时间序列中的ARMA模型

1、.1ARMA模型的概念和构造模型的概念和构造 .2一、一、ARIMA模型的基本内涵模型的基本内涵一、一、ARMA模型的概念模型的概念n自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。n包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。.3ARIMA模型的概念模型的概念一一. 移动平均过程移动平均过程1. 移动平均（移动平均（MA）过程的表示：）过程的表示：n其中u为常数项，为白噪音过程n引入滞后算子L，原式可以写成: 或者 tt1t-12t-

2、2qt-qY =u+.+ qititti=1Y = u+L+ttY = u+(L )2q12q(L )= 1 +L +L.L.4ARIMA模型的概念模型的概念2.MA（q）过程的特征）过程的特征n1.n2.n3.自协方差 当kq时 0 当kq时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征n如下图：222j1j+12j+2qq-j12q1 j=0ACF(j)(.) (1.)0 jq .19ARMA模型的识别模型的识别n MA（2）过程 tt-1t 2ty =0.5u0.3uu.20ARMA模型的识别模型的识别 AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数n 时，偏自相关函数的取

3、值不为0n 时，偏自相关函数的取值为0nAR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾n如下图：jpj q.21ARMA模型的识别模型的识别tt-1ty = 0 .5 yu.22ARMA模型的识别模型的识别tt-1ty= yu.23ARMA模型的识别模型的识别AR(p)过程的自相关函数以及过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏过程的偏自相关函数自相关函数n平稳的AR(P)过程可以转化为一个MA(）过程，则AR(P)过程的自相关函数是拖尾的n一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。.24ARMA模型的识别模型的识别ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相过程的自相关

4、函数和偏自相关函数关函数nARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的n如下图：.25ARIMA模型的识别模型的识别tt-1t-1ty =0.5y0.5uu.26ARMA模型的识别模型的识别3. 利用自相关函数、偏自相关函数对利用自相关函数、偏自相关函数对ARMA模型进行识别模型进行识别n通过ADF检验，来判断序列过程的平稳性；n利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p, q的值。.27（二）（二）ARMA模型的估计模型的估计ARMA模型的估计方法：模型的估计方法：n矩估计n极大似然估计n非线性估计n最小二乘估计.28（三）（三）ARMA模型的诊断模型的诊断一一. 诊断的含义诊断

5、的含义二二. 诊断的方法诊断的方法三三. 检验统计量检验统计量n Box和Pierce提出的Q统计量n Ljung和Box(1978)提出的LB统计量。.29ARIMA模型的诊断模型的诊断1. Q统计量统计量 ，近似服从 （大样本中） 分布n其中n为样本容量，m为滞后长度2. LB统计量统计量 ，服从 分布，其 中n为样本容量，m为滞后长度。3. LB统计量的特点统计量的特点m2kk = 1Q = n2(m)m2kk=1LB=n(n+2)(n-k)2(m).30ARMA模型的诊断模型的诊断四四. 信息准则信息准则(information criteria) nAkaike 信息准则nSchwa

6、rz 信息准则nHannan-Quinn 信息准则n其中 为残差平方， 是所有估计参数的个数，T为样本容量。22kAIC=log()T2kSC=log()logTT22kHQIC=log()log(log T)T2k = p + q + 1.31ARMA模型的预测模型的预测一一. 基于基于AR模型的预测模型的预测n以平稳的AR(2)过程为例：n其中 为零均值白噪音过程 nt1t-12t-2tY = c+Y+Y+ utut+ 11t2t-1t+ 1Y= c+Y +Y+ ut+ 21t+ 12tt+ 2Y= c+Y+Y + u.32ARMA模型的预测模型的预测n在t时刻，预测 的值： =n在t时刻

7、，预测 的值： 同理：nn结论t,1t+ 1tf= E (YI )1t-12t-2c+Y+Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1 t,12tf =E(YI) =c+E(YI)+Y =c+f +Yt,31t,22t,1f= c +f+ft,41t,32t,2f= c+f+f.33ARMA模型的预测模型的预测二二. 基于基于MA过程的预测过程的预测n过程n结论： MA (2) 过程仅有2期的记忆力.34ARMA模型的预测模型的预测三三. 基于基于ARMA过程的预测过程的预测n结合对AR过程和MA过程进行预测nARMA模型一般用于短期预测.35五、实例：五、实例：ARMA模型在金融数模型在金融数据中的应用据中的应用n数据数据： 1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间序列数据n目的目的： 说明在Eviews5.0 软件中利用B-J方法论建立合适的ARIMA（p,d,q）模型.36ARMA模型的估计模型的估计.37利用利用ARMA模型进行预测模型进行预测n 用用dynamic方法估计方法估计2003年年1