地下水数值模拟课程复习

1、地下水数值模拟地下水数值模拟课程复习课程复习课程考试题型课程考试题型n一、填空题（一、填空题（110）n二、简答题（二、简答题（65）n三、论述题（三、论述题（103）n四、综合题（四、综合题（152）授课内容授课内容n第一章第一章 绪论绪论n第二章第二章 地下水运动的数学模型地下水运动的数学模型n第三章第三章 有限差分法有限差分法n第四章第四章 有限单元法有限单元法n第五章第五章 其他数值方法其他数值方法边界元边界元n第六章第六章 反求参数的数值方法反求参数的数值方法第一章第一章n知识点n求解数学模型的方法n常用的数值方法n数值模拟的一般步骤n重点n解析法与数值法的主要差别n地下水数值模拟的

2、步骤数学模型的求解方法数学模型的求解方法数值法数值法解析法解析法用数学上的积分方法或积用数学上的积分方法或积分变换等方法求得数学模分变换等方法求得数学模型的解析表达式型的解析表达式解的精度高，通常称为解的精度高，通常称为解解析解析解或或精确解精确解适用于含水层几何形状规适用于含水层几何形状规则、性质均匀、厚度固定、则、性质均匀、厚度固定、边界条件单一的理想情况边界条件单一的理想情况把刻画地下水问题的数学把刻画地下水问题的数学模型模型离散化离散化，解出渗流域，解出渗流域有限个结点上的数值解有限个结点上的数值解解是数学模型的解是数学模型的近似解近似解或或数值解数值解适用性广、通用性强、可适用性广、

3、通用性强、可程序化，修改模型方便程序化，修改模型方便常用的数值方法常用的数值方法n有限差分法有限差分法 （ FDM ，Finite Difference Method ）n有限元法有限元法 （ FEM， Finite Element Method） n边界元法边界元法 （ BEM ，Boundary Element Method） n离散单元法离散单元法 （DEM，Discrete Element Method）n地下水数值模拟的基本步骤地下水数值模拟的基本步骤u确定模拟范围，收集有关资料确定模拟范围，收集有关资料u建立地下水系统的概念模型建立地下水系统的概念模型u建立地下水系统的数学模型建立

4、地下水系统的数学模型u建立数值模拟模型建立数值模拟模型u模型的识别和调参模型的识别和调参u预报预报第二章n知识点n求解地下水问题的数学模型的组成n方程+定解条件（初始条件和边界条件）第三章重点n知识点：n有限差分的基本概念n三种差分格式n差分方程的特点及其求解方法n二维水流问题的差分方法n重点：n有限差分方法的基本思想及其特点n高阶导数的公式推导n显式、隐式、中心式的表达式及其区别nADI法的主要步骤有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想 从物理现象引出相应从物理现象引出相应微分方程微分方程（方程（方程+边界条件）；边界条件）； 用差分网格用差分网格离散离散求解域；求解域； 用差分公式将基本

5、方程转化为用差分公式将基本方程转化为差分方程差分方程（代数方程）；（代数方程）； 用差分方程的解作为微分方程的近似解。用差分方程的解作为微分方程的近似解。差分公式对比名称名称公式公式截断误差截断误差一一阶阶导导数数前差前差后差后差中心差中心差二阶导数二阶导数xxfxxfdxdf)()(xxxfxfdxdf)()(xxxfxxfdxdf2)()()(2xO )( xO )( xO 222)()()(2)(xxxfxfxxfdxfd)(2xO 显式差分隐式差分中心式差分差分方程公式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分截断误差收敛性稳定性无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定无

6、条件收敛和稳定 无条件收敛和稳定无条件收敛和稳定求解直接代入直接代入追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组追赶法追赶法求解代数方程组求解代数方程组thhTxhhhxhhhkikikikikikikiki1*211211111)(2)(221thhTxhhhkikikikiki1*211111)(2thhTxhhhkikikikiki1*211)(22/10)()(2tOxO)()(2tOxO)()(22tOxO ADI法的基本思想法的基本思想第一步：第一步：第二步：第二步：对对x方向取隐式差分方向取隐式差分对对y方向取显式差分方向取显式差分对对x方向取显式差分方向取显式差分对对y方向取隐式差

7、分方向取隐式差分 每推进一个时间水平，需要求解式（a）（b）各一次，在x、y方向交替使用隐式差分，故称为交替方向隐式差分法。 2/)(2)(221,1,*211,1,11,221, 121,21, 1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikjin从从k+1/2k+1/2时刻到时刻到k+1k+1时刻时刻（b）2/)(2)(2,21,*21,1,221, 121,21, 1thhTyhhhxhhhkjikjikjikjikjikjikjikjin从从k k时刻到时刻到k+1/2k+1/2时刻时刻（a）每个方程中只含有三个未知数，形成三对角方程组，可用追赶法求解无条件收敛

8、和稳定截断误差为：高阶导数的有限差分形式高阶导数的有限差分形式yxf2?015234678910111202yxf033xf0224yxf第四章重点n知识点：n有限单元法的基本概念n三角形单元的有限单元方程n四边形单元的有限单元方程n重点：n有限单元法的基本思想及其特点n加权余量法及伽辽金法的基本原理n三角形单元基函数的表达形式及其性质n有限单元方程系数矩阵的运算及整体分析n等参有限元的基本概念有限单元法的基本思想 把连续系统离散成有限个单元，并在每一个单元中把连续系统离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相

9、连接的一组单元的集合体；的一组单元的集合体； 选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律；律； 建立用于求解节点未知量的有限元方程组。建立用于求解节点未知量的有限元方程组。 加权余量法z)y,(x, 0)(fuLfNLfuLnjjj1)(对对n n个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数 01dfNLdinjjji取权函数，使得余量的加权积分为零，从而求得微分取权函数，使得

10、余量的加权积分为零，从而求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。方程近似解的方法称为加权余量法。 伽辽金方法将权函数取为基函数。伽辽金方法将权函数取为基函数。 三角形单元的基函数三角形单元的基函数kkjjiiHNHNHNyxH),(ycxbaNycxbaNycxbaNkkkekjjjejiiiei212121基函数基函数 基本性质：基本性质：jijiyxNjji 0 1),(1),(),(),(yxNyxNyxNkji有限单元方程的组成FdtdHPHD导水矩阵导水矩阵给水矩阵给水矩阵源汇项列阵源汇项列阵边界列阵边界列阵基函数的积分运算基函数的积分运算12dxdyNNeji62dxdyNei3d

11、xdyNei2ilillldsN等参有限元任意四边形单元与典型正方形任意四边形单元与典型正方形单元之间的坐标变换所用的参数与单元之间的坐标变换所用的参数与单元内水头插值所用的参数一致，单元内水头插值所用的参数一致，都是相同的单元基函数，故该方法都是相同的单元基函数，故该方法称为称为等参有限元法等参有限元法。 mmkkjjiimmkkjjiiNyNyNyNyyNxNxNxNxx坐标变换式：坐标变换式：1141),( 1141),( 1141),( 1141),( mkjiNNNN其中：其中：mmkkjjiiNxNxNxNxx水头的近似表达式水头的近似表达式 第五章n边界单元法的基本思想n将微分方程的基本解化为边界积分方程，将边界剖分将微分方程的基本解化为边界积分方程，将边界剖分为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程化为代数方程求解。化为代数方程求解。n边界单元法的优缺点优点优点缺点缺点1、降低问题求解的空间维数、降低问