直线和平面所成角（课堂PPT）

1、谌子1.4.4斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影9.4.5直线和平面所成的角直线和平面所成的角2如图如图,点点Q是是是点是点P到平面的垂线段到平面的垂线段 pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过一点向平面引垂线，垂足叫做 这点与垂足间的线段叫做这点与垂足间的线段叫做。 四四.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影. .垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影( () )垂线垂线点点P在平面在平面 内的射影内的射影 线段线段PQ3（2 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的的斜线和平面的交点斜线和平面

2、的交点叫做叫做。从平面外一点向平从平面外一点向平面引斜线，这点与斜面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段PR 4说明：说明：平面外一平面外一点到这个平面的垂点到这个平面的垂线段有且只有一条，线段有且只有一条，而这点到这个平面而这点到这个平面的斜线段有无数条的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？几条？斜线段有几条？PRQST 5如图：是斜线如图：是斜线AC在内的射影，线段在内的射影，线段BC是是 ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和

3、斜足的直线叫做垂线，过垂足和斜足的直线叫做 垂足与斜足间的线段叫做这点到平垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的面的 ( () )射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内的射影在内的射影 6ACB FE说明：说明：斜线上斜线上任意一点在平面任意一点在平面上的射影，一定上的射影，一定在斜线的射影上。在斜线的射影上。思考：思考：斜线上的一个点在平面上的射斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢影会在哪呢？7思考思考：从平面外一点从平面外一点向这个平面引的垂线段向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？有什么关系？从平面外一点从平面外一点向这个平面所

4、引的垂线向这个平面所引的垂线段和斜线段段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那中，那一条最短？一条最短？ ACBDE几何画板测量几何画板测量8如图，如图，AO是平面是平面的垂线段，的垂线段，AB、AC是平面是平面 的斜线段，的斜线段， OB、OC分别分别是是_，则有则有ACB OOB=OC OBOC AB=AC AB AC AB、AC在平面在平面 内的射影内的射影AB=ACAB ACOB=OCOBOC9ACB O一点一点向向这个平面所引的垂线这个平面所引的垂线段和斜线段中，段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长影较长的斜线段也较长（2）

5、相等的斜线段的射影相等，较长）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短）垂线段比任何一条斜线段都短2 2射影定理射影定理10 1.点点P是是ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且P点到点到ABC三个顶点距离相等，则三个顶点距离相等，则P点在点在ABC所在平面上的射影是所在平面上的射影是ABC的的 心。心。PCBAO练习练习外外11练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线定是平行直线 （ ）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直

6、线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （ ）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等射影长也相等 （ ）12 平面的一条斜线和它在平面内的射影平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做所成的锐角，叫做。 五五.直线和平面所成的角直线和平面所成的角. .定义定义ABOAB内内的的射射影影在在是是AOBO所所成成的的角角与与是是AOAOB13一条直线垂直与平面，它们所成的角一条直线垂直与平面，它们所成

7、的角是直角；是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是它们所成的角是0 的角。的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是说明：说明：14 AlBOD l是平面是平面 的斜线，点的斜线，点O是斜足，是斜足，A是是l上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂是垂足，直线足，直线OB是是l在在 内的射影，内的射影， (记记作作是是l与平面与平面 所成的角所成的角.与与的大的大小关系如何？小关系如何？COD是是 内不同于内不同于OB的的任一直线，过点任一直线，过点A引引AC垂直于垂直于OD，垂足为，垂足为C.15 AlBOD

8、与与的大小关系如何？的大小关系如何？在在RtAOB中，中，AOAB sin在在Rt AOC中，中，AOACAOD sinABAC，sinsinAODAOD 拓展：斜线和拓展：斜线和平面所成的角，平面所成的角，是这条斜线和平是这条斜线和平面内任意的直线面内任意的直线所成的一切角中所成的一切角中最小的角。最小的角。C.定理：定理： 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。角中最小的角。16例例1.如图，如图，AO是平面是平面的斜线，的斜线，AB 平面平面于于B，OD是是内不与内不与OB重合的直重合的直线，线，AOB= ，BOD= ，AOD= ，求证：，求证：cos =cos cos ABODC 17例例2.2.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求求A A1 1