二次函数动点及最值问题

1、一、二次函数中的最值问题：例1:在平面直角坐标系中，全等的两个三角形 Rt，AO* Rt A OC如图放置，点B、C 的坐 标分别为(1, 3), (0, 1), BO与A'C相交于D,若，A' OC绕点。旋转90°至/AOQ如图所示(1)若抛物线过C、A、A',求此抛物线的解析式及对称轴；y=-x2+2x+3(2)、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问 P在何处时 AP A'的面积最大？最大面积是 多少？并求出此时的点P的坐标。xOy中，四边形 ABCD菱形，顶点 A. C. D均在坐标轴上，且请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由(3)、设

2、抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使 AAN与 A'AP的面积相等？，若存在,例2、(2012攀枝花)如图，在平面直角坐标系“C L -4AB=5, sinB=.5(1)求过A. C. D三点的抛物线的解析式;(2)记直线AB的解析式为y产mx+n, (1)中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c,求当yvy2时，自变量x的取值范 围；(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E, P点为抛物线上 A. E两点之间的一个动点，当P点在何处时， PAE的面积最大？并求出面积的最大值. . AB=AD=CD=BC=5sinB=sinD=5RtAOCD, OC=CDsinD=4

3、 , OD=3OA=AD- OD=2 即：A (-2, 0)、B(- 5, 4)、C (0, 4)、D (3, 0);设抛物线的解析式为：y=a (x+2) (x-3),得：八，川22X( - 3) a=4, a=-;，抛物线：y= - Zx2+Zx+4 .3 3(2)由 A ( 2, 0)、B ( 5, 4)得直线 AB: yi=-x-;332由(1)得：y2= - -x +x+4,则:3 3由图可知：当yiy2时，-2vxv5.(3)S/ApE=-AE?h2当P到直线AB的距离最远时， S/ ABC最大；P;若设直线L/AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点设直线L： y=

4、- x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时，3二.：2：1.一x+b=x +-x+4, 且 =0;33 3求得：b=Al,即直线 L： y=-Wx+_H;23 2可得点P (J,工).2 2由(2)得：E 55,-骂,则直线PE: y= - Hx+9;新课标第一网33贝U点 F (里，0), AF=OA+O漫；11 11.PAE的最大值：S/xpae=SJapaf+Saaef=XX (2?+1)=32 113212晅121、(2013宜宾)如图，抛物线 抛物线y2,两条抛物线相交于点yi=x2- 1交x轴的正半轴于点 A交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得C.(1)请直接写出抛物线

5、y2的解析式；(2)若点P是x轴上一动点，且满足/ CPA=Z OBA求出所有满足条件的 P点坐标；(3)在第四象限内抛物线 y2上，是否存在点 Q,使得4QO彷OC边上白高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由.解答：解：(1)抛物线y1=x2- 1向右平移4个单位的顶点坐标为(4, - 1), 所以，抛物线y2的解析式为y2= (x-4) 2- 1；(2) x=0 时，y= - 1,y=0 时，x2- 1=0,解得 x1=1, x2= - 1,所以，点 A (1, 0) , B (0, - 1),/ OBA=45,解得-1y-(X - 4) 2 - 1fX=

6、21尸3 点C的坐标为（2, 3）, / CPA土 OBA 点P在点A的左边时，坐标为（- 在点A的右边时，坐标为（5, 0）, 所以，点P的坐标为（-1, 0）或（ （3）存在.;点 C （2, 3）,1, 0),5, 0)；,直线OC的解析式为y=Sx,设与OC平行的直线2a .y=Jx+b,2y= (x- 4)2-1 QO计 OC边上白高h有最大值,消掉 y 得，2x2- 19x+30- 2b=0,当4=0,方程有两个相等的实数根时,此时 Xi=X2=x (-此时 y= (- - 4)4，存在第四象限的点=324-1 =-工, 16Q(一42此时=194X2 X (302b) =0,解得

7、b=一丝!16工），使得QOM OC边上白高h有最大值,16,一一，R 191过点Q与OC平行的直线解析式为 y=2x-/216令y=0,贝U -x 一空乙0,解得216设直线与x轴的交点为E,则E （, 0）,24过点C作CD! x轴于D,根据勾月定理，OC=/再=/,则 sin / COD=L=_jL,0E 713的/曰 h _ 3 121.121V13斛个于h最大=上* -V13241042、如图，抛物线23y=ax 3x2（a # 0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为4,0 .(1)求抛物线的解析式；(2)试探究AABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;(3

8、)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求 AMBC的面积的最大值，,并类型一、最值问题:类型一、最值问题：(2013?泸州)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(1,-夷)，已知抛物线y=ax2+bx+c(a加)经过三点A B O (O为原点).(1)求抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C,使BOC勺周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么4PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及4PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)考点：二次函数综合题.

9、分析：(1)直接将A、Q B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；(2)因为点A, O关于对称轴对称，连接 AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线 AB的解析式，再根 据C点的横坐标值，求纵坐标；(3)设P (x, y) (- 2Vxv 0, yv 0),用割补法可表示 4PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时， x的值.解答： 解：(1)将 A (-2, 0), B (1,-灰)，O (0, 0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c (a 加)，2b+c=0可得：f _Vsa" 3b 二 一 的 3,CO故所求抛物线解析式为y= -x23(2)存在.理由如下：如答图所

10、示，: y= - 2jjx2 - Rx= -(x+1)，抛物线的对称轴为点C在对称轴x=-1 上，BOC勺周长=OB+BC+CO.OB=2,要使BOC勺周长最小，必须 点。与点A关于直线x=- 1对称，有 BOC勺周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA 当A C、B三点共线，即点C为直线 小.设直线AB的解析式为y=kx+t ,则有：BC+CCft 小,CO=CAAB与抛物线对称轴的交点时，BC+CAt小，此时BOC勺周长最 2k+t=0. /口，解得：，V3直线AB的解析式为y=当 x= 1 时，y= -,3所求点C的坐标为(-1,(3)设 P (x, y) (- 2vxv 0, y<

11、;0),则y=-亚x2-1x a如答图 所示，过点P作PQL y轴于点Q, PGLx轴于点 G过点A作AH PQ轴于点F,过点B作B已PQ轴于点 E,则 PQ=- x, PG=- y,由题意可得： S/xPA=S 梯形 AFEB S/x AFP S/ BEP(AF+BE ?FE-工AF?FP-PE?BE222T (1 - x) (6+y) 2=-i (y+V+y) (1+2) - -y? (2+x)22X+如将代入得：S八 PA= (x=-0（x+l） 2+2228当x=-时，4PAB的面积最大，最大值为 "向,28此时y= 1*1+ 2立=!,3 4 3 2 4.点P的坐标为（-1

12、, 乌2 4智图答图类型二、探索三角形的存在性。例1、（2013?绵阳）如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点 C的坐标为（0, -2）,交x轴于A B两点，其中 A （ - 1, 0）,直线 l : x=m （m> 1）与 x 轴交于 D.（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P （P在第一象限），使得以P、D B为顶点的三角形与以 B、C。为顶点的三角形相似， 求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.考点：

13、二次函数综合题分析：(1)由于抛物线的顶点 C的坐标为(0, -2),所以抛物线的对称轴为 y轴，且与y轴交点的纵坐标为-2,即b=0, c=- 2,再将A( - 1, 0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0,解一元二次方程求出 x的值即可得到点B的坐标；(2)设P点坐标为(m, n).由于/ PDB=Z BOC=90,则D与O对应，所以当以 P、D、B为顶点的三角形与以B、C、。为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：4OC歆 DBF4OC歆 DPB根据相似三角形对应边成比例，得出 n与m的关系式，进而可得到点 P的坐标；(3)假设在抛物线上存在第一象

14、限内的点CK x,2x2-2),使ABPO是以P为直角顶点的等腰直角三角形.过点Q作Qa l于点E.利用AAS易证ADB EPQ得出BD=PEDP=EQ再分两种情况讨论：P( m,q二2 )；2P (m, 2 (m- 1).都根据BD=PE DP=EM出方程组，求出 x与m的值，再结合条件 x>0且m> 1即 可判断不存在第一象限内的点Q,使BPa是以P为直角顶点的等腰直角三角形.解答： 解：(1) ,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C (0, -2), b=0, c= - 2;y=ax2+bx+c 过点 A ( - 1, 0),.-0=a+0-2, a=2,抛物线的解析式为

15、 y=2x2- 2.当 y=0 时，2x2-2=0,解得x= 土 , .点B的坐标为(1,0);(2)设 P (m, n). / PDB=/ BOC=90,当以P、D、B为顶点的三角形与以 B C、。为顶点的三角形相似时，分两种情况：Qg 0c若4OC歆4DBP则=,即=, n m- 1解得n=E二工.2由对称性可知，在 x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点 P坐标为(m, m J)或(明J)；若4OC中 DPEB则号=1，Dd DP即L=2, ni- 1 n解得 n=2m- 2.由对称性可知，在 x轴上方和下方均有一点满足条件， ，此时点 P坐标为（m, 2m- 2）或（m, 2 - 2n

16、rj）.综上所述，满足条件的点 P的坐标为：（m,四二！），（m-E), ( m 2m- 2)或(m, 2 - 2mm .2（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点 如图，过点Q作QEL l于点E. / DBP吆 BPD=90, / QPE吆 BPD=90, / DBP4 QPE在4DBP与 EPQ中，（/BDP 二/PEQ = 90”Q（x, 2x2-2）,使ABPO是以P为直角顶点的等腰直角三角形. ZDBP=ZEPtJ 用二PQ . DBP EPQBD=PE DP=EQ 分两种情况： 当P (m 坨1)- b (1, 0), d (m时,0) , E (m, 2x2 - 2),m 1=2

17、xI二解得工户式2-2押2=0（均不合题意舍去）当p (m 2(m 1)时, B (1, 0) , D (m 0) , E (m, 2x2 2),-2 - 2 (in- 1)5町二1P 二 1x22解得（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点 Q.类型三(2013?巴中)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O A点坐标为(4, 0), B点坐标为(-1, 0),以AB 的中点P为圆心，AB为直径作。P的正半轴交于点 C.(1)求经过 A B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线 MC对应的函数解析式；(3)试说明直线 MCW。P的位置关系，并证明

18、你的结论. M考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定.专题：计算题.分析：(1)求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过 A B、C三点抛物线解析式是 y=a (x-4) (x+1),把C (0, 2)代入求出a即可；(2)求出M的坐标，设直线 MC寸应函数表达式是 y=kx+b,把C (0, 2), M(，/)代入得到方程组，2 S求出方程组的解即可；PC DC PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出/PCD=90,即(3)根据点的坐标和勾股定理分别求出 可求出答案.解答:解：(1

19、)AB=5,. A (4, 0), B ( 1,，一 一 5半径是 PC=PB=PA=, 20),.OP='2在CPO4由勾股定理得： OC=，CP灸-加2=2, .C (0, 2),设经过 A B、C三点抛物线解析式是 y=a (x-4) (x+1), 把 C (0, 2)代入得：2=a(0-4) (0+1),a=, 21. y= - -1 (x-4) (x+1) = - -1x2+-£x+2,22 2答：经过A、曰C三点抛物线解析式是 y= - lx2+Jx+2 .2 2(2) y=-lx2+-x+2=-M (W, &)设直线MC寸应函数表达式是 y=kx+b ,

20、把C (0, 2) , M (圈,生)代入得:2 825 3_石瓦卜+2,b=2解得：k=3, b=2,4y=上x+2,4y=.2x+2 .4答：直线MC寸应函数表达式是(3) MCW OP的位置关系是相切. 证明：设直线MC交x轴于D,当 y=0 时，0=-x+2,48 cc 3.x= 一 , OD=,33.D (- :, 0),3在ACO邛，由勾股定理得： CD2=22+ (-)3=-"=-",9 36PC2=.925 2252PD =-1)362361. c6+p6=p6,/ PCD=90, . PCX DC .PC为半径， . MCIO P的位置关系是相切.针对训练

21、：1、)(2013?湘西州)如图，已知抛物线 y=-1x2+bx+4与x轴相交于 A B两点，与y轴相交于点C,若已知A点 4的坐标为A ( - 2, 0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求点C的坐标，连接 AC BC并求线段BC所在直线的解析式；(3)试判断AOCfCOBl否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ACQJ等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.(5)、点M是抛物线上位于第一象限内的动点，当BCM勺面积达到最大值时，求点M的坐标及最大值？(6)、求ABAC的外接圆圆心 E点的坐标？(7)、求证圆E与直线：y=3x/

22、4+4相切。在该直线上找一点F,使4BCF为直角三角形，求 F的坐标？(8)、l是过点A且平行于BC的直线，在该直线上找一点D,使A,B,C,D所在的四边形为平行四边形，求 D的坐标？(9)、将ABAC绕点B顺时针旋转90°得到ABA C',求点A和点C'的坐标及线段 BC所扫过的区域的面积?(10)、在x轴上找一点G,使CFG勺周长最小，求 G点坐标及周长最小值？求此时 4CFG的面积?(11)、在抛物线上找一点 H,使4ABH的面积二4AOC勺面积.。求点H的坐标?(、(13)、求抛物线关于直线：x=10,对称的抛物线的解析式？N是线段AB上的一个动点(与 A B

23、不重合)，分别连接接CN记4CNP勺面积为S, S是否存在最大值？若存在，求出 值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.分析： (1)利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=-至求出对称轴方程；2a(2)在抛物线解析式中，令 x=0,可求出点C坐标；令y=0,可求出点B坐标.再利用待定系数法求出直线BD的解析式；(3)根据 空口，/AOC/BOG90。，可以判定 AO© COBOC-OB(4)本问为存在型问题.若 ACQ等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避 免漏解.解答： 解：(1) ;抛物线y=-1x2+bx+4的图象经

24、过点 A(- 2, 0),4- lx ( - 2) 2+bX ( - 2) +4=0,4解得：b=乜，2，抛物线解析式为 y= - lx2+.x+4,4 2Xy= - -x2+-x+4= - (x-3) 2+,4 244，对称轴方程为：x=3.(2)在 y=一1x2+"x+4 中，令 x=0,彳导 y=4,C ( 0, 4);4 2人i'2 二一 一2人一，令 y=0,即x +x+4=0,整理得 x - 6x - 16=0,解得：x=8 或 x= 2,4 2A (- 2, 0), B (8, 0).设直线BC的解析式为y=kx+b,把B (8, 0), C (0, 4)的坐标

25、分别代入解析式，得：鬲b=0Lb=4解得 k= - -, b=4,2，直线BC的解析式为：y= - -x+4.2(3)可判定AOaACO城立.理由如下：在 AOCfCO即，. OA=2, O(=4, OB=8,空&oeoB,又 / AOCZ BOC90 , . AO» COB(4)二,抛物线的对称轴方程为：x=3,可设点Q (3, t),则可求得：AG产收=2加，AQVs2 + t 2=725 +t2，,+9C0：.；，； i . = i . j i )当 ARCQ寸，有点5+t"=J (t - 4 ) 2+9,一 2225+t =t - 8t+16+9,解得t=0,，Q (3, 0);ii )当 ACAQ时，有如5+?=2%，t2=-5,此方程无实数根，此时ACQT能构成等腰三角形；iii )当 AC=CQ寸，有J (t - 4 )，+9= 2泥，整理得：t2-8t+5=0,解得：t =4 ±V'H,点 Q坐标为：Q (3, 4+-/H), Q3 (3, 4VH).综上所述，存在点Q使ACCM；等腰三角形，点