第16讲：添加辅助线

1、精选优质文档-倾情为你奉上当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展1、 常用的辅助线有：（1） 联结两个点得到线段；（2） 过某一点做平行线或者垂线；（3） 延长某一条线段，构造特殊的三角形【例1】 如图，已知ADBC，B=C，求证：AB=CD下列添加辅助线不正确的是（）A延长BA、CD交于点E；B过点A、D作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F；C联结AC、BD；D过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为E、F

2、【难度】【答案】【解析】【例2】 如图，AB=AD，BC=CD，求证：ABC=ADC【难度】【答案】【解析】【例3】 如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，ABC=AED，求证：BCD=EDC【难度】【答案】【解析】【例4】 如图，ABEF，B+C+D+E=_【难度】【答案】【解析】【例5】 如图，ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF求证：AE=AF【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，BD平分ABC交AC于点D，CEBD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE【难度】【答案】

3、【解析】【例7】 如图，在ABC中，CE是ACB的平分线，AFCE于点F，求证：CAF=EAF+ABC【难度】【答案】【解析】【例8】 如图，ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且C是AE的中点，B+D=180°，求证：AB=DE【难度】【答案】【解析】【例9】 两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并求证【难度】【答案】【解析】【例10】 如图，ABC中，BD、CE相交于点O，1=2=A，求证：BE=CD【难度】【答案】【解析】【例

4、11】 如图，在直角ABC和直角ADE中，C=E =90°，BC=DE，BAE=DAC，BC与DE交于点F，求证：BF=DF【难度】【答案】【解析】【例12】 如图，已知在ABC中，C=90°，A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由【难度】【答案】【解析】【例13】 已知：

5、如图，ABC是等边三角形，BD=DC，BDC=120°，MDN=60°，求证：【难度】【答案】【解析】【例14】 如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且EBF = 45°，（1） 求证：AE+CF = EF；（2） 若BF=，BC=1，求BE的长【难度】【答案】【解析】常做辅助线：遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形【例15】 已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_【难度】【答案】【解析】【例16】 如图，ABC中，BD=DC=AC， E是DC的中点，求证：AD平分BAE【难度】【答案】【解析】【例17】 已知：如图，

6、AD是ABC的BC边上的中线，且BE=AC，延长BE交AC于点F求证：AF=EF【难度】【答案】【解析】【例18】 已知：如图，AD是ABC的中线，AB = BD，点E在BD上且BE =ED求证：AC =2AE【难度】【答案】【解析】【例19】 已知，如图，在ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点求证：【难度】【答案】【解析】【例20】 已知：如图，在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BE+CF>EF【难度】【答案】【解析】【例21】 已知：如图，点M是ABC的边BC的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF（1） 求证：线段BE、CF、EF能

7、够成一个三角形；（2） 若A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明 【难度】【答案】【解析】遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形【例22】 如图，在三角形ABC中，O是AC边上的一点，过点O作MNBC，交ACB的平分线于点E，交ACB的邻补角的平分线于点F，求证：OE=OF【难度】【答案】【解析】【例23】 如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分，求证：【难度】【答案】【解析】【例24】 如图，已知AD是ABC的角平分线，B=2C求证：AB+BD=AC【难度】【答案】【解析】【例25】 如图，在四

8、边形ABCD中，AC平分BAD，过点C作CEAB于点E，并且，求ABC+ADC等于多少度?【难度】【答案】【解析】【例26】 如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：OE=OD【难度】【答案】【解析】【例27】 如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，MF/DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF【难度】【答案】【解析】【例28】 已知：RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AE平分CAB交CD于F，过F作FHAB，交BC于H求证：CE=BH（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）【难度】【答案

9、】【解析】【习题1】 如图，在ABC中，A=120°ABC=C，BD是ABC的角平分线，如果将ABD沿BD翻折过来，点A与BC边上的点E重合，那么CDE是_三角形【难度】【答案】【解析】【习题2】 如图，已知AC=BD，D=C，求证：A=B【难度】【答案】【解析】【习题3】 如图，在三角形ABC中，ABC=2C，ADBC，求证：AB+BD=DC【难度】【答案】【解析】【习题4】 如图，AD是ABC的角平分线，AC=AB+BD，C=30°求BAC的度数【难度】【答案】【解析】【习题5】 以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE、ACGF，DPBC于点P，GQBC于点

10、Q，求证：DP+GQ=BC【难度】【答案】【解析】【习题6】 已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE+CF=EF，求证：EBF=45°【难度】【答案】【解析】【习题7】 已知，如图，D为等边ABC内一点，DA=DC，P为等边ABC外一点，PC=AC，且CD平分BCP，求P的度数【难度】【答案】【解析】【习题8】 如图，在ABC中，C=90°，ADBD交于点D，BD与AC相交于点E，当BE=2AD时，求证：BD平分【难度】【答案】【解析】【习题9】 如图，已知在正方形ABCD中，E是AD的中点，BF=CD+DF，若ABE为，求CBF的度数【难度】【

11、答案】【解析】【习题10】 在ABC中，AB=AC，D是ABC外一点，且ABD=60°，ACD=60°求证：BD+DC=AB【难度】【答案】【解析】【习题11】 如图，在ABC中，E是BC边上一点，点D在BC的延长线上且CD=AB，BAE=D，AC平分EAD求证：AD =2AE【难度】【答案】【解析】【作业1】 如图，将ABC的中线AD加倍到点E，联结CE后，以下结论错误的是（）A；BAD=DC；CCE=AB；DABCE【难度】【答案】【解析】【作业2】 已知：AD是ABC的角平分线，C=2B，将ACD沿AD翻折，点C落在AB边上的E处，EBD是_；AB、AC、CD之间的数

12、量关系是_【难度】【答案】【解析】【作业3】 已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90°，AD平分BAC交BC于点D求证：AB=AC+CD【难度】【答案】【解析】【作业4】 已知ABC和BDE均为等边三角形，求证：BD+DC=AD【难度】【答案】【解析】【作业5】 已知直角ABC中，CAB=90°点D、E在边BC上，CAE=B，E是CD的中点，且AD平分BAE；求证：BD=AC【难度】【答案】【解析】【作业6】 如图，已知点C是AB的中点，点E在CD上，AE=BD，求证：AEC=CDB【难度】【答案】【解析】【作业7】 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，E是AC延长线上一点，联结DE交BC于点M，DM=ME，求证：BD=CE【难度】【答案】【解析】【作业8】 已知，如图，ABC的角平分线AD、BE相交于点F，C=60°，求证：AB =AE+BD 【难度】【答案】【解析】【作业9】 如图，已知在ABC中，BD、CE相交于点