氢原子Schrodinger解中的量子数的物理意义及波函数图形分布

1、第7节 氢原子Schrodinger解中的量子数的物理意义及波函数图形分布第一部分 上节课复习内容：第二部分 本节课授课内容：1、三个量子数的物理意义2、电子自旋运动的量子数及总量子数3、波函数与电子云的图形，径向分布函数4、自然单位引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger方程分离出来的三个方程R方程、方程和方程的解而引入了三个量子数，这三个量子数的物理意义第二节 量子数的物理意义一、主量子数n1、主量子数n是在解R方程时引入的，它决定体系能量的高低，即，对于氢原子及类氢离子，原子轨道的能量在轨道运动中只决定于主量子数En=-e20428hZn22 (n=1,2,3.)当n值变大时，轨

2、道越远离原子核，而当n无穷大时，体系的能量趋近于0，所以当原子核与电子的距离为无穷远时，氢原子及类氢离子的体系总能量为0，这样的物理模型可以被当做参考体系的零点。2、下面考虑能级差随主量子数n的变化关系En=-e20428hZn22，En+1=-e20428hZ22(n+1)所以En+1=Z2Z-En=- -2 222 80hn(n+1)e4eZ80h244222n+1 22 (n+1)n=eZ80h2221 + n(n+1)2n2(n+1)2所以，当n增加时，En+1-En是减小的，即，随着主量子数n的增大，能级差是逐渐减小的。而对于一维势箱：En=nh8ml42，En+1=(n+1)h8m

3、l24，(n=1,2,3.)所以En+1-En=(n+1)-n)h8ml22(2n+1)h8ml即：随着量子数n的增加，一维势箱中的粒子的能级间隔是逐渐加大的。3、对于氢原子，Z1 所以E1=-e20428h1122=-13.595eV这个能量是氢原子基态1s轨道的总能量。 所以，氢原子及类氢离子能级公式可以写做：En=-13.595Zn22(eV)(n=1,2,3.)4、用维里定理(virial theorem)求氢原子态的动能(零点能) 对于电子体系，由virial theorem可能得到：<T>=-12<V>即：电子体系的平均动能等于负二分之一倍的平均势能 因此E

4、1s=<T>+<V>=-12<V>+<V>=12<V>=-13.6eV所以<V>=-27.2eV<T>=-12<V>=13.6eV所以，该体系的零点能是13.6 eV。二、角量子数l将角动量算符作用于nlm上可得如下公式：M2nlmh=l(l+1) 222nlm所以M2h=l(l+1) 2M=hl(l+1) 2(l=0,1,2,3.n-1)即，轨道角动量是由角量子数l决定的。另外，伴随着轨道角动量必有轨道磁矩()=-e2meM=he4mel(l+1)l(l+1)e其中e为Bohr磁子e=he4me=

5、9.27410-24JT-1三、磁量子数在解方程时引入了磁量子数m，这的物理意义是：决定电子轨道角动量在z轴上的分量Mz，也决定轨道磁矩在磁场方向上的分量z将角动量在z轴上的分量算符作用于nlm上可得如下公式：Mznlm=mh2h2nlm,(m=0,±1,±2,.±l)所以Mz=m,(m=0,±1,±2,.±l)同样，轨道磁矩可以求出，得到z=-me,(m=0,±1,±2,.±l)下面讨论Mz与M的关系对于l=2时的状态：l=2,m=0,±1,±2M=Ml(l+1)h2h2=h26,-

6、h2h2,0,h2,2h2z=m=-2四、自旋量子数电子有自旋运动，自旋量子数为s，自旋磁量子数为ms。 自旋运动角动量为：Ms=hs(s+1) 2(s=12)自旋运动角动量在z轴的分量为：Msz=msh2,(m=±12)同时伴随自旋运动又有自旋磁矩s=ges(s+1)e它在z轴的分量为：sz=-gemse其中，ge为电子的自旋因子，并且：ge=2.00232五、总量子数因为电子的轨道运动与自旋运动的角动量都是矢量，两者的矢量和就是电子的总角动量Mj，它的大小由总量子数j来规定：Mj=M+MsMj=j(j+1)h2电子的总角动量Mj沿z轴的分量Mjz由总磁量子数mj决定j=l+s,l

7、+s-1,.l-s2135=±,±,±,.,±j 222Mjx=mhjmj例如：l=2s=1/2jsjsj=l + s=5/2j=l - s =3/2Mj=(5/2)(h/2) Mj=3/2(h/2)m=0,±1,±2ms=±1/2mj=±1/2,±3/2,±5/2Mjz=±1/2,±3/2,±5/2(h/2)mj=±1/2,±3/2,Mjz=±1/2,±3/2(h/2)第三节 波函数和电子云的图形一、r,2r这种情况一般只用

8、来表示s态波函数对于氢原子及类氢离子体系，它的1s和2s波函数为：11s= a3e013z32z - ar0z2s-2arz 1z20 2-= re 3 42aa00对于1s轨道，它的波函数是与e(-zr)图象相似的，如下：问题1：对于2s波函数（200），它的函数在r为何值时会有一个节点和一个最小值？因为： 波函数最小值点r12s1z2(-zr/2)()= 2-zre 2413而当在节点位置时波函数应为0，所以2s1z2(-zr/2)()= 2-zre=0 422-zr=0r=2zau2za03 此时 或者r=几率P=1s2rsindrdd 221s2rsindrdd22=1srdrsind021s2d0 4r2dr所以，D4r21s4r222zr -e