第6讲向量代数二元微积分2015提高班

1、2015工程入学代数与空间几何、二元函数微分与Jackliu内容目标的运算(数量积、积),了解两个掌握垂直、平行的条件；掌握平面方程和直线方程及其求法；掌握多元函数一阶、导数的求法；的计算方法(直角坐标)；掌握二重掌握计算两类平面曲线的方法；与路径无关的条件.掌握公式并会运用平面曲线代数与空间几何概念基础2015交大数学利用坐标作的线性运算设ar = ( a, b , b ) , 为实数，则, a , a ), b = (bxyzxyzar ± r = (a± b , a ± b± b )b, axxyyzz ar= ( a , a, a )xyz对应坐

2、标成比例:平行当ar ¹ r 时,0rrbybxbzrrb / / a Û b = a Û= =axayaz2015交大数学数量积积2015交大数学两的数量积F作用下, 沿与力夹角为的直线移动,设一物体在位移为rurs,则力F所做的功为urrcosa, b的夹角为，称W =Fsr rM1sM 2定义: 设r rvvcos = a × bab为rra 与b的数量积(点积)W = F × s性质:r rr2(1) a × a = ar rr rrr，则有a × b = 0 Û a b(2)a, b为两个非零2015交大

3、数学数量积的坐标表示设a = ax i + ayj + az k , b = bx i + byj + bz k ，则r ra × b = axbx + aybya, b为非零+ azbz当r rrrrrb cos , 得时,由于a × b = a ×rra b + a b+ a ba × bcos =xxyyzz=rra ×ax +a +bx+ b+ bb222z222ayyz2015交大数学积定义设 a , b的夹角为 ，定义rr rrìr ï方向：c a , c b且符合右手规则;c írrrab sin&#

4、239;î模：c = a ×称rrrbc为a 与b 的积(叉积),记作:rrrc = a ´ bbac = a ´ b2015交大数学积性质与运算性质：rrr(1) a ´ a = 0(2)a, b为非零运算律r ´ r = r Û rr，ab0a与b平行rrrra ´ b = -b ´ a坐标表示式：rrrrra ´ b = (aybz - azby ) i + (azbx- axbz )j + (axby- aybx ) krrrijkabaaabæaaöyzxy= a=

5、, -xzaba,ç÷xyzbbbbèø2015交大数学yzxyxzbbxyz平面及其方程2015交大数学平面的点法式方程设一平面通过已知点M 0 (x0 , y0 , z0 )且垂直于非零向rn = ( A , B , C), 求该平面P的方程.任取点M (x, y, z) ÎP ,则有M 0M n Þ M 0M × n = 0M 0 M = (x - x0 , y - y0 , z - z0 )A(x - x0 ) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0称式为平面P的点法式方程,znMPM0urur

6、 roxyur称 n 为平面 P的法.2015交大数学截距式方程2015交大数学解: 取该平面Õ的法为n = M1M 2 ´ M1M3nrrrij43k= -3-6 = (14, 9, -1)M1ÕM 3-2-1M 2又M1 Î P ,利用点法式得平面Õ的方程14(x - 2) + 9( y +1) - (z - 4) = 0即14x + 9 y - z -15 = 02015交大数学空间直线及其方程2015交大数学直线方程一般方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程ìï A1 x + B1 y + C1 z + D1 =

7、 0í A x + B y + C z + D = 0ïî2222对称式方程已知直线上一点M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向rurrs = (m , n , p),设直线上的动点为M (x, y, z)则M 0M / / s故有 x - x0= y - y0= z - z0mnp此式称为直线的对称式方程(也称为点方程)2015交大数学解:取已知平面的法为所求直线的方向r = (2, - 3, 1)nn则直线的对称式方程为x -1 = y + 2 = z - 4-3212015交大数学解题技能2015交大数学求两平面 x - 4z = 3和2x - y

8、 - 5z = 1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线方程.解：所求直线的方向可取为i12j0-1k-4-5s = ururn1 ´ n2 = (-4 , - 3, -1)利用点可得方程x + 3 =y - 2 = z - 54312015交大数学一平面通过两点M1 ( 1, 1, 1 )和M 2 ( 0, 1, -1 ) , 且垂直于平面Õ : x + y + z = 0, 求其方程.2015交大数学ì2x - z = 0设一平面平行于已知直线íx + y - z + 5 = 0 且垂直于î已知平面7x - y + 4z - 3 = 0

9、, 求该平面的法.n1 = (7 , -1, 4)解：已知平面的法求出已知直线的方向取所求平面的法r = (1 , 1 , 2)si17j1-1k24rrurn = s ´ n1 = 2(3, 5, - 4)2015交大数学多元函数微分学概念基础2015交大数学多元函数的定义2015交大数学多元函数的极限定义: 设n元函数（f P）, P Î D Ì Rn , P 是D 的聚点,0正数 , 对一常数A, 对任意正数 ,总若o切P Î D IU (P0 , ) , 都有f (P) - A < ,则称A为函数f (P)当P ® P0 时的极限

10、，记作lim f (P) = A(也称为n重极限)P®P0当n = 2时, 记=(x - x )2+ ( y - y )2PP000二元函数的极限可写作lim f (x, y) = A = lim f (x, y) = A ®0x® x0 y® y02015交大数学若当点P(x, y)以不同方式趋于P0 (x0 , y0 ) 时,函数趋于不同值或有的极限不.，则可以断定函数极限不xy在点(0,0)的极限.讨论函数f (x, y) =+ y2x2解: 设P(x, y)沿直线y = kx趋于点(0,0), 则有k x2klim f (x, y) = lim+

11、 k x= 1+ kx2222x®0 y=kxx®0k值不同极限不同故 f (x, y) 在(0, 0)点极限不.2015交大数学多元函数的连续性定义:设二元函数 f (P) 定义在D上, 聚点P0 Î D ,lim f (P) =f (P0 )如果P®P0则称二元函数 f (P) 在点P0连续，否则称为不连续,此时P0称为间断点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续ìx y+ y2 ¹ 0x2,ïx + y2例如函数 f (x, y) =2íïî+ y2 = 0x20,在点(0, 0

12、)极限不,故(0, 0)为其间断点;2015交大数学偏导数定义及其计算法定义：设函数 z = f (x, y)在点(x0 , y0 )某领域内f (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 )Dx的极限limDx®0则称此极限为函数z = f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 对x的偏导数，记为¶ z¶ f;¶ x¶ x(x0 , y0 )(x0 , y0 ); fx (x0 , y0 ) ; f1¢(x0 , y0 ) .zx( x , y )002015交大数学同样可定义对y 的偏导数f (x0 , y0 + D

13、y) - f (x0 , y0 )Dyf (x , y ) = limy00D y®0d=f (x , y)y = y00d y若函数z =偏导数f ( x , y)在域D 内每一点( x , y)处对x或y,则该偏导数称为偏导函数也简称为偏导数, 记为¶ z ,¶ ff ¢(x, y); ¶ z ,¶ f,f ¢(x, y);,12¶ x¶ x¶ y¶ y2015交大数学, 但在该点不一定连续函数在某点各偏导数都ìx y+ y2¹ 0x2,ïx + y2

14、例如z =f (x, y) =2íïî+ y2= 0x20,d显然f ( 0, 0 ) = 0f ( x, 0 )xx = 0d xdf ( 0, 0 ) = 0f ( 0, y )yy = 0d y但 f (x, y)在点(0, 0)并不连续2015交大数学求 z = x2 + 3xy + y2在点(1, 2) 处的偏导数解: ¶ z = 2x + 3y , ¶ z = 3x + 2 y¶ x¶ y¶ z= 2 ×1+ 3× 2 = 8¶ x (1, 2)¶ z= 3

15、15;1+ 2 × 2 = 7¶ y(1, 2)2015交大数学导数连续的偏导数设 z =f (x, y)在域 D 内¶ z =¶ z =f(x, y);f(x, y);¶ xx¶ yy偏导数，则称它们是z =f (x, y)导数若这两个偏导数仍导数.按求导顺序不同, 有下列四个的¶¶ z= ¶2 z¶¶ z¶2 z=fy (x, y)¶2¶¶ z¶2 z¶¶ z¶2 z¶ x ( ¶

16、y ) = ¶ y ¶ x =¶ y ( ¶ y ) = ¶ y2=f y x (x, y);f y y (x, y)2015交大数学求函数 z = ex+2 y 的导数解：¶ z = ex+2 y ; ¶ z = 2 ex+2 y ;¶ x¶ y¶2 z =¶ 2 zx+2 yx+2 y= 2 ee;¶ x2¶ 2 z¶ x¶ y¶2 zx+2 yx+2 y= 2 e= 4 e;¶ y¶ x¶ y2201

17、5交大数学全微分的定义定义: 如果函数z =f (x, y)在定义域D 的内点(x, y)处全增量DZ =f (Dx + x, Dy + y) - f (x, y)可表示成D z = ADx + BDy + o( ) , =(Dx)2 + (Dy)2其中A, B不依赖于Dx, Dy, 仅与x, y有关，则称函数 f (x, y)在点(x, y)可微，A D x + B D y称为函数f (x, y)在点(x, y)的全微分, 记作d z = df= ADx + BDy2015交大数学可微与偏导数的关系定理: 若函数z =f (x, y)在点(x, y)可微,则该函数在该点偏导数¶ z

18、 , ¶ z 必,且有¶ x¶ ydz = ¶ z Dx + ¶ z Dy¶ x¶ y习惯上D x , D y 分别记作 dx, dy2015交大数学计算函数u = x + sin y + ey z的全微分.2cos1y + zeyz )dy + yeyzdz解：du = 1× dx +(222015交大数学多元复合函数求导的链式法则定理:若函数u = (t) , v = (t) 在点t 可导, z = f (u, v)f ( (t), (t)在点(u, v)处偏导连续,则复合函数z =在点t可导,且有链式法则d

19、z = ¶ z × du + ¶ z × dv¶udt¶vdtdt中间变量是多元函数的情形.u = (x, y),v = (x, y)z = f (u, v) ,¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v =f ¢¢ + f ¢ ¢1121¶ x¶u¶ x¶v¶ x¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z ×

20、¶v =f ¢¢ + f ¢ ¢1222¶ y¶u¶ y¶v¶ y2015交大数学设z = eu sin v , u = xy , v = x + y , 求 ¶z , ¶ z .¶ x¶ y解:¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v = eusin v × y + eu cos v ×1¶ x¶u¶ x¶v

21、2; x= ex y y ×sin(x + y) + cos(x + y)¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v = eusin v × x + eucos v ×1¶ y¶u¶ y¶v¶ y= ex yx ×sin(x + y) + cos(x + y)2015交大数学隐函数求偏导数¶2 z设 x + y+ z- 4z = 0 , 求222.¶ x2解:利用隐函数求导2x + 2z ¶ z -

22、¶ z =Þ ¶ z =x¶2- z¶ z¶ 2 z¶ 2 z2 + 2() + 2z- 4= 02¶21+ ( ¶ z )2¶2 z = (2 - z)2 + x2¶ x¶ x22 - z(2 - z)32015交大数学解题技能2015交大数学¹ 1）, 求证 x ¶ z +¶ z = 2z1设 z =y ¶ xln x ¶ y2015交大数学解:¶ z = yex y , ¶ z = xex y

23、2; x¶ z¶ y¶ z= e2 ,= 2 e2¶ x¶ y(2,1)(2,1)(2,1) = e dx + 2e dy = e (dx + 2dy)222dz2015交大数学2222¶u u = f (x, y, z) = ex + y +z , z = x sin y, 求¶ x解:¶u = ¶ f+ ¶ f× ¶ z¶ x¶ x¶ z¶ x222= 2 xex + y+ z222+2zex + y+ z× 2 x si

24、n y2242y) ex + y+ xsiny= 2 x (1+ 2 x2 sin22015交大数学解:设u = x + y + z , v = x y z ,则w = f (u, v)¶w = f ¢×1+ f ¢× y z = f ¢ + yzf ¢1212¶ x¶2 w¢ ×¢ ×¢ +¢ ×¢ ×=1+x y+ y f2y z f211+f11f12f22x y ¶ x ¶ z= f &#

25、162; + y(x + z) f ¢ + x y2 z f ¢ + y f ¢11122222015交大数学多元函数学概念基础2015交大数学二元函数解决的问题2015交大数学二重的定义定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数, 将区域D任意分成n个小区域Dk(k = 1 , 2 , L, n), 任取一点(k , k ) Î Dk , 若一个常数 I , 使n记作I = lim å f (k , k )Dk=òòDf (x, y) d ®0k =1则称 f (x, y)可积, 称I 为 f

26、(x, y)在D上的二重.如果f (x, y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划分区域D,这时Dk= Dxk Dyk ,因此面积元素d 也常记作d xdy,二重记作òòD f (x, y)d xd y.体体积:V = òòD f (x, y)d =òDf (x, y)dxdy2015交大数学体体积的计算设的底为(x) £ y £ ìíî(x)üýþD =12(x, y)a £ x £ b任取x0 Îa , b, 平面x = x0截柱体

27、的 2 ( x0 )ò截面积为A(x ) =f (x , y) d y00( x )10故体体积为 ( x)bbV = òòòòòf (x, y)d =A(x)dx =2f (x,y) d ydx1 ( x)Daa2015交大数学同样,的底为D = (x, y) 1 ( y) £ x £ 2 ( y),c £ y £ d则其体积可按如下两次计算òDf (x, y)dV =d( y )òòò=2f (x, y) d xdy1 ( y )cd( y )

28、2;=2dyf (x, y) d x1 ( y )c2015交大数学计算I = òD xyd , D是直线 y = 1, x = 2, y = x所围的闭区域ì1 £ y £ x解法1.将D看作X -型区域,则D : íî1 £ x £ 2xéù12x2òòòI =xyd y =2d xxyd xêë 2úû11111 x32- 1 x d x = 92ò=2812015交大数学ì y £ x &

29、#163; 2解法2.将D看作Y -型区域,则D : í1 £ y £ 2î12222òòò2I =x yd x =2d yx yd yy1y1éêëùúû12982ò=2 y -=3yd y12015交大数学曲线2015交大数学对弧长的曲线的定义2015交大数学对弧长的曲线的计算法¾ 转¾化¾® 计算定基本思路: 求曲线定理: 设f ( x, y)定义在光滑曲线弧L : x = (t ), y = (t )( &#

30、163; t £ )òL上的连续函数, 则曲线f ( x, y) d s, 且òf ( x, y) d s = òf (t ) , (t ) ¢2 (t ) + ¢2 (t ) d tL如果曲线L的方程为y = ( x) (a £ x £ b ), 则有bòLòf ( x, y) d s =f () d xa2015交大数学Q L : y = x21( 0 £ x £ 1)解:òòxd s =x ×1+ (2x)2d xL10ò=1+

31、4x2 d xx03 ù 1é1= ê(1+ 4x2 )2 úë 12û 01=( 55 -1)122015交大数学对坐标的曲线定义2015交大数学对坐标的曲线的计算法2015交大数学计算ò x ydx , 其中L为沿抛物线 y2 = x从点A(1, -1)L到B(1, 1)的一段解法1: 取 x为参数,则L : AO + OBAO : y = -x, x :1 ® 0OB : y =x , x : 0 ® 1òL x yd x =òAO xyd x + òOB x yd x

32、04513òò=x(-d x = 2d x =x )dx210解法2 : 取y为参数,则L : x = y2, y : -1 ® 1y4d y = 4511òòò¢x yd x =y y( y ) d y = 222-1-1L2015交大数学公式域D边界L的正向:沿域边界前进时，域的内部靠左定理.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x, y), Q(x, y) 在D上具有连续一阶偏导数,则有æ ¶Q - ¶P öd xd y =òòç ¶

33、 x òPd x + Qd y(公式)¶ y ÷èøDL2015交大数学2015交大数学平面上曲线与路径无关定理:设D是单连通域,函数P(x, y), Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数,如果在D内每一点都有:¶P = ¶Q 则有¶ y¶ x(1)沿D中任意光滑闭曲线L, 有 òL Pd x + Qd y = 0.òL Pd x + Qd y(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线与路径无关,只与起止点有关. 说明:1) 计算曲线2) 求曲线时,可选择方便的路径;时,可利用公式简化计算

34、, 若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;2015交大数学解题技能2015交大数学计算 òD xyd , 其中D是抛物线 y2= x及直线 y = x - 2所围成的闭区域解: 为计算简便, 先对x后对y,ì y2£ x £ y + 2则D : íî-1 £ y £ 2y+22òòòxyd =d yxydx2-1Dyd y = 1y+2y22 é2 y( y + 2)2òòx2 y ù=- y5 d y12ëû2-11y4= 1 + 4 y3 + 2 y2 - 1 y6= 452-1243682015交大数学交换下列顺序x22028- x222I = ò