#等差数列、等比数列的概念和求和

1、历年高考真题考点归纳2011年第六章数列第一节等差数列、等 比数列的概念及求和一、选择题1. （天津理4）已知'为等差数列，其公差为-2，且是93与39的等比中项，Sn为a *的前n项和，n N*，则So的值为A. -110B. -90C. 90D . 110【答案】D2. （四川理8）数列"时的首项为3 :'bj为等差数列且bn二an1-an（nN*）.若则d =-2 ,0 =12 贝y a8 A. 0B. 3 C . 8D. 11【答案】B【解析】由已知知bn =2n 一8,弘4 - an =2n -8,由叠加法（a2 -印）（a3a2）11（aa7）= -6-4

2、止一20 2 46= 0=a8 =印=33. （全国大纲理4）设Sn为等差数列 玄匚的前n项和，若內二1，公差d=2, SkS = 24 , 则k二A. 8B. 7 C . 6D. 5【答案】D4. （江西理5）已知数列 an 的前n项和Sn满足：Sn Sm = Snm，且印=1 .那么引0 =A. 1B. 9C. 10D. 55【答案】A二、填空题5. （湖南理12）设Sn是等差数列an （L N ），的前n项和，且a1 “月4 =7 ,则 S9=.【答案】256. （重庆理 11）在等差数列an中，a3*a7=37，则 a2+a4*a6*a8=【答案】747 .（北京理11 ）在等比数列a

3、n中，a1= 2 , a4=-4 ,则公比q=;aia2an2nA _!【答案】2& (广东理 11 )等差数列an前9项的和等于前 4项的和.若a1 =1,ak a 0，则k=【答案】109.(江苏13)设仁a1 'a2-a7，其中a1，a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是【答案】三、解答题10.(江苏20)设M部分为正整数组成的集合，数列an的首项a1，前n项和为Sn，已知对任意整数r M当整数n，k时,Sn 'k Sz =2(Sn Sk)都成立(1)设 M 二1，a2 二2,求a5 的值;(2)设M二3,4,求

4、数列a.的通项公式本小题考查数列的通项与前 n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,究及逻辑推理的能力，满分 16分。考查考生分析探解: (1)由题设知，当 n -2时,Sn1 - Sn*2© S),即(Sn 1 - Sn ) -( Sn - Sn 4 ) = 2 S从而 an 1 -an = 2a1 = 2,又a?二 2,故当 n 2时,an = a22(n -2)=2n 2.所以a5的值为8o(2)由题设知当 k 匸 M - 3, 4,且 n > k时,S 用 * Sn _k = 2 Sn + 2Sk且 Sn 1 k ' Sn 1= 2 & 1 '

5、; 2Sk两式相减得an 1kan1_ 2an1 ,即 an 1_ an1 -k_ an 1an1 -k所以当“占8时,a6, an-3,an , anH3,a6成等差数列且an-6,an-2,an七，an %也成等差数从而当 n 8 时 2an an 七 + an 3 an 6 * an_6 ( * )且 an 6 - an 6 二 a. 2，a. ?所以当 n 一 8时,2a.二 a. 2 - an ,即 an 2 an - a 'an 2 于是当 n 亠 9时,an _3, an J, an 1, an 3 成等差数列 从而 an 3 an J3 = an .1 ' an

6、 J ,故由(* )式知 2an = an 1 an J,即 an 1 _ an = an 一 anj.当n9时，设d=an -务十当2兰m兰8时，m + 6 A 8，从而由(*)式知2aml6 = am + amH2故 2am 7 = am 1 am 13 .从而 2(am am廂)=amH1 一 am *(am卑3 一 am卑2) 于是 am1 一 am = 2d - d = d.因此，an 1 一 二d对任意n _ 2都成立，又由Sn k ' Sn- 2Sk = 2Sk (k 3, 4)可知(Sn k -Sn) -(Sn - Sn ± H 2Sk,故 9d = 2Ss

7、且 16d 心4解得a4=d,从而a22= 3d,a 显2 2因此，数列an为等差数列，由a "知d =2.所以数列an的通项公式为an =2n -1.11.(北京理20)若数列 An =a1,a2,，an(n 占 2)满足 an+-a1 =1(k=1,2,n-1，数列 An 为 E 数列， 记 S(An) = a1 a2. an.(I)写出一个满足a1二as = 0，且S(As)0的E数列An ；(H)若a1 =12 , n=2000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;(川)对任意给定的整数 n (n>2),是否存在首项为0的E数列An，使得S A =0?

8、如 果存在，写出一个满足条件的E数列An ;如果不存在，说明理由。解：(I) 0, 1, 2, 1, 0是一具满足条件的 E数列A5。(答案不唯一，0, 1, 0, 1, 0也是一个满足条件的 E的数列A5)(H)必要性：因为 E数列A5是递增数列，所以 aak =1(k=1,2,，1999).所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以 a2000=12+ (2000 1)x 1=2011.充分性，由于 a2000a1000< 1,a2000a1000wia2a1<1所以 a2000a< 19999,即 a2000< a1+1999.又因为 a仁 12, a2000

9、=2011,所以 a2000=a1+1999.故an十一 an = > 0(k =2，1999)，即An是递增数列.综上，结论得证。(出)令 Ck ak 1 _ ak - 10(k - 1,2/ ,n - 1),则 Ca =1 -因为 =a1c1'3=a1'C)c2an = a1 C1 C' Cn 1,所以 S(An)二 na(n -1)c (n - 2)c (n -3)qc.(1 - c1)(n -1)(1 -6)( n - 2)(1 - Cn).2因为Ck = -1,所以1 -Ck为偶数(k =1, ,n -1).所以 * 1 一C1 )(n -1)+(1 C

10、2)(n 2) *(1 6)为偶数，S(An) =0,必须使叫3所以要使2 为偶数，即 4 整除 n(n -1),亦即 n =4m或n =4m+1(m N*).当n =4m 1(m N*)时，E数列An的项满足a4k 1二a42二0,玄4心二-1,(k =1,2，,m)时，有 a1 =0,S(An)=0;a4k -1(k =1,2, ,m),a4k1 =0时，有a1 = 0,S(An) = 0;当n =4m +1(m e N*)时，E数列An的项满足，玄彳心二玄彳心=0, a4k< =-E数列An,当n =4m 2或 n =4m 3E N)时,n (mJ)不能被4整除，此时不存在使得 a

11、1 二 0, S(An)二 0.12.（广东理20）设b>0,数列 © '满足a仁b，ann ban jan j 2n - 2(n 一2)(1)求数列E的通项公式;(2)证明：对于一切正整数anbn1解:nbanJ(1)由an2n-2b %An = , A 令anbnd2门川bn当b- 2时,n nb -2bn(b -2)b = 2时、An当nbn (b -2)an 二 bn -2n,b =22、b =2（2）当b = 2时，（欲证annnnb (b - 2) . bjon- °n“,只需证nL乞(1b -222n n1)b '2n n(2n1 bn1

12、)bn 1 n 4n n 4、b )(b 2b III 2 )= 2n1bnJ - 2n 2bn- J| 22n - b2n 2b2n-2nbn1=2应£步算川b)b bb 222.2nbn(2 2|l( 2) =2n 2nbn = n 2n dbn,ann bn(b-2)bn 121.n nb -2时bn卑当b=2时4亠盯1.bn 1综上所述an_2n1 1.13.(湖北理19)已知数列的前n项和为Sn，且满足：7 8(0), an J = rSn (n n*, r R，r = -1)(I)求数列 心心的通项公式;(n)若存在k N*,使得St ,9 , Sk 2成等差数列，是判断

13、：对于任意的m n*,且m 一 2,am -1，am，am 2是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般 的思想。(满分13分)解: (I)由已知an 1二rSn，可得anrSn 1，两式相减可得an 2 an 1 - r ( Sn 1 Sn ) _ ran 1 ,即 an 2 (r 1)an 1 ,又比二二ra,所以r=o时，数列 an为：a, 0,，0,；当r工0, r式T时，由已知a M 0,所以务=0 ( n N ),=r 1(n N )于是由 an 2 - ( r 1)an 1,可得 an 1,a2，a3l(，an

14、 J"成等比数列，n -2二当n 兰2时 an=r(r+1) a.ann -1,综上，数列an的通项公式为T(r 1a，门_2(II )对于任意的m. N，且m _2,am i,am,am.2成等差数列，证明如下:a, n = 1,当 r=0 时，由(I )知，0,n 一2-对于任意的mN，且m -2,am1,am,am.2成等差数列, 当 r = 0，r = -1 时，Sk 2 = S< ' ak 1 ak 2, Sk i ak 1.若存在kN*，使得Sk i,Si,Sk 2成等差数列，贝 y Sk 1 . 5k 2 = 2Sk2Sk ' 2ak 1'

15、 ak 2 2Sk ,即 ak 2 - _2ak 1,由（I ）知,%月31（ ,amH的公比r 1 »2，于是 对于任意的 mN且mA2,am* = 2am ,从而am七=4am.综上，对于任意的 m. N，且m _2,am1,am,am 2成等差数列。14.(辽宁理17)已知等差数列an满足a2=0, a6+a8=-10(I )求数列an的通项公式；(II )求数列l2“的前n项和.解：(I)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得 2a1 12 _10a1 =，解得d八1.故数列an的通项公式为冇=2 - n真的前n项和为Sn(II)设数列 2，即1+分川+强故2，Sn3132

16、=r2所以,n J时,Sn= 1-(1 2L .山21 IH 4丄2* 1丿an _anj an2心一歹12 -n、2“-2*丿2 -n2n所以'吵.令的前n项和Sn综上，数列 2n2* -J .12分15.(全国大纲理20) 1设数列3n；'满足31 =0且1 _3n 11 3n=1.(I)求的通项公式;bn(n)设解：3n 1 ,记 2bk，证明：Sn <1.-nk 1(I)由题设J1 - an 11 _anI即13n是公差为1的等差数列。又 1-31an所以十丄n(II )由(I )得.n 1 - n.n 1 、n1 1、n .n 1 , 8 分n八(k 412分n

17、Sn = 7 bkk416.(山东理20)等比数列中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I)求数列的通项公式;(n)若数列©满足：0 = a. (- Jin a.，求数列g的前门项和Sn .解：(I)当a1 =3时，不合题意；当a1 =2时，当且仅当a2 =6,a3刊8时，符合题意;当a1 =10时，不合题意。因此a12,a6,a18,所以公式q=3,n 二故 an =2 3.(II )因为 bn 二 an (-1) 1 nan=2 3心(-1)n(2

18、3n4)-2 3n，(T)nln 2 (n -1)1 n 3=2 3n，(-1)n(ln 2-In 3) (-1)n nln3,所以S2n =2(1 3 川 32n)一1 1 一1 川( 1)2n(ln 2 In 3) 一1 2 一5 山(1)n nln 3,所以nSn2 1 _n In3n为偶数时，1-32=3nnin 3-1;2当n为奇数时,Sn1-3 (In 2 In 3)(-2-n)ln 3n _ i=3nIn 3-I n2-1.2综上所述，3n -I n3-1, n 为偶数SnI213n- I n3-In 2-1,n为奇数I2仃（上海理22）已知数列an和bn的通项公式分别为an =

19、3n+6 , bn =2n + 7（ n迂N*）, 将集合x|x=an，nN Ux|x =0, N 中的元素从小到大依次排列，构成数列G,C2,C3,|l（,Cn, |（1）求 G，6,524 ；（2） 求证：在数列Cn中.但不在数列bn中的项恰为a2,印"，a2n"；（3）求数列Cn的通项公式。解： q =9,6 =11,C3 =12, C4 =13 ；任意 n N*，设 a2nj =3（2n -1） 6 = 6n b2k 7，则 k = 3n - 2，即a2n 4 - b3n -2假设 a2n = 6n 6 二 bk =2k 7 U（矛盾），a2n T bn在数列Cn中

20、但不在数列bn中的项恰为a2,a4,m,a2n"。 b3k _2 = 2(3k- 2)7 = 6k3 =a2k4dk :二 6k 5a?k二 6k 6dk二 6k76k 3 6k 5 ： 6k 6 6k 7当 k =1 时依次有 bl = 3 =山2 = q,a2 =033 =c4'6k+3 (n= 4k3)6k+5 (n= 4k2)6k 6 (n -4k -1)6k 7 (n =4k)18.(天津理20)已知数列3n与 bn满足:3 + (1)n bnan ' an 1 ' bn lan 2 - 0, bn2 a<i = 2, a2 = 4(I)求氏，

21、34,35的值;(n)设01二a2nPn" N，证明：©J是等比数列;(III )设 Sk “2 '' a2k，k，N，证明:、§ -(nN*)k 吕 ak 6本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分.(I)解：由bn 二3 (-1)n2可得1, n为奇数2, n为偶数又 bnan an 1 bn 1an _ 0,当n=1 时,a 1 +a2 +2a3 =0,由a1=2,a 2=4,可得a3 = -3; 当 n=2时,2a 2+a3+a4=0,可得 a4 二

22、-5;当n=3时,a 3+a4+2a5=0,可得a4 =4.(Il )证明：对任意n Na2n4 a2n ' 2a?n 1 =0,2a2n a2n 1 a2n 2 = 0,一，得a2n =a2n3.将代入，可得a2n卑* a2n能=(a2n*a2n)即 cn 1 - -5(n N )又 & = ai a3 = -1,故cn = 0,Cn -1 因此Cn1,所以5是等比数列.(III )证明：由(II )可得a2k1 '氣1十° ,于是，对任意k e N*且k 32，有ai_ -1,- (a3 a5)= a5 a7 = 一1(-1, (a2k J3a2k)=一1

23、k将以上各式相加，得a1(一1)a2k厂-你-1),即 a2ki =(-1)k1(k 1)，k -1此式当k=1时也成立.由式得a2k珂一1)(k 3).从而 S2k - (a2 a4 ) (a6 a8 ) | 1( ' (a4k J2 a4k )二-k ,S2k i = S2k - a4 = k 3.所以，对任意n N ,n _2，4nn、-( S4m -3 . S4m -2 n. S4m_ S4m )k 绘 akm 生 a4m -3a4m -2a4m4a4mJ ,2m 2 2m -1 2m 3 . 2m 、2m 2m 2 2m 1 2m 3)n= m.(2m(2rn 1)(2m 2

24、)；2m 2)亠-2 3 m2m(2m 1)(2n 2)(2 n 3)1<31_3m 謬(2m -1)(2m 1)(2n2)(2n - 3)1 1 1 1 1一 5)(5 万)川(冇一訂)(2n 2)(2n 3)1+2n 1(2n 2)(2n3)对于n=1,不等式显然成立.Vi(沁邑a a2a2n 1 a2n所以，对任意n N，= (SL S2). (S3. S4a2ai(34) (S2nJ -鱼a3 a4a2n a2n11121 nW-4P）（-承：2*/）川（1 苜-冇）二 n -(丄)-(241242；7)77 4匕)5 _(丄)=4121n 一319.（浙江理19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a （ a R ）,设数列的前n项和为Sn，且a1去，为成等比数列(1)求数列an的通项公式及S1(2)厲亠丄+1+.+1记SlS2SnBn丄丄丄a a?鱼2丄a2n，当n - 2时，试比较A与Bn的大小.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。 满分14分。 （丄）2亠丄（I）解：设等差数列an的公差为d,由 比 印 去得(a1 d)ag 3d)anfZ1) 因为d = 0，所以d = a所以12/1 1 、( )(II )解：因为2a3 = S3 = a3S2 解得n a n n 1，所以Sn宀)n 二因为a2n