1 c2 c1.|2立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量确实定直线的方向向量： l 是空间一直线， A，B 是直线 l 上任意两点，那么称 A

13、B为直线 l 的方向向量， 与AB平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b 是平面内两不共线向量， n 为平面的法向量，那么求法na0，向量的方程组为nb0.(2)用向量证明空间中的平行关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为v1和 v2，那么l1l2(或l1与l2重合) v 1v 2.设直线 l 的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，那么 l或 l存在两个实数x， y，使vxv1yv2.设直线 l 的方向向量为v，平面的法向量为 u，那么 l或 l v u.设平面 和 的法向量分别为 u1，u2，那么 u1 u2.(3)用向量证明空间中的

14、垂直关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为v1和 v2，那么l1l2 v 1 v2 v 1v20.设直线 l 的方向向量为v，平面的法向量为 u，那么 l v u.设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，那么 u1u2 u1u2 0.(4)点面距的求法|ABn|如图，设 AB 为平面的一条斜线段， n 为平面的法向量，那么 B 到平面的距离 d|n|.一种思想向量是既有大小又有方向的量， 而用坐标表示向量是对共线向量定理、 共面向量定理和空间向量根本定理的进一步深化和标准，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐

15、标得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题专业资料整理WORD格式三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决以下问题：直线与直线平行(1)平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直(2)垂直直线与平面垂直平面与平面垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影 )的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的根底双基自测两不重合直线l1 和l2 的方向向量分别为v 1(1,0，1)，v2(2,0,2)，那么l1 与l2 的位置关系是()1A平行B相交C垂直D不确定解析 v 22v1， v 1 v2.答

16、案A2平面 内有一个点 M(1， 1,2)，平面的一个法向量是n(6， 3,6)，那么以下点 P 中在平面内的是 ()专业资料整理WORD格式AP(2,3,3)BP( 2,0,1)CP(4,4,0)DP(3， 3,4)解析 n (6， 3,6)是平面的法向量，0.答案 AnMP ，在选项A 中， MP (1,4,1)， nMP*月考 点， ， 平面 ，点，那么 0 0的(0，且AP是 AP3 (2021)A BCPAP ABACBCA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 0解析由AP AB ，得 AP AC 0(AB)0AP AC 0，即AP0，亦即 AP 0，反之，

17、假设 APCBBCBC ，未必等于 0.那么APABAP(AC)0 AP ABAC答案A4(人教 A 版教材习题改编 ) a (2， 3,1)，b (2,0,4)，c(4， 6,2)，那么以下结论正确的选项是 ()专业资料整理WORD格式Aa c， b cBa b， a c专业资料整理WORD格式Ca c， a bD以上都不对专业资料整理WORD格式解析 c ( 4， 6,2)2( 2， 3,1)2a， ac，专业资料整理WORD格式又 ab 2 2 ( 3) 0 1 4 0， a b.答案C*调研AB(2,2,1)， AC(4,5,3)，那么平面 ABC 的单位法向量是 _5 (2021)解

18、析设平面 ABC 的法向量 n (x， y， z)ABn 0，2x 2yz0，那么即4x 5y3z 0.ACn 0，1x2，1，平面n122令，得， 1，1ABC的单位法向量为 ， ，3 .z1n2|n|33y 1，122答案3，3，3考向一利用空间向量证明平行问题【例 1】如下列图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M 、N 分别是 C1C、 B1C1的中点求证： MN 平面 A1BD.审题视点 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明证明法一如下列图，以D 为原点， DA、 DC、 DD 1所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1 1则

19、 M 0， 1，2，N 2， 1， 1 ，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，11，于是 MN，0，22设平面 A1的法向量是n ， ，BD(x y z)x z 0，那么 nDA1 0，且 nDB 0，得x y 0.取 x1，得 y 1， z 1.n(1， 1， 1)专业资料整理WORD格式又1，0，1， ，MN 22n(111)0MN n，又 MN 平面 A1BD，MN 平面 A1BD.11 1 1 法二MN C1NC1M2C1B12C1C2(D1A1D1D)2DA1，MN DA1，又 MN 与 DA1不共线， MN DA1，又MN 平面 A1，1D平面1， MN平面1B

20、DAA BDA BD.【训练 1】 如下列图，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且PA AD2，E、F 、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点求证： PB平面 EFG .证明平面 PAD平面 ABCD 且 ABCD 为正方形，AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系A-xyz，那么 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)PB(2,0， 2)，FE (0， 1,0)，FG (1,1， 1)，设PBsFEtFG ，即

21、(2,0， 2)s(0， 1,0) t(1,1， 1)，t 2， ts 0，解得 2.s t t 2， PB2FE 2FG ，又 FE 与FG 不共线， PB、 FE 与 FG 共面PB平面 EFG ， PB平面 EFG .专业资料整理WORD格式考向二利用空间向量证明垂直问题专业资料整理WORD格式【例 2】如下列图，在棱长为1 的正方体 OABC-O1A1B1C1中， E， F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且AE BF x，其中 0 x 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求证 A1FC1E；1 (2)假设 A1，E，F，C1四点共面 ,求证： A1F2A1C1A1E

22、.审题视点 此题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标证明(1)由条件专业资料整理WORD格式A1(1,0,1)， F(1x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1， x,0)，(1，x1， 1)，1( x,1， 1)，C1EA F x(x 1) 10，那么A1F 1C E，即 A11A1C1EFFC E.1 (x,1， 1)，A1 1( 1,1,0)，(2)A FC1(0，x， 1)，A Ex，1x，设A1FA1C1A1E1，1解得2，1.1 A1F2A1C1A1E.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直

23、证明【训练 2】 如下列图，在四棱锥P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD，ACCD， ABC60，PAAB BC， E 是 PC 的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE.证明AB、 AD、 AP 两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系，设PA ABBC1，那么 P(0,0,1)(1) ABC 60，ABC 为正三角形C 12，23，0 ，E 14，43，12 .设 D(0， y,0)，由 AC CD，得 ACCD 0，即 y233，那么 D 0，233，0 ，13131，CD，0.又 AE4， ，2264 1133AE 0，CD2464专业资料整理WORD格式AEC

24、D，即 AECD.(2)法一 P(0,0,1)， ，2 3，1 .PD03 323 1又AE (1) 0，PD432 0，PDAE，即 PD AE.AB(1,0,0)， PDABPDAB，又 AB AE A， PD平面 AEB.131法二AB (1,0,0)，AE4，4，2，设平面 ABE 的一个法向量为 n (x， y， z)，x 0，那么1314x4 y2z 0，令 y2，那么 z 3， n(0,2， 3)2 3，3PD，1，显然 PDn.033PDn， PD平面 ABE，即 PD平面 ABE.考向三利用向量求空间距离【例 3】在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平

25、面 SAC平面 ABC，SA SC 2 3， M 、N 分别为 AB、 SB 的中点，如下列图，求点 B 到平面 CMN 的距离审题视点 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错解取 AC 的中点 O，连接 OS、OB.SA SC， AB BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO平面 ABC， SOBO.如下列图，建立空间直角坐标系O-xyz，则 B(0,2 3，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)，N(0，3， 2)2)，CM(3，3， 0)，MN (1,0，3， 0)MB(1，设 n(x， y， z)为平面 CMN 的一

26、个法向量，专业资料整理WORD格式3y0，CM n3x那么取 z 1，MN n x2z 0，则 x 2，y 6， n ( 2， 6，1)点 B 到平面 CMN 的距离|nMB |4 2d|n| 3.点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如此题，事实上，作 ，BH 平面 CMN 于 H.由BHBMMH 及BHnn BM ，得|BH n|n BM |BH | |n|nBM |nBM |所以 |BH |n|，即 d|n| .【训练 3】 (2021* )如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3.(1)求点

27、 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值解取 CD 中点 O，连 OB，OM，那么 OBCD，OMCD.又平面 MCD 平面 BCD，那么 MO 平面 BCD.取 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系如图OB OM 3，那么各点坐标分别为 C(1,0,0)，M(0,0，3)， B(0， 3， 0)，A(0，3，2 3)设 ，是平面的法向量，那么(1，3，3)，(1)MBCBC0)，BM (0， 3，n(x yz)3y3z0.由 nBC得 x3y0；由 n BM 得232 15|BAn|取 n(3，

28、1,1)，BA(0,0,23)，那么d|n| 55 .(2)CM (1,0，3)， CA (1， 3， 2 3)设平面 ACM 的法向量为 n1(x， y， z)， x3z0，解得 x3z，yz，取 n1(3， 1,1)由 n1 CM ，n1 CA得 x 3y2 3z0，又平面 BCD 的法向量为 n2 (0,0,1)n n12 5所以 cos n1，n212.设所求二面角为，那么 sin .5|n1|n2|5专业资料整理WORD格式标准解答 15立体几何中的探索性问题【问题研究】高考中立体几何局部在对有关的点、线、面位置关系考察的同时，往往也会考察一些探索性问题，主要是对一些点的位置、线段的

29、长度，空间角的X围和体积的X围的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究， 这类题目往往难度都比较大， 设问的方式一般是 “是否存在？存在给出证明，不存在说明理由 .【解决方案】解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在.【例如】 (本小题总分值14分) (2021福建)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，AB AD， AB AD4，CD2， CDA45.(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2

30、)设 ABAP.()假设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30，求线段 AB 的长；()在线段 AD 上是否存在一个点G，使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等？解答示X (1)因为 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB.又 ABAD，PAADA， 所以 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(4 分)(2)以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图 )在平面 ABCD 内，作 CEAB 交 AD 于点 E，则 CEAD.在 Rt CDE 中， DE CDcos 451，CECD sin 45 1.设 ABAPt，那么

31、B(t,0,0)， P(0,0，t)由 ABAD4 得， AD4t， (0,4t， t)(6 分)所以 E(0,3 t,0)，C(1,3 t,0)，D(0,4 t,0)， C D (1,1,0)， PD()设平面 PCD 的法向量为 n (x，y， z)， xy0，由 nCD， n PD，得4 t ytz0.取 xt，得平面 PCD 的一个法向量 n(t，t,4t)又 P B (t,0， t)，24t|故由直线 PB 与平面PCD 所成的角为 30得 cos 60，即|2t1，n P B22222|n| |P B |t t 4t 2t专业资料整理WORD格式解得4t5或 t 4(舍去 )，因为AD 4 t 0，所以4AB5.(9 分 )专业资料整理WORD格式()法一假设在线段 AD 上存在一个点 G，使得点 G 到 P， B， C，D 的距离都相等，设 G(0， m,0)(其中 0m 4 t)， (0， m， t)那么 G C (1,3tm,0)， GD(0,4 tm,0)，G P得222即 t 3 m；(1)由|G C|1(3tm)(4 tm) ，|GD|得 222由|G D|m)m t.(2)|GP |(4t由(1)、(2)消去 t，化简得 m23m40.(3)(12 分 )由于方程 (3)没有实数根，所以在线段AD 上不存