一类非线性反馈系统的稳定性分析

1、北京大学学报(自然科学版),第37卷,第1期,2001年1月ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisPekinensis,Vol.37,No.1(Jan,2001)1)一类非线性反馈系统的稳定性分析喻学刚 黄 琳(北京大学力学与工程科学系,北京,100871)摘 要 利用新近发展起来的积分二次约束(IQC)方法,研究了一类较为普遍的非线性反馈连接的L22稳定性问题,给出了其稳性分析准则和一些必要条件,这些结果适用于时不变与时变系统。其次,利用已有的结果,研究了非线性环节具有扇区特性的稳定性问题。在单输入单输出(SISO)的情况下,给出了时变系统的圆判据。而在

2、多输入多输出MIMO的情况下,也给出了一个稳定性判据,该结果不要求其非线性环节具有解藕条件。关键词 积分二次约束(IQC);非线性;适定性;稳定性中图分类号 OTP130 引 言积分二次约束(IntegralQuardraticConstraints简记为IQC)被Yakubovich首次用来处理含有非线性环节的系统的稳定性问题1,即所谓的S2procedure问题。Safonov则用反馈环路中两个算子的图的分划来对其结论作几何性解释2。在过去的一段时间内,鲁棒控制领域出现和发展了大量的方法,正如在文献3中指出的,它们中的大部分可纳入IQC的框架。因而用IQC来分析和解决控制问题成为一种重要方

3、法。在35thCDC上则专门有一分组是关于这方面的(如4,5等等)。Megretski和Rantzer在6,7中详细讨论了IQC的发展,给出了一个判定系统反馈连接的稳定性的基本定理,并将以往的大量结果纳入其中。但其关于反馈连接的稳定性的判定定理存在一定的局限性。严格说来,其结果一般只能用来判定频域或时不变问题或较简单的时域问题,而对较一般的时域问题,则缺乏有效性。同时由于其稳定性定义中需要因果逆存在68,而这个方面也是系统分析中的难点,已有的结论相对而言比较难于应用于实际工作。本文采用的L22稳定性的定义类似于大多数文献中911关于类似问题的定义,避免了因果逆的检验,这样就相对容易应用于实际工

4、作中。此外,在已有文献的框架中,要求各个算子具有零初值性质,这样就把一大类较为普遍的问题排除在所要考虑的问题之外。本文研究了具有较为普遍形式的反馈内联系统的L22稳定性,给出了IQC形式的理论判据。最后,利用前面所得的结果,研究了广义Lur.e问题,给出了一些稳定性判据。对于矩阵AIR,A表示A的转置。对于矩阵BIC,B表示B的Hermite转lnm置。RH表示在闭的右半平面内没有极点的实有理正则函数组成的空间。L20,)表示1)国家攀登计划、国家重点基础研究专项经费(G1998020302)和国家自然科学基金(69774007)资助项目收稿日期:2000203220;修回日期:2000204

5、225nmTnm*第1期 喻学刚等:一类非线性反馈系统的稳定性分析35在Rm空间中取值的Lebesgue可测空间,其中的元素的范数定义为:2u(t)ILm20,), +u+=Q0uT(t)u(t)dt。PT为截断算子,其定义为:Pu(t),PTu(t)=u(t),0,tT;t>T。mmmmL2e0,)为L20,)的扩展空间,fIL2e0,),则PTfIL20,)。b对一算子:F:La2e0,)yL2e0,),其增益定义为:+F+=infC|+PTF(f)+C+PTf+G,PfILa2e0,),PT0,G为一常数。若上式为有限值,则称F为有界算子。若算子F是线性的,则上式中的常数G=0,对

6、一个线性算子,若它为有界算子,则称它为稳定的。对于一算子F,若其满足:PT0,PTFPT=PTF,则称它为因果的。对于一有界算子F,则有如下结论:+PTF(I-PT)+=0, PT0。因而对于一线性算子,其有界性就能保证其因果性。对于一函数fIL2(-,),其Fourier变换为10:f=limNyQ+N-Nf(t)e-jXtdt。1 问题描述本文所考虑的问题如下图所示:图1 基本反馈连接Fig.1 BasicFeedbackConfiguration其方程可表示为:u=Gv+e,v=$(u)+f,线性因果稳定算子,而$为Ln2e0,)空间上的因果有界算子。在基于算子理论的稳定性分析中,关于适

7、定性的假设是必要的,本文采用以下的关于适定性与稳定性的定义。+m+定义1 当(e,f)ILn0,)时,方程(1)的解(u,v)均存在,且有(u,v)ILn2e2em(1)mm这里eILn2e0,),fIL2e0,),它们可包含系统的初始条件。G为L2e0,)空间上的0,),则称G与$的反馈内联是适定的。此外,如果映射(e,f)|y(u,v)是因果的,则称该系36北京大学学报(自然科学版) 第37卷 统满足CI条件。若对一个适定的系统,还存在常数c0和k,使对(1)的任意解,有Q0T(|u|2+|v|2)dtcQ0T(|e|2+|f|2)dt+k, PT0(2)成立,则称该反馈内联是稳定的。注

8、适定性的假设就是保证解的存在性,但该定义不能保证解的惟一性。而从系统稳定性本身的意义上来说,也只是要求系统的增益是有界的,而不要求是否具有惟一解。对比文68中类似问题的定义,这里去掉了CI条件。在实际应用中,CI条件不是必需的,而且也难于检验。而解的存在性相对而言易于检验。此外,对一些系统而言,若是稳定的,也就意味着CI条件自动成立,如线性系统等。对于图一及式(1)所示的系统,类似文10中的结果,有如下的结论:引理1 对图1及式(1)所示的系统,如果存在常数a>0和B,使得下式成立:a+PTu+PT(I-G$)u+B, PuILn2e0,), PT0,则该系统是稳定的。此外,如果该系统满

9、足CI条件,则上式也是必要的。定义2 记Fpq=F(t,S),为一个取值在Rpq上的函数集合,其内的任一元素F(t,S)有:vc0, PuILq20,),v(t)=(3)QF(t,S)u(S)dSI0Lp20,),(4)+v(t)+c+u+。显然,Fmn是一个线性空间。对FIF,以后记v=Fu,即有v(t)=QF(t,S)u(S)dS。0nm2 频域中的结果在本节中,假定系统(1)的线性子系统G是时不变的,且其传递函数是RH的传递函数为其他形式,结果类似。)定义3 设0:jRyC(n+m)(n+m)的。(若G由于应用目的的不同,就产生各种各样的IQC的定义,这里采用如下的定义:nm$:L2e0

10、,)yL2e0,),如有常数C使得下式成立:其中uT(jX),wT(jX)表示PTu,PT$(u),PT0的Fourier变换。则称$满足由0定义的IQC。简记为$IIQC(0)。利用引理1,现在可以给出本节的主要结果。定理1 对于图一及(1)式所示的系统,如果下面的条件成立:(i)系统反馈连接(G,$)是适定的;(ii)存在0和常数C,使得$IIQC(0);(iii)存在一个常数E>0,PvIL2e0,)及PT0,令xT(jX)和yT(jX)表示PTGv和mQ-uT(jX)wT(jX)*uT(jX)0(jX)wT(jX为一取Hermite值的有界可测函数。对于一有界算子ndXC, Pu

11、IL2e0,), PT0。(5)第1期 喻学刚等:一类非线性反馈系统的稳定性分析37PTv的Fouriour变换。使得下式成立QxT(jXyT(jX)*-0(jX)xT(jX)yT(jX)dX-E+yT(jX)+, PT0,2(6)则(1)中的系统反馈连接(G,$)是稳定的。证明 为证明此定理,只需验证(3)式成立。令 R(u,v)=Qu(jX)v(jX)-*0u(jX)v(jX)dX。011(jX)012(jX)0*)022(jX)12(jX,由0的有界性,Pu,对应适当的维数大小,将0分块为0(jX)=mDILn20,),vIL20,),可得下式成立:|R(u+D,u)-R(u,v)|c(

12、B)+D+2+B(+u+2+v+2),其中B为任一正常数,而c(B)为一个只和B,0有关的常数。由(6)得:R(PTGv,PTv)-E+PTv+, PvIL2e0,), PT0。因G和$为因果算子,由(ii),令uIL2e0,),PT0,v=PT$(u),B=CR(PTu,v)=R(PTGv,v)+R(PTu,v)-R(PTGv,v)-E+v+2+c(B)+PTu-PTGv+2+B(+PTu+2+v+2)-令c0=+v+2+(c(B)+2B)+Pu-PGv+2。TT2n2m则:2+4+G+G+1,则c0为一常数且c0>1。且有:E+PTu+=+PTGv+PTu-PTGv+c0+PT(u-

13、G$(u)+。E由引理1,这样就完成了该定理的证明。定理1只是一个充分条件,这儿也可以给出一个必要条件:定理2 如果由图1和(1)式所示的系统是稳定的,且满足CI条件,即(I-G$)-1是因果的。则下面条件成立:(i)存在0,C,使得$IIQC(0);(ii)存在一个常数E>0,使得下式成立G(jX)*G(jX)0(jX) ImIm-EIm, PXIR。(7)证明 由于系统(1)是稳定的,且满足CI条件,则存在常数a>0,B,使得(3)成立。2由于$是一个有界算子,取常数E=>0。令2+$+2+1In-G(jX)0(jX)=。*-G(jX)G(jX)G(jX)-EIm38北京

14、大学学报(自然科学版) 第37卷 显然(ii)得到满足。而条件(i)也容易得到验证,这样就完成了定理的证明。注1 比较定理2与定理1,可以看出其区别是较小的,而造成此区别的原因就是GPT与PTG的不同。在某些特殊情况下,可以得到判定系统(1)的稳定性的充分必要条件。推论1 对于由图1和(1)式所示的系统,若$是一个常数算子,则定理1中的3个条件也是必要的。,则剩下的类似于定理2的证明过程。$-Im推论2 对于由图1和(1)式所示的系统,如果G是一个常数算子,或更一般地,它与截断证明 令0=算子PT可交换,并且系统满足CI条件,则定理2中的各个条件也是充分的。注2 当0是一个有理函数,则(7)等

15、价于G(jX)I*-$*$*0(jX)QNTG(jX)INR<0, PXIRG。(8) 注3 为了验证(8),如果0=(8)成立当且仅当vP=PT,G(s)=D+C(sI-A)-1B,利用KYP引理,则PB+CT(N+QD)G(s)IIRnn, PA+ATP+CTQCBTP+(NT+DTQ)CR+DTQD+DTN+NTD<0。 更一般地,如果0(s)=5(s)HM5(s),令5(s)当且仅当vP=PT=C(sI-A)-1B+D,则(8)成立IRnn, PA+ATP+CTMCPB+CTMDBP+DMCTTDMDT<0。上述两式均为LMI问题,且它们可视为同一类LMI问题:求P=

16、P它等价于R<0P(A+BR-1ST)+(A+BR-1ST)TP+PBR-1BTP+SR-1ST+Q<0。则(9)中的第2式的可解性条件为9:A+BR在虚轴上没有特征值。-1TIRnn, PA+ATP+QPB+SBP+STTR<0。(9)STBRT-1BT-(Q+SR-1S)-(A+BR-1S)T3 时域中的结果可以看出,已有的基于IQC的结果是基于频域的,较难直接应用于时域问题。而在实际应用中,时域的问题是广泛存在的,因而考虑时域的基于IQC理论的稳定性判据就显得有必第1期 喻学刚等:一类非线性反馈系统的稳定性分析39要了。在本节中,采用如下的定义作为时域系统的IQC的定义

17、。mp(n+m)定义3 对有界因果算子$:Ln,RI2e0,)yI2e0,),如果存在FIFFq(n+m)和常数C,并有PuIL2e0,),PT0,令wT=FPTuPT$(u), zT=RPTuPT$(u(10)n使得下式成立:+wT+2-+zT+2C, PT0,则称$满足由F,R定义的IQC。简记为$IIQC(F,R)。首先,假定系统(1)的线性环节G是线性时不变的,并令其状态响应矩阵为h(t-S),即有PuILm2e0,), y(t)=Gu=Qh(t-0tS)u(S)dt。此种情况下的稳定性判据如下:定理3 对于图1及(1)式所示的系统,如果下面的条件成立:(i)系统反馈连接(G,$)是适

18、定的;(ii)存在具相容维数的F中的元素F,R及常数C,使得$IIQC(F,R);(iii)存在一个常数E>0,PvILm2e0,)及PT0,令xT=QF(t,S)PT(Gv)(S)PTv(S)dS, yT=QR(t,S)PT(Gv)(S)PTv(S)dS, PT0使得下式成立:3xT,xT4-3yT,yT4-E+PTv+2, PT0,则(1)中的反馈连接系统(G,$)是稳定的。,则Fi(t,S),i=1,2,3,4均为相应维数的FF3(t,S) F4(t,S中的元素。对R可作同样的处理。则剩下的类似于定理1的证明过程。证明 设F(t,S)=类似于前面的一节,这里也可以给出相应的必要条件

19、。定理4 如果由图1和(1)式所示的系统是稳定的,且满足CI条件,即(I-G$)-1是因果的。则下面条件成立:(i)存在F,RIF(n+m)(n+m)(11)F1(t,S) F2(t,S)和常数C,使得$IIQC(F,R);mt(ii)存在一个常数E>0,PvIL20,),记x=y=使得下式成立3x,x4-3y,y4-E+v+2。(12)Q0tF(t,S)(Gv)(S)v(S)(Gv)(S)v(S)dS,dS,QR(t,S)40北京大学学报(自然科学版) 第37卷证明 鉴于系统(1)是稳定的并满足CI条件。则存在常数a>0和B,使得a+PTu+PT(u-G$(u)+B, PuILn

20、2e0,), PT0。取F(t,S)=D(t-S)In-h(t-S), R=0-0。D(t-S)Im2+$+1其余的则是显然的。当系统(1)满足某些特殊条件时,同样可以给出判定其稳定性的充分必要条件。如果忽略所考虑问题的是时域的还是频域的不同,推论1和推论2在这里同样成立。前面考虑的系统均假定线性环节G是线性时不变的,对于一定的问题,此种假设有一定的合理性,此时可将时变、非线性、时滞、饱和等等特性全归结到$里。但对于一些系统,对非线性环节已有很好的刻画,如果再将时变的特性归结到$里,就将失去所考虑的问题的明确的特点。故此,所考虑的系统(1)中的线性环节G为一个线性时变系统(LTV)时,该系统反

21、馈连接的稳定性如何判定也就成为所要考虑的问题。设线性时变系统G的有界实现为:xÛ=A(t)x+B(t)u,y=C(t)x+D(t)u。与之对应的自由系统为xÛ=A(t)x。H(t,S)=C(t)K(t,S)B(S)+D(t)D(t-S)IF。从而可以得出当系统(1)的线性环节的实现为(13)时关于其稳定性的判据。定理5 对于图1及(1)式所示的系统,若其线性环节G的有界实现为(13)时,如果下面的条件成立:(i)系统反馈连接(1)是适定的。(ii)存在具相容维数的F中的元素F,R及常数C,使得$IIQC(F,R)。(iii)存在一个常数E>0,PvIxT=Lm2e0,

22、),令N(t)=nm(13)(14)设其状态转移矩阵为K(t,S)。显然,对于本文所讨论的L22稳定性,系统(13)是稳定的,则QH(t,S)v(S)dS,并记:tQF(t,S)PTN(S)PTv(S)dS, yT=QR(t,S)PTN(S)PTv(S)dS, PT0使得下式成立:3xT,xT4-3yT,yT4-E+PTv+, PT0,则(1)中的系统反馈连接(G,$)是稳定的。证明 证明过程类似于定理3的证明过程。类似地,在此情况下,同样可以给出一个必要条件。定理6 如果由图1和(1)式所示的系统是稳定的,且满足CI条件,即(I-G$)-1是因果的。则下面条件成立:(i)存在F,RIF(n+

23、m)(n+m)2(15)及常数C,使得$IIQC(F,R)。第1期 喻学刚等:一类非线性反馈系统的稳定性分析41(ii)存在常数E>0,PvILm20,),记n(t)=G(v(t)=QtH(t,S)v(S)dS, x=QtF(t,S)n(S)v(S)dS,y=使得下式成立QtR(t,S)n(S)dSv(S)(16)3x,x4-3y,y4-E+v+2。证明 取F(t,S)=D(t-S)In-H(t,S)在此种情况下,推论1,2依然成立。,剩下的类似于定理4的证明过程。4 在广义Lur.e问题中的应用本节将把前面的结果应用到时变的广义Lur.e问题,给出了关于稳定性的几个判据。在本节中,系统

24、(1)的线性环节G的有界实现为(13)所示,并假设它是L22稳定的。即有H(t,S)=C(t)K(t,S)B(S)+D(t)D(t-S)IFnm。首先,假设系统是单输入单输出的(SISO),PvIL20,),记Gv=QH(t,S)v(S)dS。t如果存在常数k10,k20,b,c,使得系统(1)的非线性环节$满足下面的条件:b-k1Qy2dtQy$(y)dtk2Qydt+c,20PyIL20,),(17)则利用前面的结果可以给出此种情况下的一个稳定性判据。定理7 如果存在一常数E>0,使得下面的条件成立:3k1k2G(v),G(v)4+3(k2-k1)G(v)-v,v4-E+v+2, P

25、vIL20,),(18)则系统(1)是稳定的。显然,若G是线性时不变的,则(18)等价于k2G(jX)-1<0, PXIRG。1+k1G(jX)可通过应用环路变换定理得到。例 对非线性环节$I0,1,考虑一、二阶系统G的实现为:x=A(t)x+b(t)u,Ûy=cT(t)x,其中b(t)=1+t, c(t)=0, A(t)=1+t1-6t,-5,0t<1;t1。a(t)2(1+t)20a(t),x(0)=0(19)它是一种特殊形式的圆判据,故可将(18)视为特殊形式的时变系统的圆判据。更一般的形式a(t)=42北京大学学报(自然科学版) 第37卷 由LTV理论可知该线性系统是稳定的,且它能满足定理7的要求,从而该闭环系统是稳定的。此外,如果$还满足下面的条件:(i)(y1-y2)($(y1)-$(y2)0,Py1,y2IR;(ii)存在常数k>0,A,使得+$(y)+k+y+A,PyIL20,),则也可以得到一个判定系统(1)是否稳定的充分条件。定理8 假设存在一满足下面条件的实值函数h(t),Q|h(t)|dt1。在此情况下,如存在E>0并记Hu=Qh(t-S)u(S)dS,PuIL0,),使得0t023v,Gv4+3v,HGv4-E+v+, PvIL20,),则系统(1)是稳定的。若G是线性时不变的,并记