电工与电子技术第二章-电路的暂态分析

1、1电工与电子技术曹现刚西安科技大学机械工程学院 2004.9第二章 电路的暂态分析 电路在一定条件下可以处于稳定状态，但条件发生变化时电路的状态就会发生变化。并且，任何稳定状态都是由其它状态转换来的。 在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，而需要一个过程即过渡过程。电路中也有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流的存在使电容继续放电。 本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也就是

2、电路的暂态过程。可见只要 uC 0，则放电过程就不能停止，但电阻的存在又不能使电流过大，直至电容电压 uC = 0 为止。iuCR研究暂态电路的方法：研究暂态电路的方法：一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定律。实验分析方法，将在实验课程中应用示波器等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规律。本章主要分析RC及RL一阶线性电路的暂态过程，电路的激励仅限于阶跃电压或矩形脉冲电压。重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常数。2-1

3、. 换路定则 u 与 i 初始值的确定 换路换路指电路因接通、断开、短路以及电压或电路参数的改变。都不能突变。2/LiW2LL不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能分别为2/CuW2CC和换路定则换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0 和t=0+分别是换路前后的极限时刻。从 t=0 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压不能突变。可表示为)0(i)0(iLL)0(u)0(uCC暂态过程的初始值暂态过程的初始值 由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值初始值。初始值的确定初始值的确定，

4、要依据换路定则及电路性质来分析，也受电路约束方程的制约。换路前的瞬间，将电路视为稳态电容开路、电感短路。换路后的瞬间，将电容用定值电压 uC(0) 或电感用 i L(0) 定值电流代替。若电路无储能，则视电容C为短路，电感L为开路。根据克希荷夫定律计算出其它电压及电流各量。例 试确定如图电路在开关S 断开后的初始值。6ViCi1i2uC42C+S0t 0t在 t = 0 时刻V4uC,0iC,A1ii21在 t = 0 + 时刻,V4uC0i2,A1iiC16ViCi1i2uC42C+S0t 解解2-2. RC电路的响应电路的响应对暂态电路用经典的分析方法，就是根据激励计算电压和电流响应的时间

5、函数，这是一种时域分析法。本节讨论一阶本节讨论一阶RC电路电路一、RC电路的零输入响应所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在电容元件的初始状态作用下所产生的响应。实际上也就是分析在电容元件放电过程中所产生响应的规律。URiuRuCC+S0t 21RC电路的一阶响应而0uuCR此式是关于uC 的一阶线性微分方程。可知其通解为tRC1CAeu在开关S由2 掷向1 时，RC回路电压方程为iURuRuCC+S0t 21dtduRCiRuCR0udtduRCCC其中A为积分常数(与初始值有关) 对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，也可应用分离变量法求解。RC电路的一阶响应得0udtd

6、uRCCCCCuRC1dtduRCdtuduCCkRCtulnCRCtkRCtkRCtCkeeeeu时间常数 = RC 的意义 在前面讨论中，知暂态过程的变化与RC乘积有关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为U0为电容换路瞬时的端电压，RC乘积具有时间的量纲，称为电路的时间常数。当 t = RC 时uC 随时间的变化关系曲线如右图RC电路的一阶响应tRC10CeUu010CU%8 .36eUuU0ut0U0 eRC电路的一阶响应1e 2e4e3e6e5e 2 3 4 6 5050. 0018. 0135. 0368. 0007. 0002. 0 很显然，从理论上讲，电路只有经过很显然，从理论上

7、讲，电路只有经过的时的时间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经过（过（35）时，就足可以认为达到稳定状态。时，就足可以认为达到稳定状态。RC电路的一阶响应的几何意义：次切线的截距的几何意义：次切线的截距U0ut0U0 et0t0CCeU1eUdt) t (du) t (utgABBC的计算：从的计算：从C C两端看进两端看进去的戴维南等效电阻。去的戴维南等效电阻。的实验求法：的实验求法：从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。 所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，uC(0)=0。在此条件下，由电源

8、激励所产生的电路的响应，称为零状态响应零状态响应。三、RC电路的零状态响应电路的零状态响应电路电路 (见右图见右图 )iURuRuCC+S0t 初始值初始值电路的激励电路的激励u =0U(t 0)ut0U阶 跃 激 励阶 跃 激 励0)0()0(CCuu电路方程电路方程其中iURuRuCC+S0t 应用分离变量法可得在在 t 0 时，回路的电压方程为时，回路的电压方程为CCCudtduRCuRiUdtduCiC)(1UuRCdtduCCRCdtUuduCC将上式积分，得整理后，有iURuRuCC+S0t 考虑初始条件得则电容的暂态电压为RCdtUuduCCkRCtUuC)ln(RCtCekUu

9、0)0(CuUk)1 (RCtCeUuRC = 仍为电路的时间常数，当 t = 时)718. 211 ()1 (1UeUuCiURuRuCC+S0t UU%2 .63)368. 01 (ut0U电容中的电流为)1(RCtCeUuRCtCeRUdtduCi三、RC电路的全响应电路的全响应 全响应 是指电源的激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时的电路响应。根据叠加原理，可认为是零输入响应与零状态响应的叠加。以如图电路为例，说明电路的响应规律。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0初始值初始值的确定：在在t=0时，)0()0(CCuu1212URRR电路的方程方程在 t0

10、时，+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0或或整理后得整理后得或或021Ciii0212dtduCRuRuUCCC2211)1 (UuRRdtduCRCCCCuCRRRRdtdu2121211UCR用分离变量法求所得方程分离变量后，有或或积分后即得到通解2211)1 (UuRRdtduCRCCCCuCRRRRdtdu2121211UCR21222121RRURCRRRR0)(22122121URRRuCRRRRdtduCCdtCRdtCRRRRUuduCC12121kCRtUuClnCRtCekUu确定积分常数得即CRtCRtCekURRRekUu22121212)0(,0U

11、RRRutC时当)(2121222121212UURRRURRRURRRk)1 (22121212CRtCRtCeURRReURRRu上式右边分别为零输入响应零输入响应和零状态响应零状态响应。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0时间常数它等于电路在响应过程中，电容与其并联等效电阻之积。如图与电容并联的等效电阻为R1与R2并联。)1 (22121212CRtCRtCeURRReURRRuCRRCRRRRCR)(212121综上所述，计算线性电路暂态过程的步骤可归纳如下： 对换路后的电路列微分方程； 求解微分方程的通解，可用分离变量法或应用一阶线性微分方程的公式法进行求解； 根

12、据换路定则确定暂态过程的初始值； 确定方程解的积分常数， 根据电路理论进一步计算其它待求量。QPydtdy)exp()exp(CdtPdtQPdty2-3. 一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路暂态分析的三要素法 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的电性电路，其电路方程都是一阶线性常系数微分方程。 这种电路都是一阶线性电路。 根据前面讨论，一阶RC线性电路的响应都可以看作是由稳态分量和暂态分量相加而得 (t) 可以是电压或电流； () 是稳态分量； Ae-t/ 是暂态分量。/)()()()(tAeftftftf 暂态稳态如讨论RC电路全响应时得到：其中)e1 (URRReURRRu

13、CRt2212CRt1212C1212CURRR)0(u2212CURRR)(u及2121RRCRRCR 为时间常数则上式可改写为)e1)(ue )0(uu/ t/ tC / tCe)(u)0(u)(uu2-4. RL电路的响应电路的响应 电感也是储能元件。由RL构成的线性电路也是一阶线性电路，也具有暂态过程。与RC暂态电路一样，RL 电路也具有零状态响零状态响应、零输入响应应、零输入响应及全响应全响应。RL 电路的响应响应规律计算与RC电路响应一样，可用解析法求解微分方程或用三要素法进行分析。用三要素法进行分析时，需对欲求量的初值及稳态值的计算；要注意对时间常数的求解。以下根据例题说明RL 一阶线性电路的分析过程。例例计算如图换路后的电流i L。+U1+U2R1i2i1St =012VR2iL9V631HL解解在t0 时，S闭合21iiiL2211RuURuULLLuRRRRRURU21212211考虑dtLdiuLL/有)(122112121RURUiRRRRLdtdiLL令时间常数 用分离变量法解方程+U1+U2R1i2i1St =012VR2iL9V631HLdtIIidiSSLL1)(21RLRRRRL2121得/21tSSLK