反函数的导数复合函数的求导法则

1、§ 2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数设x=巴y)是直接函数，y = f(x)是它的反函数，假定x = 邛(y)在Iy内单调、可导，而且 叫y0,则反函数y = f(x)在问Ixqxny)，产Iy内也是单 调、可导的，而且f (x)=17Ty)6 / 6(1)证明：lx,给x以增量©(/0,"狄7)由y = f(x)在Ix上的单调性可知y = f (x :=x) - f (x) = 0二y 1x jx于是：y因直接函数x=9(y)在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数y = f(x)在Ix上也是连续的，当 瓯-* 0时，必有Nt 0：y

2、 ,11hmo7x=hym0X=Zf (x)=【例11试证明下列基本导数公式(1). ( arcsin x )(2 ). ( arctgx11 x2(3). (log ax )1x ln a证1、设x=siny为直接函数，y =a9sinx是它的反函数i =（-,-）函数x=smy在y 2 2上单调、可导，且x=cosy#0因此，在Ix =（ T 1 ）上,(arcsinx) =1- cos yH JIy -（ 一一,一）注意到，当2 2,时,22cos y >0 cosy = 41 sin y = V1 - x因此,(arcsin x)n jiI二(.)证 2 设 xEgy, y (

3、2,2)则y = arctgx Ix =( -00 J8)x 二-2-0x=tgy在1y上单调、可导且 cos y(arctgx)故1(tgy)2=cos y =丁1 tg y11 x2x1(log a ) 二k (a )1y .a ln a_1x In a类似地，我们可以证明下列导数公式:(arccos x) 1 -1 -x2(arcctgx )1(ln x )= x二、复合函数的求导法则如果u=叫x）在点xo可导,而y=f（u）在点M=<P（x0）可导，则复合函数y = f N（x）在点xo可导,且导数为dy皿=f（U0）邛（x0） dx xbr 一 lim X = f （uo）一

4、，、，.证明：因由-0 Ax,由极限与无穷小的关系，有匚y = f （u0）lu YA ：、u（当：u0日i,0）用Ax# 0去除上式两边得：二ylul u二f （u0） -xx x由u=9（x）在x0的可导性有:lim 二二lim =二0xt 0u Mt 0, At。-j0yu u,lim =lim f （u。） 一 x0 Lxx0二xLx.uu=f （u0） lim lim 工 lim .x 0 x .x-o.x-o x=f （u。）：（x。）dy = f （u。）小。）即 dx x为上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若口 = *（X）在开区间lx可导，V = f（U）在开区间IU可

5、导，且V X三Ix时，对应的u三Iu,则复合函数y= f *（x）在Ix内可导，且dy dy du =tdx du dx（2）复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：(1).求导法则(2)称之为锁链法典I 复合函数y = F()，" = (力)的 变量关系链为；y-u-x欲求)对才的导数，先对J的导 数%,再求m对式的导数会，最后将它们相乘处也.du dx弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。dy【例2】y = f中g(x),求dx引入中间变量，设v ="幻，口 =中(0，于是y = f(u)变量关系是yuVX,由锁链规则有:dy dy

6、du dv dx du dv dx(2)、用锁链规则求导的 关键引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。dy【例3】求y = sin2x的导数dx。解：设u = 2x ,则y = sin u , u = 2x ,由锁链规则有:dydx_ dy dududx三(sin u) (2x)' = (cosu) 2 = 2cos2x【例4】, x dy=ln tg 2 ,求 dx。x解：引入中间变量丫=一,虱=电节,2函数可分解成y = ln,U = tgVf著名例dy _ dy du dv由锁链规则有 dx dudv dxcos2 v（基本初等函数求导）x tg - cos（消中间变量）sin x由上例，不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”In*-吟中阍变置用久中间变置）H自变）然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。请看下面的演示过程:dyxdx=(lntg 2)1tgix(tg -)2 x cos 一1 1x x