概率及其性质

1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.3 1.3 概率及其性质概率及其性质研究随机现象，不仅需要关心试验中会出研究随机现象，不仅需要关心试验中会出现哪些事件，更需要知道这些事件出现的现哪些事件，更需要知道这些事件出现的可能性可能性.如何刻画事件的可能性？如何刻画事件的可能性？概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！1.3节需要弄清楚下述问题：节需要弄清楚下述问题：1、频率的定义、计算方法、性质是什么？、频率的定义、计算方法、性质是什么？2、概率的统计定义与公理化定义各是什么？、概率的统计定

2、义与公理化定义各是什么？3、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？4、古典概率的定义及计算方法？、古典概率的定义及计算方法？一、频率一、频率定义定义：设在相同条件下，重复进行了：设在相同条件下，重复进行了 次试验，若随次试验，若随 机事件机事件 在这在这 次试验中发生了次试验中发生了 次，则比值次，则比值 称为事件称为事件 在在 次试验中发生的频率，其中次试验中发生的频率，其中 称为事件称为事件 发生的频数发生的频数.nAnAnAnAnAnnAfAn/)(如如：做投掷一枚质地均匀硬币试验，以下结果是历史：做投掷一枚质地均匀硬币试验，以下结果是历史 上

3、科学家观察出现正面情况上科学家观察出现正面情况.实验者实验者掷硬币次掷硬币次数数出现正面出现正面次数次数频率频率德摩根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998结论结论：直观方面：当投掷次数直观方面：当投掷次数n很大时，出现正很大时，出现正 面的频率总在面的频率总在0.5附近摆动，且随着投掷附近摆动，且随着投掷 次数的增加这种摆动的幅度是很微小的；次数的增加这种摆动的幅度是很微小的；频率具有稳定性：条件不变重复进行频率具有稳定性：条件不变重复进行n次试验，次试验， 事件

4、事件 A的频率的频率 ，当，当n增大时一般地将增大时一般地将 稳定在某个常数附近稳定在某个常数附近.)(Afnm非负性，即：对任何事件非负性，即：对任何事件 ，均有，均有归一性，即：归一性，即：可加性，任意可加性，任意 个互不相容事件个互不相容事件 满足满足A1)(0Afn1)(nfnAAA,21)()()(121nnnnnAfAfAAAf频率的性质频率的性质二、概率的定义二、概率的定义1、概率的统计定义、概率的统计定义： 在相同的条件下做在相同的条件下做 次试验，将事件次试验，将事件 的频率的频率 随随 增大将稳定的围绕某个常数增大将稳定的围绕某个常数 波动，且波动，且波动的幅度越来越小，我

5、们定义这个常数波动的幅度越来越小，我们定义这个常数 为事件为事件 发生的概率，记为发生的概率，记为nA)(AfnnpApAP)(p注：频率与概率的区别注：频率与概率的区别频率具有随机波动性频率具有随机波动性, 是一个变数，而概率是一是一个变数，而概率是一 个常数，个常数，事件事件A发生的概率完全取决于事件本身，发生的概率完全取决于事件本身， 是客观存在的；是客观存在的；概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概 率是客观存在的，随着试验次数的增加，频率在概率是客观存在的，随着试验次数的增加，频率在概 率附近摆动率附近摆动. 因此，在实际问题中，当试

6、验的次数因此，在实际问题中，当试验的次数 n很大时，频率通常作为概率的近似值很大时，频率通常作为概率的近似值.2、概率的公理化定义、概率的公理化定义：设试验：设试验 E 的样本空间为的样本空间为， 对于对于E的每一事件的每一事件A，都赋予一个实数，都赋予一个实数P(A)，若集，若集 合函数合函数P满足下列条件，则称满足下列条件，则称P(A)为事件为事件A的概率的概率非负性：对任意非负性：对任意0)( ,APA规范性：规范性：1)( P可列可加性：对任意可列个两两互斥的事件可列可加性：对任意可列个两两互斥的事件 有有,1nAA11)()( iiiiAPAP三、概率的性质三、概率的性质性质性质1：

7、1)(, 0)(PP性质性质3：对任意两个事件：对任意两个事件 与与 ，有，有AB)()()()(ABPBPAPBAP称该性质为称该性质为概率的加法公式概率的加法公式. 推广推广：若对任意三个事件：若对任意三个事件 ，有，有CBA,)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP1)(0AP性质性质2：对任意事件：对任意事件 ，A一般地一般地：)()1()()()()(2111111nnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP性质性质4：若事件：若事件 与事件与事件 互不相容，则互不相容，则AB)()()(BPAPBAP加法公式的特殊情形

8、加法公式的特殊情形推广推广：若：若 两两互不相容，则：两两互不相容，则：nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP此性质称为概率的有限可加性此性质称为概率的有限可加性性质性质5：对事件：对事件 与其对立事件与其对立事件 ，有，有AA)(1)(APAP称该性质为概率的减法公式称该性质为概率的减法公式.性质性质6：对任意两个事件：对任意两个事件 ，有：，有：BA,)()()(BPAPBAP()( )()P ABP AP AB且若且若 ，则有：，则有：BA 例例1：设：设rBAPqBPpAP)( ,)( ,)(求：求：)( ),( ),(BAPBAPABP例例2：设事件：设事件

9、发生的概率分别为发生的概率分别为 ，试依据，试依据 下述情况求下述情况求 BA,31,41)( BAP 互斥互斥BA,BA 81)(ABP注注：BABA例例3：根据天气预报，明天甲城市下雨的概率为：根据天气预报，明天甲城市下雨的概率为0.7， 乙城市下雨的概率为乙城市下雨的概率为0.2，甲、乙两城市同时，甲、乙两城市同时 下雨的概率为下雨的概率为0.1，求下列事件的概率：，求下列事件的概率： 明天甲城市下雨而乙城市不下雨；明天甲城市下雨而乙城市不下雨； 明天至少有一城市下雨；明天至少有一城市下雨； 明天甲、乙两城市都不下雨；明天甲、乙两城市都不下雨； 明天至少有一城市不下雨明天至少有一城市不下

10、雨.四、古典概型四、古典概型定义定义：具有下列两个特征的概率称为：具有下列两个特征的概率称为古典概型古典概型 （或等可能概型）（或等可能概型） 有限性：试验的样本空间中的元素只有有有限性：试验的样本空间中的元素只有有 限个，即基本事件的数目有限；限个，即基本事件的数目有限； 等可能性：试验中各个基本事件（样本点）等可能性：试验中各个基本事件（样本点） 发生的可能性相同发生的可能性相同.古典概型的计算古典概型的计算 若随机试验若随机试验 的样本空间中基本事件的总数为的样本空间中基本事件的总数为 ，而事件，而事件 所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 ，则事件，则事件 发生的概率为：发生的概率

11、为：EnAmAnmAP)(A包含的基本事件总数包含的基本事件总数样本空间的基本事件总数样本空间的基本事件总数称之为古典概型公式称之为古典概型公式例例4：一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的：一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的 奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶 冲制而成冲制而成. 做了做了10次测试，结果是她都正确次测试，结果是她都正确 地辨别出来了。问该女士的说法是否可信？地辨别出来了。问该女士的说法是否可信？ 此题运用了小概率原理：此题运用了小概率原理： 概率很小的事件在一次试验概率很小的事件在一次试验 中是几乎不可能发生的中是几乎不可能发生的.有关小概率问题一资料有关小概率问题一资料：练习练习 1：将所有的两位数逐一的写在卡片上，从中任：将所有的两位数逐一的写在卡片上，从中任 意抽取一张卡片，求这张卡片上的数字能被意抽取一张卡片，求这张卡片上的数字能被 2或能被或能被3整除的概率