物理光学梁铨廷版习题答案

1、第一章光的电磁理论1.1 在真空中传播的平面电 磁波，其电场表示为 Ex=0, Ey=0 , Ez= （?乃? x ?督? ? + ?,（各量均用 国际单位），求电磁波的频率、 波长、周期和初相位。解：由 Ex=0 , Ey=0 , Ez= （?）? X ?浮?？ ? 一, ，一 、? + ?,则频率u =两 =2£竺?=0.5 X 1014H周?期 T=1/u=2X10-14s,初相位（）0=+ 兀 /2 （z=0, t=0 ）, 振 幅 A=100V/m,波长入=cT=3 x 108 x 2 x 10-14=6X10-6mi1.2 . 一个平面电磁波可以表示为 Ex=0, Ey=

2、?7?”?期蓦?+ ?, Ez=0,求:（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？ （2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？ （3）与电场 川联系的磁场B的表达式如 何写？解：（1）振幅A=2V/m,频率? X? OQO0U =_ = _=？?Hz, ?、上 r,? ? X ?波长入=5?= V= ?x ?,原点的初相位 4 0=+兀/2 ; （2）传播沿 z 轴，振动方向沿y轴；（3） ? 一由 B=彳?x?,可得 ?By=Bz=0 , Bx= #?< ?%?_ ?+ 1 ?1.3 . 一个线偏振光在玻璃中 传播时可以表示为Ey=0,Ez=0 , Ex= ? x ?衿?义-

3、?）试求：（1） 光的频率；（2）波长；（3） 玻璃的折射率。?/ 4 ? ? X ?解：（1） u=?=-=5X1014Hz;?(2)入=、? X ?.? X ?.? >? X ?= ?x?= ?> ?,(3)相速度v=0.65c,所以 折射率n=?=上七?为？?x?Hz,电场振幅为14.14V/m,如果该电磁波的振 动面与xy平面呈45o,试写 出E, B表达式。解：?= ?+ ?3 其中?2?=? ?）二?；? ?)1.4 写出：（1）在yoz平面内 沿与y轴成e角的？历Eg深W? ? ?x ?承?)向传播的平面波的复振幅； 发散球面波和汇聚球面波的 复振幅。? X ?衿?)

4、(?？?X ?)解：(1)由？?=? ?同理：？?= ? X可 得?=，？?？?？? /u , (2)同理：发散球面波? ?= ?=? ,?,?一?” 、汇聚球面波? ?= ?=,/,?,'八? d /1.5 平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率?)(?- ?x ?)，、，L|?= ?彳? ? = -? ?+?其中?力?7?x?)(?- ?x ?管？2伊,、 f I /1.6 一个沿k方向传播的平面波表示为 E=?+? ? ? ? ? 试求k方向的单位矢？?？解：|?T=，?+ ?+ ?=V? ?又？= ?加抖？物升?二? (?+ ?+ ?)? v? " ? ? ,?

5、1.9证明当入射角？?=45o时, 光波在任何两种介质分界面 上的反射都有?= ?N证明？?=?+?-?22?+?2?-?2o?-? / / / /一=?+?+? Uf /，9 ，?=?- ?»?+ ?»设空气和玻璃的折射率分别 为？?护口？?，先由空气入射到 玻璃中则有？? ?由玻璃出射到空气中，有？?？?又? =?.?! ?U ?= ?)即得证。1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃(?= ?上,求：(1)能流反射率？黄口 ？ (2)能流透射率?2口？?解：由题意，得？?= ?= ? ? ?又？?为布儒斯特角，则?+?=?0 .(?)/ (?+?) (?)/ (?-

6、?5咻?(?+?)' ?1.10证明光束在布儒斯特角 下入射到平行平面玻璃片的 上表面时，下表面的入射角也 是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，9 +i=90o ,?由、得,?= ?°? 0 .?北？-?)(1) ?9=( ? =0I ?殁？+? 0 )_ _?-?)?2?= ?-?L = ?=? ?+?. b /?%(2)由?+ ?= ?可得?= ?同理，？?=85.2%。1.12证明光波在布儒斯特角 下入射到两种介质的分界面 上时，？?= ?其中？?= ?%/? ?22 ? , ?=?(? ?-*% > I ?(? ?加4、/ =? ?-?/, : ， =?(?)

7、? 、， K ?-?+证明:?而?蔡笨缪? 因为？?为布儒斯特角，所以>?+ ?= ?=，.、? ?- ?» V r g?=? - ?- ?3? ?.=?)?Q? ，bv ，F y ，然，又根据折射定律 ?%?= ?,得?o ? M,0, ,= 、?o ? / uf r r?则？?=其中？?= ?/?,得证。?.、?) ?(?)?1.18两个振动方向相同的单 色波在空间某一点产生的振 动分别为？?= ?- ?舜口？2?= ?- ?2 若？=?落Hz, ?= ?V/m, ?=8V/m, ?%= ? ?7?= ? /?求该点的合振动 表达式。解 ：?= ?+ ?=?- ?仔1.17

8、利用复数表示式求两个波？?= ? ?和?= -? ? ?的合 % / IJ J II成。解 ：?= ?+ ?=?-?= ?(-?落?+? ? ?)=?保?+«、 M?(?咨?)=?(?3? * '? ? 一一二 ? ?QQJ? 、/ V一 4?= ? ?阴?)?(?. ? 00”弁？ ?=?3? +? ?那?)1.20 求如图所示的周期性三 角波的傅立叶分析表达式。解：由图可知，？?？ 二f ?< ?然?-?+ ?/?< ?x ?'，/ W? ?=r ? ? ? / ?(J? ? J? &? ? ? * - (+ +? ?夕?( ？9?9? 1-

9、? 十 °1.21 试求如图所示的周期性 矩形波的傅立叶级数的表达 解：由图可知，? =?-? /?< ?< ?/?. / /,? ?=? ?)?)=- ? ? = ' 丁 ？”？? oo*7 卜? ? / ?c以 / ? ? ? , ?=?(%? ?+? = CC?-? / ? (- ?”? = - ? 一数 )?/、/ +? (m 为前? =? ? C文 /?+?»?2? 一一一<? L ? ? =/ ? ? ”='' ?; ?=? ？? 2? _£? ? ? J? 7一一、99所以？= . +?oo? ?“ “？?=

10、?1.22 利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。解：由图可知，？ =?< ?% ?) W ,-?(?< ?< ?、 a? ? / ?= ?6?= ? ?+? 一6/(?)?= ?=?(? ? ?(? ?+ ? ?1.23 氟同位素？?眼电管发出的红光波长为？?=605.7nm,波列长度约为700mm试求该光波的波长宽度和频率宽度。解：由题意，得,波列长度? ? ),?由公式？?=”=? ?义?？?x ? ,又由公式? ?/?所以频 率宽度?C ?力？ / ?/?.、=一(？2 ?'/OO解:?由相干长度？?= ? ?所以？(?= ?E? 、?

11、所以波列长度?-=(?.?=?=? X ?oo?7言=? ?。? ?第二章光的? ? 一心？= ?“? A Z /?2? =么？?,?”J? 卜 ，?=-(么？?2? *? X ?=?=? ? /?X ?1.24 某种激光的频宽？?=?X ?，Hz,问这种激光的波列长度是多少？干涉及其应用2.1 在与一平行光束垂直的 方向上插入一透明薄片，其厚 度？?= ? ?淅射率？?= ?若光波波长为500nrn 试计算插入玻璃片前后光束 光程和相位的变化。解：由时间相干性的附加光程 差公式？?= (? ?)?=(?0 ? X ?,c？?,= ? ,= ? X?=?若两2.2 在杨氏干涉实验中, 小孔距离

12、为0.4mm观察屏至 小孔所在平面的距离为 100cm,在观察屏上测得的干 涉条纹间距为1.5cm,求所用 光波的波。解：由公式？=?：得光波的?72.3 波长为589.3nm的钠光照 射在双缝上，在距双缝100cm 的观察屏上测量20个干涉条 纹的宽度为2.4cm,试计算双 缝之间的距离。解：因为干涉条纹是等间距的， 所以一个干涉条纹的宽度为? 一 ， Z ?= ?又由公式？= ?,一 .、9999得双缝间距离？?= ?-=?.? -?<>? X ?=? X ?.? / ?.2.4 设双缝间距为1mm双缝 离观察屏为1可用钠光照明 双缝。钠光包含波长为?=?W 口？?= ?种 单

13、色光，问两种光的第10级 亮条纹之间的距离是多少？ 解：因为两束光相互独立传播， 所以？?此束第10级亮条纹位波长置？?=、嘿、?光束第10级 ?.? X?.? ?= ? =? X? ?=?X ?= ? ?亮条纹位置？?=?,所以 间距？ ?- ?=?,、?(?- ?)? x ?=X (?“、? ?= ?x ?个？?22.5 在杨氏双缝干涉的双缝 后面分别放置？?= ?利?= ?厚度同为t的玻璃 片后，原来中央极大所在点被 第5级亮纹所占据。设？?=656.28 nm,空气折射率？?= ?注入气室内 的气体的折射率。解：设注入气室内的气体的折 射率为？则(?0 ?)?= ?所以？?=? _+

14、? ? ? ? ?/nmj求玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向。解：由题意，得(？?-? ?+ ?=? ? +?”？= ?所以？妾.二? X ?-? ?”=?x ? =?.? )条纹迁移方向向下。2.6 在杨氏双缝干涉实验装 置中，以一个长30mm勺充以 空气的气室代替薄片置于小 孔？?W,在观察屏上观察到一 组干涉条纹。继后抽去气室中 空气，注入某种气体，发现屏 上条纹比抽气前移动了 25个 已知照明光波波长为?2.7 杨氏干涉实验中，若波长 ?=600nm在观察屏上形成暗 条纹的角宽度为？?°(1) 试求杨氏干涉中二缝间的距 离？ (2)若其中一个狭缝通 过的能量是另一个的4倍，试

15、求干涉条纹的对比度？解：角宽度为?= ? X ?一 .、99所以条纹间距？= ?=?= ? ? ?.?由题意，得?= ?夕所以干涉对比度发生干涉的最大距离是多?=?+ ?/?少？解：因为是圆形光源，由公式_ ?乂/?阴/? =?仔？?/?=?= ?.2.8 若双狭缝间距为0.3mni 以单色光平行照射狭缝时，在 距双缝1.2m远的屏上，第5 级暗条纹中心离中央极大中 间的间隔为11.39mm问所用 的光源波长为多少？是何种 器件的光源？?则？=?.?=?.? X ?仅次? ?=? .2.13 月球到地球表面的距离约为？?x ? 月球的直 径为3477k若把月球看作 光源，光波长取500nni试

16、计 算地球表面上的相干面积。此光源为氨笳激光器解：由公式?=（? + ?） ?解：相干面积？?= 2*?曹"? ?99(99+-) ?.?-?&>? -?9999(9?+99 ? 、'' .?=?.2.14 在杨氏干涉实验中，照 =?x（? ? X ?x ?/?明两小孔的光源是一个直径为2mm勺圆形光源。光源发光 的波长为500nrn它到小孔的 距离为1.5m。问两小孔可以=? ?那2.14若光波的波长宽度为？?频率宽度为？?？试证明:?自二 1引。式中,?和？分别为光波的频率和波长。对于波 长为632.8nm的氮笳激光，波 长宽度为? ?x ? 试计算

17、它的频率宽度和相干 长度。解：证明：由？?= ?夕? ？则有?-?= ?夕?-?;:? =? ? ? -? /? / =?行平板干涉装置中，若平板的 厚度和折射率分别为？?= ?= ?望远镜的视 场角为？?；光的波长？?= ? ?阿通过望远镜能够 看见几个亮纹？解：设能看见？外亮纹。从中 心往外数第？外亮纹对透镜 中心的倾角？?，成为第Nt条 纹的角半径。设？?为中心条 纹级数，？为中心干涉极小数， 令？?= ?+ ? G? ?公 ?< ?),从中心往外数，第N 个条纹的级数为？-? = ?+?= ?= (?+ z ?= ?多?= ?- (?-? .?二二-?(频率增大时波长 减小)，取

18、绝对值得证。相干长度？?= ?夕? ?OOOO=?x ?*?=? X ?(?- ?= ?- (?- ?- ?, 则频率宽度? J?=行港6?- '?+ ?(? ),? ?,? X ?-?.? X?.=?x ?Hz。2.15 在图2.22 (a)所示的平两式相减，可得？?？?) = (?- ?+ ?利 ,/7,Q用折射定律和小角度近似，得为平行平板周围介质的折射对于中心点，上下表面两支反 射光线的光程差为？?=?= (?X?X ?x内共有15个亮条纹，玻璃折 射率？?= ?所用单色光 波长？?= ? ?此光楔 的楔角为多少？?+ ?)?U(?X ?+.99 一一 .一.解：由公式？=赤兀

19、所以楔角? X ?此，视场中?=?(?-? ?-?心是暗点。由上式，得?= 遮一 ?x?孩?= ?.? X ? ?因此，有12条暗环，11条亮 环。2.16 一束平行白光垂直投射 到置于空气中的厚度均匀的 折射率为？?= ?的薄膜上， 发现反射光谱中出现波长为 400nm和600nm的两条暗线， 求此薄膜的厚度？解：光程差？?= （?0 ?=所以？?= ? ?.?= ? .2.17 用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm的范围? .又？= ?= ? ? ? >-?所以？?= ?-.?-X ?，X ?.? ? ? ? ?2.18 利用牛顿环测透镜曲率 半径时，测量出第10个暗环 的直径

20、为2cm,若所用单色光 波长为500nrn透镜的曲率半 径是多少？?解：由曲率半径公式？?=?（甘?觉?）=?= ? X ? X ?2.19 F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5 ,试求它的最大 透射率和最小透射率。若干涉 仪两反射镜以折射率？?= ? 的玻璃平板代替，最大透射率 和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收)解：当反射率？?= ?时，由 光强公式?)? = ? ? ?=(? ?严？(?)? (?2 ?.可得最大透射率？?？ = ?最小透射率？?？=(?-?+?-?当用玻璃平板代替时，?=?,则 ?2 ?2 ? ?=()=()'?+?' ?+ ? 所以？?= ?, ?

21、=(?-?2严-C-_不产?彷(?-?脑?？2.20 已知一组F-P标准具的间距分别为1mmt( 120mm对于？?= ?勺入射光 而言，求其相应的标准具常数 如果某激光器发出的激光波 长为632.8nm,波长宽度为 0.001nm,测量其波长宽度时 应选用多大间距的标准具？?解：(？7?.?= ?=? ?=? X ? %?,?(?='?.? ?x?*x ?2 = =, ?= ?" ? x ?.?=?X ?= ?2.21 有两个波长？?才口？?？在600nm附近相差0.0001nm,要 用F-P干涉仪把两谱线分辨 开来，间隔至少要多大？在这 种情况下，干涉仪的自由光谱 范围是

22、多少？设反射率？?=?解：由分辨极限公式(？?？=? ?-?砥, W?'F-P干涉仪间隔？?=?-? J?CC=X ?2 ? ? V?=?自由光谱范围(？?.?=?一 ? x ?.?一x ?2.22 在照相物镜上通常镀上 一层光学厚度为等（?=?W质膜。问：（1）介质膜的作用？ （ 2）求此时可见光区（ 390780nm反射 最大的波长？解：（1）作用：因为上下表面?光程差?=?x ' =?如果第一层的折射率为 1.35 , 为了达到在正入射下膜系对 ?隹增透的目的，第二层薄膜 的折射率应为多少？（玻璃基 片的折射率？?= ?解：由题意，得？?= ? ?= ? ?= ? ?）

23、?）要使膜系对？?余增透，由公式一 ？?.?= vtjr ?= X? ? ?.?哮?99一一 .、. 一 .（?+ ?） ?所以该介质膜对?甥反射达到最小，为增透膜;（2）由？?=鬻，可知，对波长为？急?= ? ?=（?-?）?舜（？?-?）？? ?/? （?升?）?珞（?+?） ?反射最大的波长满足？?=?_ ?x?= ?则？?= ?,取?= ?对则符合条件的可 见光的波长分别为687.5nm 和 458.3nm。2.23在玻璃基片上镀两层光 学厚度为？?/?的介质薄膜,第三章光的衍射与现代光学3.1 波长？?= ?单色 光垂直入射到边长为3cm的 方孔,在光轴（它通过方孔中 心并垂直方孔平

24、面）附近离孔 z处观察衍射，试求出夫琅禾 费衍射区德大致范围。解：要求？?务?又 ?= 一 ,?所以？隹?%字= ?” ?（? X ?_ _（）?= ? >?3.5 在白光形成的单缝的夫 琅禾费衍射图样中，某色光的 第3级大与600nm的第2极大 重合，问该色光的波长是多 少？解：单缝衍射明纹公式： _ ?._? (? ?-(? ? / /当？?= ? ?= ?因为？与？不变，当？?= ?寸 Z _ 4 ? _ 4 ?(?+ ?) ?= (?7?+ ? ?,所以？?=(?冲?2 ?_(?+?> =(? x ?+?(?x ?)? ? ?3.6 在不透明细丝的夫琅禾 费衍射图样中，测得

25、暗条纹的 间距为1.5mrq所用透镜的焦 距为300nni光波波长为 632.8nm。问细丝直径是多少？.9999. 一 .解：由？=；所以直径即为 ?x ? X ?.? ? =?3.8 迎面开来的汽车，其两车 灯相距？?= ?汽车离人多 远时，两车灯刚能为人眼所分 辨？(假定人眼瞳孔直径？?= ? ?光在空气中的有效波长？= ?1 / 解：此为夫琅禾费圆孔衍射,?由公式？?= ?,?所以？ "=?.? X ? X? =?.? X ?义?3.9 在通常的亮度下，人眼瞳 孔直径约为2mm若视觉感受 最灵敏的光波长为550nmi问:(1)人眼最小分辨角是多大？八& ? ?缝宽？?

26、= ;.-99.解：(1) ?= ?(夫琅禾费圆孔衍射)(2)在教室的黑板上，画的 等号的两横线相距2mm坐在 距黑板10m处的同学能否看 清？?.? X ?-? x ?=? X ? rad 。?(?砂?(?2? ?2?？?= Y?= ?X? ?加_ QQ?9?2 ?因为场中心强度（场中心对应?,所以不能看 清。3.7边长为a和b的矩孔的中于？?= ?= ?= ?= ?)为?=? ? ?)以？妾心有一个边长为？?后口？?？的不透明屏，如图所示，试与出?2?9?2?9?2? zqqqA ,. ?(?-?(？3?这种光阑的夫琅禾费衍射强_99?9?3 ? ， ，?？，, ? ?>?3?度公式

27、。?其中？?= ?7?-,解:? ?, ? ?,?. ?= ?Lr。?3?2？?9= ?")'?”'?29",？ ？ ？'（C为常数），所以？?= ?-3.10 人造卫星上的宇航员声 称，他恰好能分辨离他100km 地面上的两个点光源。设光波 波长为550nrn宇航员眼瞳直 径为4mm这两个点光源的距?2?=?7?'?2?2? ， < ，离是多大?. 99解：由夫琅禾费圆孔衍射，?) ? )?= ?= ?所以的物镜的最小宜径是多少?解：光的波长？?= ?.?=? X?x ?=? .3.11 在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔

28、若环孔外径和内径分别为则由公式？?= ?,和a/2 ,问环孔的分辨本领比 半径为a的圆孔的分辨本领 提高了多少? ?解：由？二 一百一七?七? ?坏孔衍射图样第一个 零点的角半径为？?=?最小直径?= ?= ? X? ?- ?= ?.? X ?-?因为人眼的最小分辨角为?x ? )Z ? X?所以放大率？= ”，用；=? X ?2?联?？ ？?？,按照瑞利判据,天文望远镜 的最小分辨角就是？?=?窃与中心部分没有遮挡?.的圆孔情形（？?= ?）相3.13 若要使照相机感光胶片 能分辨2 ?的线距,求：（1） 感光胶片的分辨本领至少是 每毫米多少线？ （ 2）照相机 镜头的相对孔径? /?至少有

29、 多大？（设光波波长为比较，分辨本领提高了 ,即?.?-?.?=?%(?+?)?.A3.14 若望远镜能分辨角距离为？?x ?若rad的两颗星，它550nm）. 99解：直线数?=不=?-?-? = ? x ? （?为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光胶片上得距离）。由？?= ”?02所以相对孔 ?径？3?= ? ? ? ?/? »3.16计算光栅常数是缝宽5 倍的光栅的第0、1级亮纹的 相对强度。解：由题意，得？?= ?第零级强度？?（？= ?%第0、1级亮纹相对强?度分别为？?=（?）?= ?9淞? ?=(?) = ?3.14 一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm

30、的折射率 分另I为1.6525和1.6245。试 计算用这种玻璃制造的棱镜 刚好能分辨钠D双线时底边 的长度。钠D双线的波长分别为 589.0nm 和 589.6nm。解：由公式?= ?= ?（式中？的棱镜分到本领,? 为棱镜底边长度，？的相对于波长？?勺棱镜的折射率，?+?为相对于波长？?+ ?棱镜的折射率,?为色散率）又同一种物质色散率不变，则?.?-?.?）?= ?"（?.?-?）? "? ? ?北?.?+?.?_?= = ? . ?=?.?.所以用这种玻璃制造 的棱镜刚好能分辨钠D双线 时底边的长度?.?, ?'? / ?.? ? ?= ?.3.15在双缝夫

31、琅禾费衍射试 验中，所用光波波长 ?=632.8nm,透镜焦距？=50crn 观察到两相邻亮条纹之间的 距离？=1.5mm并且第4级亮 纹缺级。试求：（1）双缝的缝 距和缝宽；（2）第1、2、3 级亮纹的相对强度。解：多缝衍射的亮线条件是? ? ? G ?对上 夕、*一,/ , rj 、 八式两边取微分，得到 ?= ?, 当？?= ?寸，？?就是相令B 亮线之间的角距离。并且一般 ?艮小？? ?故？= W ”，rj ,匚/. ?。两相邻亮线距离为？= ?= ?。所以 缝距？?= ?=?x ?¥?mm=? ?因为第4级亮纹缺级，所以缝 宽为QQ 为？?？ _ ?" 力？殁?=

32、 ( ?)?99? 一 /?=(?%产?) = ?. , ? _ ?)淞一? ?999999(?) = ? . , ? ?999999(?；) = ?3.17 一块宽度为5cm的光栅, 在2级光谱中可分辨500nm 附近的波长差0.01nm的两条 谱线，试求这一光栅的栅距和 500nm白勺2级谱线处的角色散。?.解：由？?=痂=?= ?(L?= ?= ?=. . . . . . .? 一一9999为光栅宽度），所以？?= ?- ?=?第1、2、3级亮线分别相应 于？=?t ? ±?土 ?Q ' ' L4 ? X ? X ?”而赤一？?3?= ?X ?，角色散?;=?9999?=由于？=?胡以当？跄？?± ?2?± ?分别有?=± ? ±? ±?因此，由多缝衍射各 级亮线的强度公式？;？ =?(一般？?i 很小, ? X ?(?= V?.? X 99?9?!?_ 99 99999999 ?%(?)，第1、2、3级亮线的相对强度?rad/mm3.18 为在一块