锐角三角函数1

1、解直角三角形解直角三角形-锐角三角函数锐角三角函数A的邻边bACBA的对边的对边a斜边斜边c直角三角形的认识直角三角形的认识1：对于A来说：2：对于：对于B来说来说,它它们分别是什么？们分别是什么？1、角与角之间的关系：、角与角之间的关系：两锐角互余。两锐角互余。2、边与边之间的关系：、边与边之间的关系： a2+b2=c2那么直角三角形的角与边之间又有什么关系？那么直角三角形的角与边之间又有什么关系？ 当直角三角形的一个锐当直角三角形的一个锐角的大小确定时角的大小确定时，其对边其对边与斜边，邻边与斜边，对与斜边，邻边与斜边，对边与邻边、邻边与对边比边与邻边、邻边与对边比值也是惟一确定的吗？值也

2、是惟一确定的吗？ 想一想想一想 比一比比一比思考：在在RtAB3C3中，当锐角中，当锐角A取其它的固定取其它的固定值的时候，值的时候，A的对边与邻边的比值还会是一个固的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？定值吗？AB3C3C1C2B2B1分析：分析：易知易知 RtAB1C1 RtAB2C2 RtAB3C3ACCBACCBACCB333222111可见：在在RtABC中，对于锐角中，对于锐角A的每的每一个确定的值，它的一个确定的值，它的对边与邻边的比值是对边与邻边的比值是一个定值。一个定值。在在RtRtABCABC中中 及时总结经验，要养成积累及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！方法和

3、经验的良好习惯！ =ab的邻边的对边AAtanA=cotA=A的邻边的邻边A的对边的对边=ab=acsinA=斜边的对边A=bccosA=斜边的邻边A 在在Rt ABC中对于锐角中对于锐角A的每一个的每一个确定的值，确定的值，sinA、cosA、tanA、cotA都有唯一的确定的值与它对应，所以都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角把锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫的正弦、余弦、正切、余切叫做做A的锐角三角函数的锐角三角函数。例例1：求出如图所示的：求出如图所示的RtABC中，中，A的四个的四个三角函数值三角函数值ACB158解： RtABC中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得：AB=171

4、78sinABBCA158tanACBCA815cotBCACA1715cosABACA应应用用举举例例1、在在Rt ABC中，中，C90，求，求A的三角函数值。的三角函数值。 a=9 b=12 2、在在ABC中，中，AB=AC4，BC=6，求，求B的三角函的三角函数值。数值。下图中下图中ACB=90ACB=90，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D。指出。指出A A和和B B的对边、邻边。的对边、邻边。ABCD(1) tanA = =AC( )CD( )(2) tanB= =BC( )CD( )BCADBDAC 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻边和斜边同时

5、的邻边和斜边同时扩大扩大100100倍倍, ,tanAtanA的值（的值（ ） A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定ABCC C练习：练习：1：在：在RtABC中，中，C=900，斜边斜边AB是直角边是直角边AC的的3倍。求倍。求A的四个三角函数值的四个三角函数值解：设：解：设：AC=x，则：，则：AB=3x。在在RtABC中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得：BC=x22322sinABBCA31ABACCOSA22tanACBCA42cotBCACAACB2：已知：已知sinA= ,求求A的另外三个三角函数的另外三

6、个三角函数值值53ACB解：解：53sinABBCA设BC=3x，AB=5x在在RtABC中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得：AC=4X53sinABBCA54ABACCOSA43tanACBCA34cotBCACA定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: :回味回味 无穷无穷 1 1、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA、cotAcotA是在是在直角三角直角三角形形中定义的，中定义的，A A是是锐角锐角( (注意注意数形结合数形结合，构造，构造直角三角形直角三角形) )。 2 2、sinAsinA、 cosAcosA、tanAtanA、cotAcotA是一个是一

7、个比值比值（数数值值）。）。 3 3、sinAsinA、 cosAcosA 、tanAtanA、cotAcotA的大小只与的大小只与A A的大小的大小有关，而与有关，而与直角三角形的边长直角三角形的边长无关。无关。 1.锐角三角函数定义斜边对边正弦斜边邻边余弦邻边对边正切对边邻边余切锐角三角函数定义w正弦正弦, ,余弦余弦, ,正切正切, ,余切余切: : 回顾与思考回顾与思考驶向胜利的彼岸bABCac,sincaA ,coscbA ,tanbaA .cotabA ,sincbB ,coscaB ,tanabB .cotbaB 定义的应用定义的应用1：取值范围：取值范围：ACB0sinA10c

8、osA1tanA0cotA0自己完成证明自己完成证明2.互余互余两角之间的三角函数关系两角之间的三角函数关系:w直角三角形直角三角形两锐角互余两锐角互余: :A+B=90A+B=900 0. .bABCac则则 sinAsinA= =cosBcosB或或cosAcosA= =sinBsinB. .,sincaA,coscbA,tanbaA.cotabA,sincbB ,coscaB ,tanabB .cotbaB tanAtanA= =cotBcotB或或cotAcotA= =tanBtanB. .3.3.同角同角之间的三角函数的关系之间的三角函数的关系平方和平方和关系关系: :bABCac.

9、 1cossin22AA.cos1sin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA或商商的关系的关系: :.sincoscot,cossintanAAAAAA倒数倒数关系关系: :. 1cottanAA.cot1tanAA.tan1cotAA一个定理30直角三角形中， 的锐角所对的直角边是斜边的一半3012BA CA B如 图 所 示 ， 当时 ，这个结论你知道是如何得出的吗？理由如下理由如下:过点过点C作作AB边上的中线边上的中线CDBCADACB=900AD=CD=BDB=300DCB=300ACD=600ACD是等边是等边三角形三角形AC=AD=AB2

10、1特殊角的三角函数值表w要能记要能记住有多住有多好好三角函数锐角正弦sin余弦cos正切tan余切cot30045060021233332222112321333w结论：正弦和正切随着结论：正弦和正切随着角的增大而增大，余弦和角的增大而增大，余弦和余切随着角的增大而减小余切随着角的增大而减小300600450450111232 1. 1.计算计算: :(1)sin(1)sin300+cos+cos450(2)sin(2)sin2 2600+cos+cos2 2600+tan+tan450提示提示: :SinSin2 2600表示表示( (sinsin600) )2 2coscos2 2600表

11、示表示( (coscos600) )2 2解解: : (1)sin(1)sin300+cos+cos450(2)(2)原式原式 2221.221121232214143. 02.2.计计 算算; ;(1)tan45(1)tan450-sin30-sin300(2)cos(2)cos600+sin45+sin450-tan3-tan300 .45cos260sin330tan630002直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关系1.1.直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系: : a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .2.2.直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系: : A+B=90 A+B=900 0