导数及其应用单调性教学设计师

1、专题019：导数的应用(单调性)（教学设计）（师）考点要求：1利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2由函数单调性和导数的关系，求参数的范围3本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间知识结构：1导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线l的斜率，切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速度3函数的单调性在(a，b)内可导函数f(

2、x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减4三点说明：（1）直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点（2）f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件（3）对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件5求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上

3、是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间基础自测：1(2011·山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15解析由已知y3x2，则y|x13切线方程为y123(x1)，即y3x9.答案C2(2012·烟台模拟)函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，) C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,1解析函数的定义域为(0，)，又f(x)2x2由f(x)0，解得0x1.答案A3若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B . C

4、. D.解析由已知y2x，令2x1，解得x1.曲线yx2ln x在x1处的切线方程为y1x1，即xy0.两直线xy0，xy20之间的距离为d.答案B4在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)4.9t26.5t10，高台跳水运动员在t1 s时的瞬时速度为_答案3.3 m/s5函数f(x)x33x21的递增区间是_解析f(x)3x26x3x(x2)，由f(x)0解得x0，或x2.答案(，0)，(2，)例题选讲：例1：已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程分析：由导数几何意义先求斜率，

5、再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点解(1)f(x)3x28x5f(2)1，又f(2)2曲线f(x)在x2处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)f(x0)3x8x05则切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过(x0，x4x5x04)点，则x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02，或x01，因此经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.小结：首先要分清是求曲线yf(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线(1)求曲线yf(x)在xx0处的切线方程可先求f(x0)，利用点斜式写

6、出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程例2：已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间分析： 函数单调的充要条件是f(x)0或f(x)0且不恒等于0.解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变

7、化情况如下表：x3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x，3，)时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减小结： 函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f(x)0(或f(x)0)即可例3：设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.分析：第(2)问构造函数h(x)exx22ax1，利用函数的单调性解决(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化

8、时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(

9、0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.小结利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可巩固作业：A组：一、 选择题：1在下列结论中，正确的结论有（）单调增函数的导函数也是单调增函数； 单调减函数的导函数也是单调减函数；单调函数的导函数也是单调函数； 导函数是单调，则原函数也是单调的0个2个3个4个2若函数有三个单调区间，则的取值范围是（） 3若是在内的可导的偶函数，且不恒为零，则关于下列说法正确的是（D） 。（A）

10、必定是内的偶函数 （B）必定是内的奇函数（C）必定是内的非奇非偶函数 （D）可能是奇函数，也可能是偶函数4是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（D） 。 yxOyxOyxOyxOABCD （A） （B） （C） （D）5设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D) 。二、填空题：6函数，当时，有极值1，则函数的单调减区间为7若函数是上的单调函数，则应满足的条件是 。 8函数的单调递增区间是 (-,-2)与(0,+ ) 。9.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，比较f（0）f（2）与2f（1）的大小： f（0）f（2）³

11、2f（1） 。解：由题意得：当x³1时，f¢（x）³0，所以函数f（x）在（1，¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，所以f（x）在（¥，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1）；10若函数在内是减函数，在内是增函数，则 2 。11设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集为。三、解答题：12.已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不

12、存在，说明理由解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上递增，若a>0，exa0，exa，xln a.因此f(x)的递增区间是ln a，)(2)由f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2<x<3，e2<ex<e3，只需ae3.当ae3时f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)<0，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上单调递减13函数f(x)ax33x2，(aR)，且x2是yf(x)的极值点，求函数g(x)ex·f(x)的单调区间解：f(x)3ax

13、26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1，经验证，当a1时，x2是函数f(x)的极值点，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)和(，)；单调减区间是(，)和(0，)14. 已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证f(x)x2x3.(1)解由已知条件f(x)0无解，即x2mxm0无实根，则m24m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m0时，f(x)x2ex设g(x)exx1，g(x)ex1，g(x)，g(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0由此可知对于xR，g(x)g(0)即exx10，因此x2(exx1)0，整理得x2exx3x2，即f(x)x3x2.15已知函数(x>0)在